L»H-MM

et Texpression qui fournit le rayon de courbure devient

Pour tout point dont les coordonnées satisfont à Téquation H = 0, le rayon de courbure devient infini et le centre de courbure est à une distance infinie. Cette particularité se produira quand trois points consécutifs de la courbe seront situés sur une ligne droite; en effet, le cercle qu'ils déterminent devient alors une droite et son centre se trouve à une distance infinie. Au moyen de cette valeur du rayon de courbure, nous pourrions donc, indépendamment du n^ 74, arriver à cette conclusion que les intersections de U et de H sont des points d'inflexion. D'après l'équation précédente, pour que deux courbes soient osculatrices, iJ faut que, en outre d<; ia condition de contact ordinaire, elles vérifient les deux re lalions L =6L', M = 6M' et par conséquent que l'on ait

Le double signe qui figure dans la valeur du rayon de courbure est analogue à celui qu'on trouve dans la valeur de la perpendiculaire à une droite (Sections coniques, u? 34), et si nous convenons de prendre le signe + quand le rayon de courbure (et par suite la concavité de la courbe) est dans une direcbon, nous devrons prendre le signe — pour la direction opposée. Comme toute fonction algébrique change de signe en passant par zéro, nous voyons qu'en un point d'inflexion le rayon de courbure change de signe et qu'en passant par

un pareil point la concavité de la courbe se transfonîie en convexité, et réciproquement [voir fig. du n^45). En un poinl

double^ le rayon de courbure prend la forme -> et sa valeur

doit se déterminer par les règles ordinaires usitées en pareil cas. Par le fait, chaque branche de la couil>e a sa propre courbure en ce point. On trouvera que le rayon de courbure s'annule en un point cuspidal.

103. La longueur d'un arc quelconque de développée est égale à la différence des rayons de courbure à ses extrémités.

Menons trois normales consécutives à la courbe : soient G le point d'intersection de la première avec la seconde, C le point d'intersection de la seconde avec la troisième; à la lîmi te nous aurons CR = CS , C S === C T ; CC , qui est la variation infinitésimale de l'arc de développée, est donc aussi celle du rayon de courbure.

Si donc on imagine un fil flexible enroulé sur la dévelop-

pée et qu'on le déroule, chacun de ses points décrira une déi^eloppante de la courbe CC, c'est-à-dire une courbe dont ce est la développée. C'est à ce point de vue que Huygens, l'inventeur des développées, les a tout d'abord considérées et c'est ce qui leur a fait donner ce nom de développées.

DtVBLOPPÉBS. 127

104. Nous ajouterons ici une formule qui est quelquefois ulile pour trouver le rayon de courbure d'une courbe représentée par une équation en coordonnées polaires. L'équalion polaire p =/((i>) peut se transformer en une autre de la forme p = /(/?); ici/? est la perpendiculaire abaissée du pôle sur la tangente et sa longueur est donnée par les équations (n*» 9o)

p=:psin6, tango =:p -r-* P

Soient p4 la distance du pôle au centre de courbure et R le

rayon de courbure ; nous avons alors

PÎ=p«^R« — 2R/>.

Si nous passons au point consécutif de la courbe donnée, Pi et R demeurent constants et, en différentiant, nous obtenons

dû Il = p -T^ : c'est l'expression demandée du rayon de courbure.

C^uand on a ainsi exprimé R en fonction de p et de/>, si Ton élimine p et/> entre les équations

P=/(/>), PÎ = P*4-R«-2R;>, />î=p«-/?«,

dont la dernière est toujours vraie, on obtient la relation qui subsiste entre les quantités pi et pi relatives à la développée; mais il n'est pas toujours facile de passer de là à la relation entre les coordonnées polaires p, et w, de cette développée.

Comme exemple prenons la courbe p™ = a*" cosmco ; nous trouvons ici que la relation qui lie p et/> est /? = p cosmo) et par suite p*""^' = oP^p» Le rayon de courbure est alors

(m -+- ï)p (w-f- i)p"*-** Les équations

pî = p«4-R*-2R/>, p\ = p^^p^

1*28 GHAPITBB III. ^

donnent bien les quantités p, j/?^ exprimées chacune en fonction de p, et par suite on a théoriquement l'équation de la développée sous la forme pi = ? (/'Oi ins^îs l'élimination ne peut réellement s'effectuer.

Il est cependant facile de trouver l'équation de la réciproque de la développée par rapport à un cercle décrit autour du pôle comme centre. Prenons, pour plus de commodité, le rayon du cercle = a ; soit pa le rayon vecteur de la courbe réciproque, et o>2 son inclinaison sur une droite perpendiculaire à celle à partir de laquelle a> est mesuré : nous avons alors />i = p sinmo), et par suite

cos'^mcusm mco

De plus (d'après le n® 95), o>2 = (m -f- i) a>; par conséquent la relation entre pa et (Os, ou l'équation de la réciproque de la développée, est

Pi

CCS sm"

On verra facilement que le lieu de l'extrémité de la soiir^ tangente polaire (Sections coniques, n® 192) d'une courbe quelconque est la réciproque de la développée de la courbe réciproque. Ainsi ce lieu est une ligne droite pour les coniques focales, puisque la développée de la réciproque se réduit à un point.

105. Si l'on nous donne l'équation tangentielle d'une courbe u = o, nous pourrons obtenir directement les coordonnées tangentielles de la normale et l'équation tangentielle de la développée. En effet, si (a', p'jy') sont les coordonnées tangentielles d'une tangente,

du' ^ du' du'

DÊTBLOPPÉBS. 129

est Téquation du point de contact; et si i' s= o est l'équation tangentielle d'un couple de points IJ, alors

est l'équation du pôle de la tangente donnée par rapport àlJ; en d'autres termes, c'est l'équation du conjugué harmonique par rapport à ces points du point où la droite IJ est rencontrée par la tangente donnée. Si I, J sont les points circalaires à l'infini, la seconde équation représente le point à l'infini sur la normale, et les deux équations, considérées ensemble, déterminent les coordonnées tangentielles de la normale. Si entre ces relations et l'équation de la courbe nous éliminons a', P', y, nous aurons l'équation de la développée. Dans le système de coordonnées tangentielles qui corres- ()ODd aux coordonnées rectangulaires ordinaires, l'équation qui représente les points circulaires I, J est a^ H- ^^ = o(voir Sections coniques, n® 385), et la seconde équation

dv' ^ dv' dv'

est la condition bien connue de perpendicularité

aa' -H ??' = o.

Exemple. — Former V équation de la développée d*une conique à centre donnée par son équation tangentielle (voir Sections coniques, n* 169) a*a«-h 6«?* = i.

Ici les deux équations qui déterminent les coordonnées de la normale sont a'aa'-h 6*P3' = i et ««'-h ^3' = o; nous en déduisons

Remplaçons «' et P' par leurs valeurs dans a*a'*-+- 6* 3'* = i; nous obtenons l'équation tangentielle de la développée qui est

s. — Courbes planes.

l3o CBAPITBK III.

106. Nous donnons ci-après quelques exemples du problème plus général qui renferme celui des développées. 11 consiste (n^ 06) à trouver Tenveloppe de la conjuguée harmonique de la tangente à une courbe par rapport aux droites qui joignent son point de contact à deux points fixes I,J. Cette droite peut être appelée la quasi-normale et son enveloppe la quasi'déç'eloppée.

Exemple 1. — Supposons que la courbe soit une conique.

Prenons la droite IJ pour base du triangle de référence et supposons que le sommet soit le pôle de cette ligne par rapport à la conique; Féquation de cette courbe sera alors de la forme

{ax -\-y)(x -^ bjr)= z^f

et celle d'une tangente quelconque sera

6«(ax -+-7)- a6z -+-(3:4-67)= o.

L'équation d'une droite qui, jointe à cette dernière et aux droites jr et y, détermine sur z une division harmonique, sera de la forme

^*(ax—y)-h{x — by)= Mjs.

Nous déterminerons M en considérant que la droite en question doit passer par le point de contact pour lequel nous avons

b(ax-^j') = Zf fiz == x-^ bjr; par suite,

z(b — ^^) z(afii^i)

^{aù — i) '^ 0(«6 — I) et nous trouvons

Si nous posons alors

ar— 7 = Y, ar— 67 = X, 8^=(a6 — i)Z,

l'équation de la quasi-normale devient

ae^Z-f-4ô*Y-+-4ÔX — 6Z = o,

et l'erveloppe est une courbe de la quatrième classe dont l'équation est

(a^»Z«-H iXY)i-+ i-ZïCaX» — 6YM« = o:

DÊVBLOPPtBF. l3l

elle représente une courbe du sixième degré a^ant les points XZ, YZ pourpoints de rebroussement, Z étant leur tangente commune; elle a en outre quatre autres points de rebroussement aux intersections dea6Z«-+-4XY et de aX«— 6Y«.

Exemple 2. — Supposons que la conique pcuse par un des points f, J, ce que nous pouvons exprimer en disant qu'elle est umicirculaire.

Nous aurons alors b ^ o\xz e&X sur la courbe et x est la tangente. L'équation de la quasi-normale devient alors

ae»Z-+-4e«Y-4-4X = o;

l'enveloppe est de la troisième classe seulement; son équation est

64Y»4.a7a«XZ« = o;

c'est une cubique qui a YZ pour point de rebroussement et XY pour point d'inflexion.

Si la courbe passe à la fois par I et J, en faisant a et 6 égaux chacan à zéro, nous voyons que l'équation de la quasi-normale s.* réduit à 6*X + Y = o; la droite passe donc par un point fixe, qui est Tintersection de X, Y, les deux tangentes en I, J.

ExBMPLB 3. — Admettons que la conique soit tangente à la droite IJ.

Les droites de référence les plus commodes sont cette droite et les deux autres tangentes qui passent pari et J, et l'équation de cette conique est

X^ 4- jrl ^ 5» ^y;^ — 'XZX — HXy = O

ou

z^ix -^-ly — -5) = (a? — /)•.

L'éqnation de la tangente est alors

ix-'r'xy ^ z — a6(a? — ^)H- B*^ .= o,

et nous avons pour le point de contact

0?— / = 6^, ix-^riy — ^ = 0*^.

L'équation de la quasi-normale est alors

ou

6»^ — ^{%x -^ %y -if z^-\- 'k(x — y) = o.

iSq chapitre 111.

L'enveloppe est aussi de la troisième classe; c'est la cubique cùspidale dont Téquation est

Exemple 4. — Les exemples qui précèdent auraient aussi pu se traiter en supposant la conique donnée par son équation gênéraie. La tangente en un point quelconque ot^Y ^^^^^

(aa -i- A p -h g^)x -i-( Aa -h 6 p -^•/y)^ -^-(^« ^-/P -^ <?Y)-« = o»

l'équation de la quasi- normale est

Nous sommes ainsi conduits à former Fenveloppe de la droite a-sot» — bz^*-h(fy — gx)^*

-*-(^r — /^ — ^^) Pï + ( ^r -^ ir-» — «^)t« = »>

dans laquelle a, p, ^ ^^'^^ ^^^ paramètres qui vériOent aussi la condition

Nous obtiendrons Téquation de Tenveloppe (n* 96) en suivant la marcbe indiquée {Sections coniques, n"" 372) pour former la condition de contact de deux coniques. Nous aurons donc à déterminer les invariants de ce système de fonctions quadratiques^ et le discriminant de la première est ikzS, où S est égal à

(a6 — A«)(aar« — 6/«)-+-(6^«— a/«).»« -h •àb{gh — a/)jrz — 2a( A/— bg)xz.

Nous aurons

e =—{ab—h'^){ax^^xhocy + by^) -i-i^ap -^-'ibg*— iabc -- ^/gh)z^ -j-( 4 bgh — ^ab/— a/A* )/^ -+- (4 a6/— .a«6^ — 2^A« )xz,

6' s'annule et l'enveloppe est, par suite^ 27 A^* S' = 6'; elle est du sixième degré, comme ci-dessus, avec six points de rebroussement, dont deux sont situés sur ^. Supposons d'abord que z soit une tangente à la conique; alors ab — A' = o, S et 6 prennent la forme Lz, Mz^ L et M étant des fonctions linéaires; l'enveloppe devient ^L* = M' : c'est une cubique cuspidale ayant z comme tangente stationnaire. En second lieu, admettons que la conique passe pari ou j^^ : alors a = o, S devient b{hy -^ gz^eiS prend la forme {hy -h gz)M,

DÉTBLOPPÉBS. l33

L'équation devient divisible par ( Aj^ -+-^^)» et Fenveloppc a une équation de la forme -«*( A^ -+- ^^) = M'. On remarquera que hy -h gs est la tangente à la conique au point I et que c'est une tangente d'infleiion de Tenveloppe.

107. En général, comme l'a fait remarquer M. Cayley, si hx -t- M^ 4- N.S est la tangente en un point xfyz'^ et si a^y, a'PY sont les coordonnées de I, J, Téquation de la quasinormale est

(L«'4-MP'-i-Ny')

(La-hMp-hNY)

En eflet, les deux déterminants, que nous appellerons pour le moment A, A', représentent individuellement les droites qui joignent x^yz' à I et J, et, comme la tangente passe par leur intersection, nous devons avoir une identité de la forme Lx -\- M/ 4- N-8 = AA — BA'. En remplaçant dans celte identité xyz successivement par a'PY> *Py» ^^"^ trouverons pour A et B des quantités proportionnelles à La' -|- M P' -t- N^ et La-H M^ + Ny; par conséquent, l'équation de la conjuguée harmonique de la tangente par rapport à A, A' est de la forme écrite ci-dessus.

108. Examinons plus particulièrement le cas où l'un des points a, p, y est sur la courbe et, pour simplifier, supposons que ses coordonnées soient (i, o, o). Cela revient à dire que nous supposons que ce point est yz et que nous prenons la droite z pour tangente en ce point; nous allons démontrer que l'équation de l'enveloppe contient z comme facteur. Nous pouvons également, sans porter atteinte à la

l34 CHAPITRE III.

généralité de nos raisonnements, supposer que le second point soit xy ou que ses coordonnées soient 0,0,1. Faisons p = o, Y = o, a' = o, p'= o dans Téquation précédente ; elle devient

N(^y-5/)-hL(a:/-/j:)=o.

Supposons maintenant que a^^ y ^ z! soient exprimés en fonction d*un paramètre t etque le point (a, ^^y) corresponde à la valeur t = o ; nous devrons avoir t comme facteur dans l'expression de y et t^ dans celle de x! pour que réquation de la tangente puisse se réduire à 2 = o. En général, comme la tangente est la droite qui joint le point (ai ^y\ zT) au point consécutif (j?' -h dx\ y -+- rf/, z' + dz')^ son équation est

x{ydz' — z'dy)^y{z'dx'^x'dz')-^-z{x'dy — ydx')—o.

L, M, N sont les coefiicients de Xy y^ z dans cette équation cl t est facteur dans M et t^ dans L. Si donc on ordonne réquation de la quasi-normale suivant les puissances croissantes de t^ on trouvera qu'il n'y a pas de terme indépendant de t et que z est facteur à la fois dans les coefficients de / et t^. Mais le discriminant d'une fonction A-l-B^4-C^*+... est de la forme A-|-B'<j; [Algèbre supérieure, n® 107) et, par conséquent, un facteur qui figure en même temps dans A et B sera aussi facteur dans le discriminant. Si donc nous iaisons B = o dans ce dernier, l'expression restante sera de la forme A( A -h C'(j/) ; nous voyons ainsi que l'enveloppe aura z pour tangente d'inflexion (voir n^ 99, Ex. 4).

109. On a fait remarquer [Sections coniques, n° 385) que la relation de perpendicularité peut être généralisée en remplaçant les points I, J par une conique fixe et en regardant deux droites comme perpendiculaires quand chacune passe par le pôle de l'autre relativement à la conique. Dans cette nouvelle acception, l'élément qui correspond à la normale

DÉYBLOPPftBS. l35

est la droite qui joint un point quelconque de la courbe au pôle de sa tangente par rapport à la conique fixe; ou, eu d'autres termes, la droite qui unit le point en question au point correspondant de la polaire réciproque par rapport à la conique fixe.

Ainsi la courbe et sa réciproque ont les mêmes normales. Par exemple, si nous prenons pour la conique fixe :r^ -f-^* -h^*, les coordonnées du pôle d^une tangente quelconque à la courbe sont L, M, N et l'équation de la droite qui correspond à la normale est

a7(M5' — N/)-+-j-(Njr' — L5')-f-5(L/-M^')=o;

si la courbe était une conique, cette équation serait du second degré en j/, y, zf et l'enveloppe se déterminerait comme dans V Exemple 4 (n® 106).

110. Les remarques qui suivent constituent un préliminaire utile à la recherche des caractéristiques de la développée d'une courbe. La normaleen un point situé à Vinfini sur une courbe coïncide avec la droite de Vinfini elle-même. Nous avons déjà fait remarquer (n^ lOo) que nous pouvons généraliser la conception d'une normale en substituant aux deux points circulaires de l'infini deux points I, J à distance finie, que si la tangente en un point quelconque P rencontre IJ en M, et si M' est le conjugué harmonique de M par rapport à I, J, la droite PM' peut être regardée comme la normale. De cette construction il résulte immédiatement que, si le point P est situé sur la droite IJ, PM' coïncidera avec cette droite. Le cas où le point P coïncide avec I ou J fait l'^iirpfnîs exception; les points M er M' se correspondent alors et la normale coïncide avec la tangente (voir Sections coniques, n* 382, note). Donc, si la courbe passe par l'un des points circulaires à l'infini, la normale en ce point coïncidera avec la tangente.

l36 CHAPITRE iir.

111. Nous allons maintenant déterminer la classe de la développée d^une courbe donnée, ou, en d'autres termes, le nombre de normales (tangentes à la développée) qu'on peut mener d'un point quelconque à cette courbe. D'après la loi de continuité, le nombre de normales sera le même quel que soit le point par lequel elles passent. Il suiïit donc d'étudier le cas où le point est à l'infini. Mais le nombre de normales, distinctes de la droite de l'infini elle-même, qu'on peut mener parallèlement à une droite donnée, est égal au nombre des tangentes qu'on peut mener parallèlement à la droite donnée, c'est-à-dire à la classe de la courbe. Et nous avons vu dans le numéro précédent que les m normales qui correspondent aux m points de la courbe situés à l'infini coïncident avec la droite de l'infini et, par suite, passent aussi parle point en question. Donc le nombre de normales qu^ on peut mener à la courbe par un point quelconque est égal à la somme de V ordre et de la classe de la courte, ou, ce qui est la même chose, à la somme des ordres de la courbe et de sa réciproque. Si la droite à l'infini est une tangente à la courbe, le nombre des tangentes à distance finie qu'on peut mener par un point à l'infini est évidemment d'une unité moindre que dans le cas général, et par suite le nombre des normales est aussi moindre d'une unité. Ainsi, on peut en général d*un point donné mener quatre normales à une conique; on ne peut en mener que trois à une parabole.

De même, si la courbe passe par un des points circulaires, nous avons vu (n^ 110) que la normale en ce point ne coïncide pas avec la droite de l'infini ; par conséquent, chaque fois que la courbe passe par un point circulaire, le nombre des normales est d'une unité moindre que dans le cas général. Par exemple, dans le cas du cercle qui passe par les deux points I, J, le nombre des normales menées par un point est diminué de deux, et il est eflectivement de deux au lieu d'être de quatre. De même, si m et az sont le degré et la

DfiYELOPPÉBS. l37

classe d'une courbe qui passe/ fois par un poinl circulaire et est ^ fois tangente à la droite de Tinfini, la classe de la développée sera

/i' = mH-n— /— ^.

Nous aurions pu obtenir également ces résultats en remarquant que si, dans Téquation delà normale M (a — x) = h(^ — y), Dous supposons a, p donnés et x, y variables, nous aurons Téquation d'une courbe du m**"* degré, dont l'intersection avec la courbe donnée détermine les points dont les normales passent par a, p. Si la courbe n'a pas de points multiples, le Dombre des intersections sera évidemment m^ ou m -j- /i, et il n'est pas difficile de montrer que, dans le cas général où il y a 8 points doubles et x points de rebroussement, l'ordre est /w* — a 8 — 3x, c'est-à-dire m -j- /i.

112. Nous allons examiner quel sera le degré de la développée, et ici encore il suffira de chercher le nombre de points suivant lesquels la droite à l'infini coupe cette courbe. Si deux normales consécutives de la courbe primitive sont parallèles, les tangentes correspondantes coïncideront ; donc les points à l'infini sur la développée proviendront en général des points d'inflexion de la courbe donnée. A ces points il faudra ajouter ceux qui proviennent de points à l'infini sur la courbe donnée, points qui (n^ 111) donneront aussi naissance à des points à l'infini sur la développée. Nous disons de plus que ces derniers seront des points de rebroussera en t de la développée et qu'ils auront pour tangente la droite à l'infini. Soient M un point quelconque de la droite IJ et M' son conjugué harmonique; nous avons vu que la droite qui correspond à la normale en M est la droite U; mais si les points consécutifs de la courbe qui précèdent et suivent M sont L et N, leurs normales seront LM', NM'. Donc M' est un point par lequel passent trois tangentes consécutives de la

l38 GHAPITIIB III.

développée : c'est donc un point de rebroussement ayant IJ pour tangente. Mais, comme la tangente en un point de rebroussement rencontre la courbe en trois points consécutifs, les m points à Finfini de la courbe donnée font naître le même nombre de rebroussements sur la développée et donnent 3 m intersections de cette courbe par la droite de rinfini. Si à ces derniers nous ajoutons ceux que nous avons déjà obtenus, nous trouverons que le degré de la développée est égal à t -j- 3 m, c'est-à-dire au nombre que nous avons appelé a (n« 83).

Si la courbe passe par l'un ou l'autre des points I, J, nous avons vu que ces derniers ne donnent pas de points à l'inGnl sur la développée, et par conséquent le degré se trouvera diminué de trois unités. Si la droite IJ est tangente à la courbe, les normales aux deux points consécutifs où elle rencontre la courbe coïncideront avec U ; nous aurons ainsi deux tangentes successives de l'enveloppe qui coïncident, c'est-à-dire un point d'inflexion sur l'enveloppe et dont IJ est la tangente. Comme cette singularité remplace deux des rebroussements que nous obtenons quand IJ rencontre la courbe suivant des points distincts les uns des autres, le degré de la développée diminue de trois unités, et si nous employons les lettres/et g en leur donnant le même sens que dans le dernier numéro, nous avons pour le degré de la développée

Les valeurs qu'on vient de donner montrent que le degré et la classe de la développée d'une courbe sont les mêmes que ceux de sa réciproque, comme le n® 109 pouvait nous le faire prévoir.

(') Quelques exemples particuliers montreDl qu'on doit modifier ces formules quand I ou J est uo point multiple où deux ou plusieurs tangentes coïncident. Ainsi, si Tun d'eux est un rebroussement, la diminution du degré est 4 et non 6.

DÉYBLOPPÉBS. 189

113. Il n*y aura pas, en général, de points d'inflexion sur la développée, car, s'il exisiait un point de ce genre, les deux tangentes consécutives à la développée (normales à la courbe) coïncideraient; or il est évident, à l'inspection de la figure, qne deux normales consécutives ne peuvent coïncider que si les tangentes correspondantes coïncident avec leurs normales et coïncident entre elles; ceci ne pourrait arriver que dans le cas exceptionnel où la courbe primitive aurait une tangente d'inflexion passant par I ou J.

Si cependant la courbe est tangente à IJ, nous avons vu (n^ 112) qu'il y a un point d'inflexion à l'infini et, si la courbe passe par I ou J (n** 108), que la développée a une tangente d'inflexion qui passe parle même point. Nous avons de cette manière un nombre suffisant de conditions pour déterminer toutes les caractéristiques de la développée, à savoir :

Nous en déduisons, par les formules de Plucker^

x'=z3«-3(m + Ai)-5(/+^), a'=z3a~8(/4-^),

et nous pouvons de la même manière écrire le nombre des points doubles de la développée et de ses tangentes doublei^; ces tangentes doubles sont, cela est bien évident, des normales doubles de la courbe primitive.

Le genre (n" 44) de la développée est le même que celui de la courbe primitive, comme on peut le vérifier en se servant de l'expression de ce genre ; ^[a — 2(m -f- /i)]-f- 1 . (En général, le genre de deux courbes est le même si l'on fait dériver l'une de l'autre de telle manière qu'à un point de l'une d'elles corresponde un seul point sur l'autre.)

114. On peut aussi chercher directement combien la développée possède de points de rebroussement. Nous obtiendrons un point de rebroussement sur la développée, quand trois de

l40 CHAPITRE III.

ses tangentes consécutives (c'est-à-dire, des normales à la courbe) se couperont en un même point; ou, en d'autres termes, quand quatre points consécutifs de la courbe primitive seront situés sur un même cercle. S'il en est ainsi, le rayon de courbure restera constant quand nous passerons au point infiniment voisin. Si donc nous différentions l'expression donnée (n® 102)} nous aurons

(U^M^){^dx-^ ^ dy\=m[{aL-hhM)da!-h{hh-\-bM)dy].

Éliminons dxtldy au moyen de Téquation L rfj: -h M rfj^ = o, nous obtiendrons

H est de l'ordre 3 (m — a), L et M sont chacun de l'ordre m — I et a, 6, A de Tordre m — a ; celte équation représente donc une courbe de Tordre 6m — lo, dont les points d'intersection avec la courbe donnée sont les points où le cercle osculateur a avec cette courbe un contact du troisième ordre (*).

Si la courbe n'a pas de points multiples, ces m(6/n — lo) points, joints aux m points à l'infini, donnent naissance à (6m — 9) points de rebroussement sur la développée; ce nombre est d'accord avec les formules précédentes.

Nous pourrions de la même manière rechercher les caractéristiques de la développée, en considérant cette courbe dans le sens plus général que l'on a indiqué dans le n® 109, et nous trouverions que les formules que nous avons déjà obtenues

(*) Dans la suite de cet Ourrage, nous étudierons d'une manière plus complète la question des coniques qui ont avec la courbe un contact d'ordre supérieur au second, et nous donnerons une formule pour calculer l'aberration de courbure ou la quantité dont la courbe s'écarte de la forme cir~ culaire.

GÀU8TIQUIS. l4l

sont encore applicables;/ sera alors le nombre des contacts de la courbe avec la conique fixe ; il n'y aura pas de singularité correspondant à g.