CONDITION DE CONTACT ENTRE DEUX COURBES

98. On a fait remarquer (n** 90) que le problème auquel conduit la recherche de l'équatîon de la courbe réciproque est le même que celui qui consiste à trouver la condition pour (|u'une droite soit tangente à la courbe donnée; la solution de ces deux problèmes revient à trouver Tenveioppe de ajT-f- p^-hY« = o, où a, p, y sont des paramètres qui satisfont à l'équation de la courbe. Plus généralement, le problème qui consiste à trouver la condition pour que deux courbes U, V soient tangentes est le même que celui où .1 s agit de trouver l'enveloppe de l'une d'elles, les coordonnées étant regardées comme des paramètres variables qui vérifient aussi Féquation de l'autre. En effet, si les deux courbes sont tangentes, les coordonnées du point de contact a, p, y vérifient Téqualion de chacune d'elles, et comme les tangentes sont aussi les mêmes, il faut qu'en ce point les quotients différentiels de U soient respectivement proportionnels à ceux

il6 CHAPITRE III.

de V. La condilion de contact s'obtient donc en éliminant a, [3, y, \ entre

dV . d\ d\] ^d\ dV , d\ U=o, V = o, ^5^ = ^^» d?=^W ■^=^"^'

or ces équations sont précisément celles qu'on a données (n** 88) pour résoudre le problème de l'enveloppe.

97. Soient m, m' les degrés respectifs de U et V et proposons-nous de déterminer l'ordre auquel les coediicients de l'une des deux courbes, de V par exemple, figurent dans la condition de contact. Soient a'. b\ c',- . . les coefïîcients de V et prenons une autre courbe W du même ordre, dont le> coefïîcients soient a*', b",c", .... Si, dans la condilion de contact, nous remplaçons chaque coefficient a! par o'-f- Aa*^, . . . nous obtiendrons la condition pour que V-f-A'W soit tangente à U; cette relation contiendra évidemment k à un degré égal à l'ordre auquel les coefBcîents de V entrent dans la condition de contact. Ce dernier ordre est donc le même que le nombre de courbes de la forme V -h A: W qu'on peut mener de manière qu'elles soient tangentes à U. Mais, comme dans ce qui précède, le point de contact doit satisfaire aux équations

V,-hAWi3=XU„ V,4-AW,^Xr„ V,-hAW, = X['3.

Eliminons k et X, nous en déduisons

Les intersections de ^ avec U déterminent les points de U qui peuvent être des points de contact avec les courbes de la formeV+AW.Commelesordresde U«, V|,W« sont respec-

CONTACT BIfTRB DEUX COUIBKS. II7

tivement m — i , m' — i , m' — i , Tordre de 7 est m -H a m' — 3 et le nombre des intersections est m(in -h am' — 3). C'est donc l'ordre auquel les coefficients de V figureront dans la condition de contact; de la même manière ceux de U y entreront à Tordre m\m' + am — 3). En faisant m' = i nous reirouvons un résultat déjà obtenu : la condition pour que OLX 4- ^y -+-y« = o soit tangente à une courbe contient a, 3, Y au degré m{m — i) et les coefficients de la courbe au degré 2 (m — i). Voir aussi Sections coniques, n** 372. Si U a un point double , nous avons déjà vu que les courbes U|, U^, Us passent par ce point, et si ce point est un point de rebroussement, elles y ont même tangente ; les mêmes déductions sont vraies pour^, et nous voyons que Tordre de la condition de contact, en fonction des coefficients (le V, doit être diminué de deux unités pour chaque point double, et de trois pour chaque rebroussement de U. L'ordre en question est donc

m{m-\-im* — 3) — 2 8 — Sx ou /n-2m(m' — 1).

98. On aurait pu obtenir ces résultats d'une autre manière ainsi qu'il suit. Prenons une droite arbitraire ûw? -h 6^+ C-8= o et égalons à zéro le déterminant

Cette équation représente le lieu d'un point tel que ses polaires par rapport à U et Y se coupent sur la droite en question. Mais, en un point commun à U et V, les polaires sont les deux tangentes qui se coupent au point commun; il n'y a donc évidemment que les deux cas suivants où un point commun à U et V puisse aussi se trouver sur ^ : ou bien la droite choisie passe par une intersection de U, V, ou bien en

,l8 CUAPITRK III.

ce point les deux courbes ont une tangente commune. Si donc nous effectuons réiiminatîon entre ^, U, V, le résultant contiendra comme facteurs la conditionpourque ax-{-by-hcz=o passe par un point d'intersection de U, V, et la condition pour tjue U et V soient tangentes. Or, comme la résultante de trois équations renferme les coefficients de chacune d'elles à un ordre égal au produit des ordres des deux autres équations, et comme les ordres y, U, V sont respectivement m -h m' — 2, m, m', Tordre auquel a, 6, c figurent dans la résultante est m m', celui des coefficients de U est

et celui des coefficients de V, m{inJ -{-m — 2). D'une manière analogue, les ordres de la résultante àe ax -\- by + cZy U, V en fonction des différents coefficients sont respectivement m m!, niy m'. En retranchant ces nombres des précédents, nous trouvons comme ci-dessus que la condition de contact est de Tordre Tn!{im-{- m! — 3) par rapport aux coefficients de U et de Tordre m{im! -\' m — 3) relativement à ceux deV.

99. Jusqu'ici nous ne nous sommes occupés que de théorèmes descriptifs, et nous avons laissé de côté la considération des questions appartenant à la classe de celles qu'on nomme métriques (n® 1). La relation de perpendicularité rentre dans cette dernière catégorie, car nous avons expliqué (Sections coniques, n** 3S6) que deux droites perpendiculaires peuvent être considérées comme des droites divisant harmoniquement la droite qui joint les deux points circulaires à Tinfîni. Il convient de ne pas exclure de ce Chapitre la discussion de quelques cas importants d'enveloppes dans lesquels intervient la relation de perpendicularité; les théorèmes qui en décou-

DÉTBLOPPÉBS. II9

lent peuvent être rendus descriptifs en substituant aux deux points circulaires à Tinfini deux points I, J pris arbitrairementet en remplaçant les droites perpendiculaires entre elles, qui peuvent intervenir dans nos théorèmes, par des droites qui divisent I, J harmoniquement.

Un des cas d'enveloppe qui compte parmi les plus importants et parmi ceux qui aient été étudiés les premiers, c'est celui des développées des courbes. Nous avons défini la développée d'une courbe {Sections coniques, n® 248) comme le lieu des centres de courbure de la courbe; mais on peut aussi regarder la développée comme F enveloppe de toutes les normales de la courbe. En effet, le cercle de courbure est le cerclequi passe par trois points consécutifs de la courbe, et son centre est Tinterseclion des perpendiculaires élevées par les milieux des côtés du triangle formé par ces points. Or les droites qui joignent le premier et le second point, le second et le troisième sont deux tangentes consécutives de la courbe, et les perpendiculaires dont on vient de parler sont deux normales consécutives; le centre de courbure est donc le point d'intersection de deux normales consécutives, et le lieu de tous les centres de courbure doit être le même que l'enveloppe de toutes les normales.

ËXEMPLB J, — Trouver la développée de — -h^^ = i.

La normale est (Sections coniques, n* 180)

Si nous posons â/ = a coscp, y = bsin^^ elle devient

ax by coscp sincp '

c'est une équation de la classe étudiée (n* 85, Ex, 2) et dont l'enveloppe est, par conséquent,

Îs I s i

l^O CnAPITRB III.

ExBMPLB 2. — La normale à la parabole est (Sections coniques, Q'* 213)

i>(r —/)-+- 2/(ar — a/)= o, ou

V'^-^iP^ — V^r )/ — i>V = o.

C'est une équation de la classe étudiée (n** 85, Ex. i); y étant le |)aramètre, son enveloppe est

2(/? — iixy-i-'iypj^* — o.

ExKMPLE 3. — Trouver la développée de la parabole semicubique py^ =ar*.

L'équation de la normale est

Zx'^(y — y) -h ipy{x — x') = o.

Remplaçons y par sa valeur en x' déduite de l'équation de la

courbe, et divisons par a/* ; si nous posons a?'* = «, Téquation devient

3 ^* H- 2/>f« — 3/?* 7^ — ikpx = o,

dont Tenveloppe est

/>(/?-. i8ar)» = (54/>x ^- ^AV H- />«)«.

Exemple 4. — Trouver la développée de la parabole cubique

L'équation de la normale est 3ar'*(7— /)-+-7)«(a7— a/) = o ou 3a?'»--3/>*7a7'«-h/>*iF'— 7)*a7 = o. Or l'enveloppe de

a/»-hioflf^«-h5c/-+-/= o est

(a/« — i2rf»e)« -f- ii8(ae« — ^df){ae^ — adef— grf*) = o.

Dans le cas actuel l'enveloppe cherchée est donc

Exemple 5. — Trouver la développée de la cissoïde

(x*-^y^)x = oy*.

Cette courbe est unicursale; si nous écrivons l'équation sous la

DÉTBLOPPfiBS. 131

forme (a — ^)^«=a^,nous voyons de suite qu'elle est vérifiée par les

Nous trouvons facilement que Téquation de la tangente au point en question est

a6'^ — 3ô«ar-f-a — x = o.

L'équation de la normale est donc

oa bien

aO^a: -f- 36»7 — a6«a -h 6^ — a = o.

En formant le discriminant, nous voyons aisément qu'il contient en facteur {3P-\-\a)*-\-y*; le facteur qui reste donne l'équation de la développée proprement dite, qui est

ExRHPLB 6. — Trouver la développée de x^ -h jr* =z a* .

Pour un point quelconque de cette courbe, nous pouvons poser (voir o« 85, Ex. 2)

rr' = a cos» ^, y^a sin' «p.

la tangente en ce point sera

coscp sin<p et la normale

â^coscp — ^sin«p = acosa^, ou bien

(^-+-^)(cosïp — sin^ )4-(â? — /)(cosçp-!-8inçp)= aa(cos*(p — sin*o),

ou encore

rr-f-y x — y l

«n(^+|) cos(<p+^) <iont l'enveloppe est, comme on l'a vu (n* 85, £x. 2), {x-^yy-h(x — yy = aa*.

laa CHAPITRE III.

100. Les recherches qui suivent conduisent a^ux expressions des coordonnées du centre de courbure et du rayon de courbure qu'on donne ordinairement dans les Traités de Calcul dififérentiel. Dans ce numéro et le suivant, nous employons les coordonnées cartésiennes rectangulaires. Si a et ^ sont les coordonnées d'un point quelconque de la tangente, x et/ celles de son point de contact, Péquation de cette droite est

dy la quantité ^> que nous appellerons/? pour abréger, se déduit de l'équation de la courbe. En effet, la tangente passe par le point (^y/) et fait avec l'axe des x un angle dont la tangente trigonomé trique est égale à /? (n^ 38). La normale étant perpendiculaire à cette droite au point (jt, ^), son équation est

Nous avons maintenant à trouver l'enveloppe de celte droite dont l'équativiu renferme les paramètres x e\,y\ le dernier/ est donné en fonction de x par le moyen de l'équation de la courbe. Différentions maintenant par rapport à j? et posons

T-=^ = ^r, nous voyons que le point de contact de la droite

avec son enveloppe se trouvera en combinant l'équation (i) avec sa dérivée

Résolvons ces équations par rapport à a — ^ et p — y^ nous avons

et le rayon de courbure est donné par l'équation

DÉVBL0TPÉK8. 133

Les valeurs que l'on vient d'obtenir pour les coordonnées du point d'intersection de deux normales consécutives auraient pu se trouver en considérant ce même point comme le centre Je courbure.

Prenons l'équation d'un cercle quelconque

En la différentlant deux fois, nous avons

Mais si le cercle est osculateur à la courbe en un point, les

quantités -T^y -t^ ont en ce point la même valeur pour les

deux courbes. Nous pouvons donc, dans ces équations, remplacer les coefficients différentiels par les valeurs de p et q déduites de l'équation de la courbe ; nous arriverons ainsi à des équations identiques aux équations (i) et (2), qu'on a déjà déduites d'autres considérations.

101. Dans la pratique,^ n'est pas donné explicitement en fonction de Xj mais ces deux quantités sont liées par une équation U = o; il sera donc commode de remplacer les expressions contenant/? et q par d'autres qui renferment les coellGcients différentiels de U. Posons, comme plus haut,

Les coeflScients de x et y dans Téquation de la tangente étant respectivement égaux à L et M, l'équation de la normale est

Nous en déduisons, en différentiant, (.)(*H-ft£)(-x)-(a.-Ag)(P-^)M>Lg = o.

dv f.Iais l'équation de la courbe nous donne L + M ^ = o el,

en remplaçante^ par sa valeur, nous avons

(3) (L6 — MA)(a — ar)— (LA — Ma)(P— 7)H-L« + M« = o. Résolvons maintenant les équations ( i ) et ( 2 ) ; il vient

" /^""aM* — 2/iLM-h6L«' ^ -^""aM* — aALM-hfcL*'

4)ar suite,

aM* — 2ALM-+-6L»

102. Si Ton introduit ici Tunité linéaire z^ on peut faire prendre à cette expression une forme plus symétrique, de manière à donner à Péquation la forme trilinéaire. En effet, en vertu du théorème des fonctions homogènes,

(/i— - i)M = Aa7-h 6/ -+-/«, (/i — i)N = ^o? -h/y 4- c«; on en déduit

(/i — i)(6L — AM) = (a6 — A«)a7 -h (6^ — /A)«, (/i— i)(aM— AL)=: afc — A«)j^H-(a/— ^A)-5.

Multiplions la première équation par L, la seconde par M et additionnons-les membre à membre; il vient

(/ï — i)(6L«— aALM-+-aM*)

^(afc A»)(a:L^^M)-h;;[(fc^-/A)L-h(a/-^A.)M];

mais, comme l'équation de la courbe donne

orL-h/M H- 3N = o, le second membre de Tégalité précédente devient égal à -5[(/A-6^)L4-(^A-a/)M-h(a6-A«)N].

DÉTBL0PPÊB8. tuS

Remplaçons h, M, N par leurs valeurs dgnnées ci*dessus,

Doas aurons

(n~i)«(fcL« — 2ALM-haM«)