CAUSTIQUES

113. Comme exemple de développées, nous dirons quelques mots des caustiques, dont la recherche appartient entièrement à la théorie des courbes, quoiqu'elle ait été suggérée aux mathématiciens par la science de l'Optique. Ce sujet a quelque intérêt, au point de vue historique, car les caustiques figurent avec le problème des enveloppes parmi les premières questions qu'on ait étudiées ( * ).

Quand la lumière tombe d'un point quelconque sur uue courbe, le rayon réfléchi s'obtient en menant une droite qui fasse avec la normale un angle égal à celui que Tait le rayon incident avec cette même droite : l'enveloppe de tous ces rayons réfléchis est la caustique par réflexion.

Il est facile de former l'équation générale du rayon réfléchi.

Soient T = o, N = o les équations de la tangente et de la

normale au point d'incidence; l'équation du rayon incident

est

T'N-TiYmo,

T', N' étant les résultats de la substitution des coordonnées du point lumineux dans T et N; le rayon réfléchi, qui constitue un faisceau harmonique avec ces trois droites, aura alors pour équation

T'N-hT.V=:o,

et l'on pourra former l'équation de son enveloppe au moyen des règles précédentes.

(') Les caustiques ont été menlionnées pour la première fois par TschiroluDsea {Acta erudUorum, 1683).

l4a CDAPITRS III.

Exemple. — Trouver la caustique par réflexion dun cercle.

Soient a, ^ les coordonnées du centre lumineux, les équations do la tangente et de la normale sont respectivement

arcosÔ-f-^^sinÔ — r = o et a: sin6 — ^cos6 = o.

Le rayon réfléchi est, d'après ce qui précède,

(acos6-f- p sin6 — r)(a7sin6 — ^cos6) -h(a?cos6-h^8in6 — r)(asin6— ^cosô) = o ou bien

(a7^-hpx)cosa6-+-(P^ — aar)sinaO-Hr(a:-»-a)8in6 — r(^-f-p)cos6=o, dont Fenveloppe est (^Ex, 3, n* 85)

1 4 (a« H- p«)(ar« 4- J-») — r« [(ir-f- a ,«-f- (y ^ P)«] !• = a7(px— %y)Hx'^ -f-^» — a« — p«)«.

116. Au Heu de chercher directement l'enveloppe du rayon réfléchi, M. Quetelet a donné une méthode, plus commode dans la pratique, pour ramener le problème à celui des développées, car la caustique serait suffisamment déterminée si nous connaissions la courbe dont elle est la développée :

Si nous prenons successivement chaque point de la courbe réfléchissante pour centre et sa distance au point lumineux pour rayon, et si nous décrivons une série de cercles, l'enveloppe de tous ces cercles sera une courbe dont ta développée sera la caustique cherchée.

L'énoncé suivant (dû à M. Dandelin) est l'expression du même théorème sous une forme plus commode :

Si du point lumineux O nous abaissons une perpendiculaire OPsur la tangente et si nous la prolongeons de manière que PR=OP, la caustique sera la développée du lieu de R.

En effet, RT est évidemment la direction du rayon réfléchi, et, si nous menons le rayon consécutif, comme OT, TV, OT', T'V font des angles égaux avec TT', nous aurons OT^TV = OT'-+-T'V {Sections coniques, n» 392); par conséquent, VR = VR' et par suite VR est une normale au lieu du point R.

CAUSTIQUES. l43

Le lieu de P, pied de la perpendiculaire abaissée sur la tangente, s'appelle la podaire de la courbe donnée. Le lieu du point R est évidemment une courbe semblable à la podaire

FIg. ï4.

et son équation peut toujours s'écrire immédiatement quand on connaît Téquation de la réciproque de la courbe donnée

prise par rapport à O; il suffit de remplacer p par - dans Téqua-

lion de la réciproque exprimée en coordonnées polaires. Ainsi la ëauslique par réflexion d'un cercle est la développée du limaçon {Ex. 5, n<>55); son équation (le point lumineux étant le pôle), trouvée par la règle qu'on vient de donner, est de la forme

p=/?(i 4-ecosa)).

117. Si la lumière tombe d'un point quelconque sur une courbe, le rayon réfracté s'obtient en menant une droite qui fasse avec la normale un angle dont le sinus soit dans un rapport constant avec le sinus de l'angle que le rayon incident fait avec cette même normale ; l'enveloppe de tous ces rayons est la caustique par réfraction.

M. Quetelet a ramené de la même manière la recherche de ces caustiques à celle des développées, au moyen du théorème suivant, dont on reconnaît facilement l'exactitude :

Si de chaque point de la courbe réfractante pris comme centre, avec une longueur qui soit dans un rapport constant

l44 CHAPITRE III.

ai^ec la dislance de ce point au point lumineux comme rayon, nous décrivons une série de cercles, l'enveloppe de ces cercles sera une courbe dont la développée donnera la caustique par réfraction.

En effet, la méthode infinitésimale montre que, par suite de la loi de réfraction, les accroissements infiniment petits des rayons incident et réfracté sont liés par la relation mrfo + rfp'=o. Il en résulte que si, sur le rayon réfracté prolongé, on prend TR = m.OT, T'R' = /n.OT', on aura VR = VR' et, par conséquent, le rayon réfracté sera normal au lieu du point R.

Nous donnons ici quelques considérations géométriques qui se rapportent à deux cas intéressants de caustiques par réfraction.

1** Trouver la caustique par réfraction d'une ligne droite.

Abaissons.une perpendiculaire surladroite {/ig. aS), prolongeons-la de manière que AP = PB et décrivons un cercle qui passe par A, B et le point d'incidence R; soit LR le rayon réfracté ; cette droite est évidemment la bissectrice de Tangle ALB

et nous avons AL + LB : AB : : AL : AO : : sio AOL : sin ALO. Mais AOL est l'angle que le rayon réfracté fait avec la normale à la surface et ALO = BLO = BAR est Tangle de rayon incident fait avec cette même droite; le rapport de AL -+- LB