COURBES RÉCIPROQUES
90. Supposons qu'il s'agisse de chercher l'enveloppe d'une droite a^+p^-hY^ = o> sachant que a, p, y sont liés par une relation S=o. En d'autres termes, supposons qu'on donne Féquation tangentielle S = o d'une courbe ou son équation en coordonnées de droites, et qu'on demande de passer à l'équation en coordonnées de points. Nous avons ici les deux équations S = o, aa: -i- ^y -\- y z =s Oy et la méthode du n* 88 nous montre que le résultat s'obtiendra en éliminant ^i ^7 Y» ^ entre les équations données combinées avec les équations
aoL ' dp " «Y
La solution du problème réciproque^ étant donnée l'équation ponctuelle S = o, passer à l'équation tangentielle, dépend d'une élimination exactement semblable ; il faut en effet éliminer x,^, 5, Centre
et
Ce système d'équations découlerait lui-même tout nalurcllr-
IIO CHAPITIB 111.
ment de celle considération que si a a: -h ^y + y <s = o est
identique avec la tangente au point xjyz^ la forme bien connue
de Féquation de la tangente (n* 64) fait voir que a, ^, ^
, . ^ . , , rfS rfS rfS
doivent être respectivement proportionnels a -t-> -t~* ,- •
Nous avons indiqué (n^ 84 et Sections coniques, n® 321) que le problème qui consiste à passer de l'équation ponctuelle d'une courbe à son équation tangentielle est le même ([ue celui auquel conduit la recherche de sa polaire réciproque par rapport à x^ -hV' -f- 5^ = o.
Exemple. — Former l'équation tangentieUe de
{ax)'" ^{by)"' -\-{cz)»^ = o.
Nous avons ici
(aa?)'«-»-h— -* = o, (6;')"-ï-i-— y = o, (c^)«t-I^-— ï = o. ^ ma m o me
Nous en déduisons immédiatement
91. La méthode que nous venons d'indiquer n'est cependant pas toujours la plus commode pour former l'équation de la réciproque. Supposons que l'équation de la courbe son
Éliminons z au moyen de l'équation
OLX -h 5/ "^ ï^ = 0
et nous obtenons
Y" «n — Y"-* («^ -+- Pj) «n-l -^ Y"""(« J^ H- P j)* «/.-l 4- . . . = O,
qui est maintenant homogène en x et y] son discriminant lormé en la considérant comme une forme binaire donne, quand on l'égale à zéro, Téqualion de la courbe réciproque multipliée par le facteur y <"~*^
COUIBBS tCCIPtOQUES. III
Soit proposé, par exemple, de trouver la réciproque de
a?' + ^ -i- 5* H- Smxyz =2 o.
Éliminons z^ il vient
(ix-h pv)'4-6/na?7Y*(«'^^- P/) — y*(^*-+-7*) = o ou bien (a» - y', a» p 4- 2 m %f, «p» H- 2 m ^f, P' — y*^, J)' = o ( » ).
Quand on a divisé le discriminant par y*, le quotient donne
On peut trouver exactement de la même manière les réciproques des courbes du troisième ou du quatrième degré représentées par leurs équations générales ; les résultats en seront donnés tout au long dans les Chapitres suivants.
92. Un des avantages principaux que présente la méthode précédente pour former Téquation de la réciproque, c'est <[u'elle nous permet d'écrire immédiatement Féquation de celte réciproque sous la forme symbolique indiquée (-<4/^è6re supérieure, Chap. XIV). Si nous ramenons une forme ternaire à une forme binaire en éliminant z au moyen de l'équation a^r-h p^'-t- Y^ = Oi nous avons immédiatement les règles suivantes pour exprimer les différentielles de la forme binaire prises par rapport à ^ et r,
(Le-
' du-
TTz'
dy'
dz
0 Nous employons la Qolalion(a, ô, c, ... \Xy yY pour la forme binaire ccrite avec les coefficients du binôme, soit a jt* -f- nbx^^y -+-...; nous ré- ><?n'0Ds la notation {a, bj c, ... \x^ y) pour le cas où la forme est écrite ^Qs les coefGcienls du binôme {Alg. sup,, n» 104).
ri2 CnAPlTRB III.
Appliquons ces règles au symbole (12) qui représente
d d^ d cl
dx^ dyi dxt dj\ ' il devient
^Jd^ji ± JL\^ (jLA ^-^^l.
'^V^^^i dx2 dzi dxij ^\dxi dyi dx^ dvx) \
En d'autres termes, ce symbole appliqué à la forme binaire ne diffère que par le facteur y ^^ symbole de contravariance (a 12) appliqué à la forme ternaire. Donc, si une droite aj? -|- p^ -h y^ coupe une courbe de telle manière que les points d'intersection satisfassent à une relation d'invariance dont la forme symbolique soit connue, nous pouvons immédiatement écrire sous la même forme l'équation tangentielle de son enveloppe. Par exemple, on sait que la forme symbolique du discriminant d'une cubique binaire est (i2)^(34)^(i3)(a4). Donc, si une droite aLX-{-^y -{-^z coupe une courbe du troisième degré en trois points dont le discriminantsoitnul, c'est-à-dire si elle est tangente à lacourbe, nous devons avoir (ai2)*(a34)^(ai3)(a24)= o. On sait de même que le discriminant d'une forme binaire du quatrième degré est de la forme S' = 27 T*, S et T étant deux invariants dont les formes symboliques sont respectivement.
(12)* et {i2)»(23)»(3i)*.
Il en résulte que l'équation de la réciproque d'une courbe du quatrième degré est de la forme S'=27T^; ici S est égala (ai2)* et T à (ai2)2(a23)a(a3i)2; S = o représente la courbe de la quatrième classe, enveloppe des droites qui coupent la courbe du quatrième degré en quatre points pour lesquels l'invariant S s'annule; et T = o est l'équation de la
G0URBB8 tiClPlOQDBS. 1 13
courbe de la sixième classe, enveloppe des droites divisées harmoniquementpar la courbe et pour lesquelles, par conséquent, l'invariant T s'annule.
93. Nous avons déjà donné (n^ 78) une méthode qui permet de former Téquatlon des tangentes menées à la courbe par un point (^, ^, V); mais le problème se trouve résolu effectivement quand nous possédons l'équation de la réciproque ou, en d'autres termes, quand nous avons la condition pour que la droite a a: -h P^ + y « = o soit tangente à la courbe. En effet, nous nWons qu'à remplacer dans cette condition a, p, y respectivement par j^-g' — zy, zod — xz\ xy — yx', et nous aurons la condition pour que la droite qui unit les points (a/, y, ^),(a:,^, 2) soit tangente à la courbe; cette condition doit évidemment être satisfaite quand {x^y^ z) est un point d'une tangente quelconque issue de (x',j^, V)(voir Sections coniques^ n® 294).
Réciproquement, l'équation du système de tangentes, trouvée par le procédé indiqué au n^ 63, s'obtient aisément sousfonne d'une fonctionhomogène de {yz' — y'z ), ( zx! — x^ z) et de (xy — yzl) égalée à zéro; en remplaçant ces quantités par a, p, y, nous aurons l'équation de la courbe réciproque.
94. Nous avons immédiatement ainsi un théorème qui correspond à celui du n® 92, à savoir que, lorsque nous avons l'équation tangentielle d'une courbe, nous pouvons écrire de suite l'équation symbolique du lieu d'un point tel que le système de tangentes menées de ce point à la courbe satisfasse? à une relation donnée d'invariance. £n posant 2=0 dans l'équation du système de tangentes, nous obtenons l'équation du système des droites parallèles issues du point xy qui vérifient la même relation d'invariance. Mais, d'après la
S. — Courbe* planes, 8
Il4 CHAPITRE III.
méthode même que nous avons donnée pour former Téquation du système de tangentes, nous avons
dx ^ d^ ^ c/p* ^y~~ ^ï ^ ^«* donCy comme ci-dessus,
dx^ dy^ dxt dy^
,(J d^ d d\ Jd d^ d d \]
et nous en déduisons immédiatement cette règle : chaque facteur tel que(ia) qui entre dans la relation symbolique d'invariance à laquelle doit satisfaire le système de tangentes devra être remplacé par (2;' la) et nous n'aurons plus qu'à opérer sur l'équation de la courbe réciproque.
95. Quand l'équation d'une courbe est exprimée en coordonnées polaires, on peut trouver directement celle de sa réciproque par rapport au cercle doht le centre est le pôle. Sur un rayon vecteur quelconque OP, prenons un segment OF égal au rayon vecteur consécutif OQ; nous avons évidemment
PF = é/p, P'Q = prfo), tangOPQ = ^
dp
et la quantité p sinOPQ est la longueur de la perpendiculaire abaissée du pôle sur la tangente. Soit p'»= a^cosmco la courbe donnée; prenons-en la différentielle logarithmique, nous obtenons
— ^ "= — taag/nwaco, p -7- =z: — cotmco;
si 0 est l'angle aigu que forme le rayon vecteur avec la tangente.
CONTACT BXTRB DEUX COURBES. Il5
(=90^ — m (t) et la perpendiculaire abaissée sur la tangente est égale à p sinO ou à p cos/nct). L'angle compris entre la perpendiculaire et le rayon vecteur est égal à mo); celui que forment la perpendiculaire et la droite à partir de laquelle u> est mesuré est (m + i )(t). Mais le rayon vecteur de la courbe réciproque est l'inverse de la perpendiculaire abaissée sur la laagenle; d'après cela il est facile de voir que l'équation de la courbe réciproque sera auàsi de la forme p*" = n'^cosm w,
le nouvel m étant é6:al à Cette famille de courbes
renferme plusieurs espèces importantes; par exemple ^ le cercle (m = i ), la ligne droite (m = — i ), la lemniscate ordinaire (m = 2), l'hyperbole équilatère (m = — 2), la cardioïde (m =^), la parabole (m = — ^).. . .
