CAUSTIQUES

à AB est donc donné; par conséquent, le lieu de L est une ellipse, dont  et B sont les foyers, à laquelle LR est normale etdoDt, par suite, la caustique est la développée.

2° Trouver la caustique par réfraction d'un cercle,

Décrivonsun cercle passantparA(yî^. 26), le pointlumîneux, parB, et le point d'incidence, et de manière qu'il soit tangent

à OR ; le point D est alors donné puisque OA x OB = OR . Le rapport RA: RBest, parles triangles semblables, égal aurapport donnéOArOR. Le rapport RA:RMestégalàsinRBA:sinRBM. Mais RBA est égal à PRA, Tangle que le rayon incident iait avec la normale à la courbe, et RBM est égal à PRM, l'angle que le rayon réfracté fait avec la même normale ; donc le rapport RA : RM est aussi donné. Mais

AM X RB H- MB X AH = RM x AB;

si nous représentons par p et p' les dislances de M à A et B, ces distances seront liées par la relation

RB RA , ,^

^p^^^p^AB.

Or une cartésienne est définie comme le lieu d'un point dont

les distances à deux foyers donnés sont liées par la relation

mp -h np'= c; et l'on démontre, exactement de la même mn-

l46 CHAPITRE III.

nîère que dans les Sections coniques (n'* 392), que la normale à une pareille courbe* cfiyise Fatigte que font les deux radions focaux en deux parties dont les sinus sont daos le rapport de min. Donc le lieu de M est une cartésienne dont A et B sont les foyers ; il est évident aussi que MR est normale à ce lieu et que par conséquent la caustique est la développée de celle courbe (*).

L^ellipse dans ( i ) e t la cartésienne dans ( 2 ) son t des courbes qui coupent à angle droit les rayons réfractés : la courbe qui coupe normalement les rayons réfractés ou réfléchis s'appelle la caustique secondaire.

COURBES PARALLÈLES ET PODAIRES NËGAnVES.

118. Il nous reste à dire quelques mots dHme ou deux autres classes d^enveloppes. Nous avons déjà parlé du problème qui consiste à trouver la courbe parallèle à une courbe donnée. Cette question peut se traiter en cherchant Fcnveloppe d^une tangente pavaUèle à chacune des> tangentes de la courbe donnée, et située à une distance donnée de chacune déciles, c'est-à-dire Penveloppe de la droite

On peut encore; comme nous l'avons déjà vu, regarder ce ]>roblème comme se ramenant à celui-ci : Trouver V enveloppe d'un cercle de rayon donné

dont le centre (oL, '^J satisfait à Inéquation de la courbe; ou encore, ce qui revient au même : Trouver la condition pour que ce cercle soit tangent à la courbe donnée. Le résultat sera évidemment une fonction de k^. Dans quelques cas ex-

(') Cette démonstratioD m'a élé communiquée par le D' Alkins.

ceplionnels que nous allons faire connaître ici, le résultat peul se décomposer en facteurs ; par exemple, la courbe parallèle à un cercle et à une distance k de ce cercle se compose d'un couple de cercles dont les rayons sont a±k. Mais ordinairement une décomposition de ce genre n'est pas possible, et les deux tangentes situées à la distance ± k d'une tangente quelconque de la courbe donnée seront toujours tangentes à la même coarbe parallèle. Par conséquent, le nombre de tangentes qu'on peut mener à cette dernière parallèlement à une direction donnée est double du nombre des tangentes qu'on peut mener de la même manière à la courbe donnée, en d'autres termes /i'=2/i. De même, à chaque tangente in- Hexionnelle de la courbe donnée correspondent deux tangentes de même espèce sur la courbe parallèle, c'est-à-dire que '.'=21. Pour trouver l'ordre de la courbe parallèle, il suffît de faire A: = o dans son équation, ce qui n'affectera pas les termes du degré le plus élevé dans l'équation; mais on a démontré pour les coniques (-Sec^w/i^co/i/^rwe^, n**372, Ex,^)^ el ceci est vrai en général, que le résultat obtenu en faisant ^ = o dans l'équation de la courbe parallèle se compose de la courbe originale comptée deux fois et des deux systèmes de n tangentes menées à la courbe par les points I, J.

L'ordre cherché est donc 2(m-f-/i). Il n'y aura aucune difficulté à trouver les modifications que subissent ces nombres quand la courbe originale est tangente à la droite de Tinfini ou passe par les points I, J. Nous arrivons de cette manière aux formules de M, Cayley :

OT'=r2(/W-|-/l)--2(/-f-^), n'=:2/l, l' = 2 l = — 6/n-|-2a, x'=:2a — 6(/-h^), /=:2{n-g), g' — '^ g

La courbe parallèle et la courbe originale ont les mêmes normales et la même développée; mais toute normale à la courbe parallèle est généralement normale en même temps en deux endroits qui correspondent aux valeurs ± k.

l48 CHAPITRE III.

EXEMPLE 1. — Trouver la courbe parallèle àVellipse ou à la parghole, (Voir Sections coniques ^ n* 372.)

Exemple 2. — Trouver la courbe parallèle à a?' -h^' = a'. L'équation d'une tangente quelconque est {yoirvi^ 99) X cos <p -f-^ sin <p = a sin <p cos cp. Donc la droite parallèle située à une distance k est ^cosç -h^sinç = X:h- asin<p cosq et son enveloppe est (voir n* 85, ^ar. 3)

[SCj-»-^/» — a«) — 4^:»]»

H-[!i7ar^ — 9 A:(iF«-f-j'«)—i8 a«*H- 8 /:»]« = o.

C'est là un des cas où les courbes parallèles qui correspondent aa\ valeurs + k sont des courbes distinctes et non des branches différentes d'une même courbe.

La courbe dont on vient de former l'équation est l'enveloppe d'une droite sur laquelle deuiL droites Gxes déterminent un segment de grandeur constante. Si ces droites sont rectangulaires et si on les prend pour axes, on voit immédiatement que l'équation d'une droite de longueur a et qui fait un angle ç avec l'axe des x sera

ar sin tp -h ^ cos ç = a sin <p cos 9,

dont l'enveloppe est x^ -f-^* = a*^.

Considérons pour un instant un diamètre d'un cercle et une corde qui lui soit parallèle ; il est évident que, si une droite de longueur a sous-tend un angle droit en un point quelconque, une droite parallèle située à la distance |a cosçp sera coupée suivant un segment a sino par un couple de droites comprenant un angle <p et également inclinées sur les droites rectangulaires. Il est donc évident que l'enveloppe d'une droite sur laquelle deux axes obliques interceptent un

segment de longueur égale à asinç est une courbe parallèle (qui

correspond à la valeur X:=-acosoj à l'enveloppe a?

étudiée dans le cas des droites rectangulaires.

118. Si a^ -i- p^ -I- Y est une tangente à une courbe (dont réquation est exprimée en coordonnées rectangulaires ordi>

COURBES PARALLtLIS BT P0DAIRB8 NÉGATIVES. l49

naires), il est évident que a j: -i- P^ -h y + A* \/cl^ -h P* est iioe tangente à la courbe parallèle; il résulte immédiatement de là que, si nous avons l'équation tangentielle d'une courbe donnée^ nous obtiendrons celle de la courbe parallèle en y remplaçant y par y -f- A:p, où p = y^a*-f- ^'^, L'équation tangentielle de la courbe parallèle à une courbe dont Téquation langentieile est V = o sera donc

Nous débarrasserons Téquation des radicaux en faisant passer dans un même membre toutes les puissances impaires de p et élevant au carré. Nous obtiendrons ainsi une équation dont Tordre sera double de celui de Téquation tangentielle primitive : ce résultat s'accorde avec ce qu'on a démontré dans le numéro précédent.

Exemple 1 . — Trouver V équation tangentielle de la courbe parai-

a» 6* L'équation tangentielle de l'ellipse est {Sections coniques^ n* 160,

par suite, celle de la courbe parallèle sera ou bien

(EXEMPLE 2. — Former l'équation tangentielle de la courbe parallèle à la parabole y* =px.

L'équation tangentielle correspondante est Celle de la courbe parallèle sera donc

l5o CHAPITRE III.

Exemple 3. — Trouver Véquation tangentieîle de la courbe parallèle à un cercle.

L'équation tangentieîle du cercle dont le centre est au point (a, b) et dont le rayon est égal à c est {Sections coniques^ n^ 86)

celle de la courbe parallèle sera donc

(aa H- ô P -H Y -»- ^"p)* = <?'?*• Elle se décompose en facteurs et donne

aa-\-b^-^^->f- k^ = ±:c^y ou, en faisant disparaître les radicaux,

(aa-h fc?-+- y)' = (^=t ^)'(«' -+-?*)•

Cette équation représente un couple de cercles concentriques dont les rayons sont respectivement o ± A:, comme cela est évident géométriquement.

119. En procédant de la même manière que dans le derniei exemple, nous démontrerons que, si Téquation tangentieîle d'une courbe est de la forme w-(a^ -\-^^)z=v^^ Féquation de la courbe parallèle se décomposera en deux facteurs de même forme que la courbe primitive ; les courbes parallèles correspondant aux valeurs ±: k seront des courbes distinctes et non des branches différentes d'une même courbe. En effet, supposons que, en remplaçant y par y + Arp, ii devienne

M 4- u'kp-h a'A'p*-!-. ..

et qu'il en soit de même pour v; u^p^=ç^ deviendra alors

Celte équation se décompose en facteurs qu'on peut rendre séparément rationnels et qui donneront le résultat

[tt -h M''A-3p»4-. . .±(<;')t -H v'k^p^^, . .)Pp«

z=:[v -^ v' k^p^ ^. , ,±{u' kp^ -h u'k^p'^ '^-, . .)]^.

COURBES PARÂLLfeLE6 BT FODÂIRBS .NÉGATIVES. j5i

Aiuisi réqualiofi donnée pour la courbe rparallèle à une

conique présente la rforine considérée dans ce numéro, et il

csi facile de vérifier que la courbe parallèle à cette parallèle

menée à la distance k se compose des deux parallèles à la

conique aux di&tances kit,k . comme cela doit évidemment

êlre. Reprenons la courbe déjà considérée, o:^ 4-^= <**> doat Téquation tangentielle «at (a* 4- ^*)y- = «^«^ P" ; celle dernière ayant justement la fofcme que nous considérons, nous trouvons que la courbe parallèle se décompose en facteurs. L'équation tangenûelle de ceUe courbe parallèle est en effet

(a«H-p«)Y» = [aa?±:A:(««4-P')?.

Si nous prenons pour a et i^ respectivement les fonctions les plus générales du premier et du second degré en a, p, y, w*p2 == i^ représentera une courbe de la quatrième classe qui a deux tangentes doubles, et qui par suite est du huitième ordre. Mais nous pouvons choisir ces fonctions de telle sorte que les tangentes doubles deviennent des tangentes statîonnaires, et que la courbe puisse avoir une autre tangente double ou stationnaire ; nous pouvons de cette manière formel Téquation d'une courbe du troisième ou du quatrième ordre dont les parallèles se résolvent en facteurs. C'est à ce genre qu'appartient la réciproque d'une cartésienne, comme on le montrera plus tard.

♦20. Si nous avions employé des équations en coordonnées irilinéaires au lieu de nous servir de coordonnées rectangulaires, nous aurions trouvé (âSec/fo/is coniques j n*^ 61) que réqaation d'une parallèle à 7.x -{- ^y -^^z, et à distance constante de cette droite, est de la forme

aa? 4- P/ -h Y ^ H- ''i (^ sin A 4- / sin B 4- 5 sin G ) y/S -= o,

S étant la quantité

l52 CnAPITRE III.

et nous en concluons que si dans Téquation tangentielle d'une courbe nous remplaçons a, p, y respectivement par

a -h m sin A y/S, p -+- /n sin B \^Sj y "*~ ''^ sin G y^S,

nous aurons Féquation tangentielle d'une courbe parallèle. Nous avons vu que {Sections coniques, n^ 382) S = o est Téquation tangentielle des points I, J; et il vient immédiatement à la pensée que, si S = o est Téquation tangentielle de deux points quelconques, et ax -i- by -i- c z = o celle de la ligne qui les joint, en considérant les points circulaires à Tinfini comme remplacés par les deux points en question, l'enveloppe de 7.x-i-^y-h'{zet celledeajr-l-P^-l-Y-5-|-(aar-l- by -hcz)^/S sont des courbes quasi-parallèles.

121. Nous avons appelé (n® IKà) podaire d'une courbe donnée le lieu du pied de la perpendiculaire abaissée d'un pôle ou centre donné sur la tangente à la courbe. Après avoir trouvé la podaire, nous pouvons former la podaire de celle dernière . . . , et nous avons ainsi une série de seconde, troisième, . . . podaires de la courbe donnée. Nous pouvons au contraire continuer la série dans le sens inverse, et considérer la courbe dont la courbe donnée est la podaire comme la première podaire négative, et ainsi de suite. Le problème qui consiste à trouver la podaire négative revient à la recherche de l'enveloppe d'une droite menée perpendiculairement à l'extrémité du rayon vecteur; ou, en d'autres termes, à trouver l'enveloppe de

OÙ a, P satisfont à l'équation de la courbe. Nous venons de voir que la recherche des courbes parallèles se ramèae à celle de l'enveloppe de

2 a jc 4- 2 3/ H- A:* — ^' — j» nr ac* -h P',

cette droite étant soumise aux mêmes conditions; c'est en se

COURBES PARALLÈLES ET PODAIRES NÉGATIVES. l53

fondant sur celle analogie que M. Roberls a fait remar(|uer (|oe les deux problèmes géomélriques conduisenl lous deux au même problème d'Analyse, celui oit il s'agit de trouver une enveloppe de la forme

Cl que, si nous avions Téquation de la courbe parallèle, nous en déduirions celle de la podaire négative, en y posant k^=zx^ -h^' et en remplaçant j? et^ par -J- ^ et ^jk. Généralement, il faut le dire, la recherche de la courbe parallèle est la plus diilGcile des deux; mais cette méthode donne immédiatement la podaire négative de la ligne droite ou du cercle. En effet, la courbe parallèle à une droite est le couple de deux droites parallèles équidistantes, et la parallèle au cercle de rayon a se compose de deux cercles concentriques de rayons a±k. Ainsi, dans Tun et l'autre de ces cas, l'équalion de la courbe parallèle peut s'écrire sans calcul, et la podaire négative s'en déduit en suivant la marche qu'on vient d'indiquer.

122. Étant donnée une courbe quelconque, si l'on prend sur chaque rayon vecteur OP, et à partir d'une origine arbitraire ou centre d'inversion O, une longueur OF égale à rinverse de OP, le lieu du point P' est dit la courbe inverse de la courbe donnée. De cette définition on conclut aisément que la podaire d'une courbe est l'inverse de sa polaire réciproque, et que la première podaire négative est la polaire réciproque de son inverse, la construction des courbes réciproques s'efiecluant par rapport à un cercle décrit autour Je l'origine ou centre d'inversion pris comme centre.

On peut sans difficulté, au moyen de raisonnements analogues à ceux qu'on a employés dans d'autres cas similaires, déduire les caractéristiques de la courbe inverse d'une courbe dmnée, puis celles de la podaire négative; il nous suffira de

l54 CHAPITRE III.

donner les résultats. Nous employons/ et g dans le même sens que plus haut, pour indiquer combien de fois la courbe passe parunpointlou J ou est tangente à la droite U;/^ et ^indiquent les singularités réciproques, c'est-à-dire combien de ibis la courbe est tangente à une droite 01 ou OJ, ou bien passe par l'origine ;/} et q représentent le nombre de coïncidences de tangentes, quand l'origine ou quand un point I ou J est un point multiple (par exemple, nous aurions ;i = i si l'origine était un rebroussemént) et/?' et q[ s'.appliquent aux singularités réciproques. Nous avons alors les relations suivantes pour la courbe inverse :

Nous déduisons de là pour la podaire

et pour la podaire négative

M r= /i -h 2m — 2(/-^/) — (/-^ ^) 4-/? -h ^, N = 2/n — /— ^ F =^, G=zm-/, F.^2/n-/-2^', G'=y>, F=.^, Q':^/'.

Exemple 1 . — Trouver la podaire négative de la parabole, en supposant le pôle au foyer {y),

%Çï\\, y^ =^ ^[mx-k-nt^) Téquation de la parabole. Nous pouvons représenter les coordonnées d'un point quelconque de la courbe par

l'équation aar -h 3/ = a» -+- 3' devient

(X« - O^'-haX/ = (X»-M)«m.

(') Il est facile de voir que ce problème est le même que celui où Ton cherche la caustique par réflexion, dans l'hypothèse où les rayous lamincux sont perpendiculaires à Taxe.

COURBES PARALLftLES ET PODAIRBS NÉ6ATIYBS. l55

Les invariants de cette équation du quatrième degré en X sont

Le discriminant S» — vj T« devient divisible par x* -4-^' et nous donne

iV-quation

C'est l'équivalent de l'équation polaire p'cos 0^ = ^' qu'on aurait

pu obtenir autrement; en effet, Il résulte du n* 95 que, si l'équation 'l'une courbe quelconque peut s'exprimer sous la forme

pm = a'« cos m (i>,

les équations de sa i:odaire et de sa podaire négative sont de la

même forme, les nouveaux m étant respectivement et ^

On peut remarquer que l'équation de la tangente à une courbe parallèle à cette courbe est

(X* — i)ar-4-aXj' = (X« 4- i )» m -f-(X« -+- 1) A:.

Son enveloppe est du cinquième ordre, et les courbes qui correspondent aux valeurs d= k sont distinctes. Et de môme, en général, pour les courbes dont la tangente a pour équation

les courbes parallèles seront unicursales. Si nous prenons 7(X)= mX*, nous obtenons une courbe de la troisième classe et du quatrième ordre, tangente à la droite de l'infini et passant par les points I, J.

E\EHPLE 2. — Trouver la podaire négative de -^ -+- ;i = ' > ^'^ supposant que le pôle soit le centre.

Écrivons comme d'habitude les coordonnées d'un point sous la forme a cos^ et b sinip; nous aurons à trouver l'enveloppe de la droite

axcos^-f- ^j'sin^ = a* cos*<p -+- 6* sin*«p = i(a» -+- 6*) -+- J (a* — b^) cos2<p.

Par suite, en posant pour un instant-i(a*-^ 6') = /n, ^(a* — 6*)= /i, IVnvcloppe est {voir n** 85, Ex. 3)

\%{a'^x^ -I- b^yt) — 4 (/n» -+. 3 n«)]»

"^■[dC'w — 3/i)a*ar« -h 9(/n-+- 3/1)6» j* — 8 /n(m» — 9/1*)]» = o.

l56 CHAPITRE III.

Consulter aussi la Géométrie à trois dimensions {n*^ A^ï) ipo\ïT voir la solution que M. Gayley a donnée de ce même problème.

Exemple 3. — Trouver la podaire négative de V ellipse en supposant le pôle au foyer.

La coordonnée 07 mesurée à partir du foyer est c+acos^ et le rayon vecteur focal est a-t-ccosîp. Nous aurons donc à chercher Tenveloppe de la droite

a?(c-t-acosîp) -4-76 sino = (a-h ccos'f )* ou bien

c' cosatp -4- a(4 o — ix) cos^p — ^by sincp -t-(2a*-h c- — aca?) — o.

L'enveloppe est

[36î(arî-h/«) — (2as-f-car)î]»

+ [gb* (a^ — ex -\- ac»)(ar*-l-7') — (26* -h cr)»]* = o.

Cette équation développée sera évidemment divisible par x' H- 7' et représentera une courbe du quatrième degré, ayant les droites jt* -4-j* comme tangentes stationnaires.

PROPRIÉTÉS MfiTRIQlES DES COURBES. 167

123. Dans ce Chapitre, nous allons faire connaître quelques-unes des propriétés métriques les plus importantes des courbes. Pour étudier ces propriétés, les coordonnées dont remploi présente le plus d'avantages sont les coordonnées cartésiennes rectangulaires. Par exemple, nous avons déjà vu, dans le n** 3o, qu'en remplaçant x et j^ par p cosô etpsinO nous obtiendrons les longueurs des segments interceptés par la courbe sur une droite quelconque issue de l'origine; il en est de même pour une droite généralement quelconque, puisque, par une transformation de coordonnées, nous pouvons amener un point quelconque à devenir rorigine.

Le théorème énoncé (Sections coniques, n® 148) peut se

fîénéraliser comme il suit : Si, par un point O, on mène

deux cordes qui rencontrent respectivement une courbe

du n^^"^*^ degré, auxpoints^^y Ra, . . . R^, Sj, S2, . . . S^, le

, . . OR,. OR, ... OR;, rapport des produits ^^ .^^ Tr^— seraconstant, quelle

fine soit la position du point O, pourvu que les directions fies droites OR, OS soient constantes (*).

La démonstration est la même que celle qu'on a déjà donnée dans le cas des coniques. L'équation en coordonnées polaires (n** 26) nous montre que le produit de tous les seg-

(') Ce théorème a été énoncé pour la première fois par Newton dans son ^numeratio linearum tertii ordinis.

l58 CHAPITRE IV.

ments déterminés par la courbe sur un rayon vecteur mené par Porigine et faisant un angle 0 avec Taxe des x est égal à

Pcos^O-H Qcos"-*esineH- ..

Le même produit pour l'autre droite sera

P CCS" Ôi -+- Q CCS"-* 6, sin 0, 4- . . I^ur rapport est par conséquent égal à

Pcos»6 -+-Qcos''-*ôsineH- ...

P cos" 0, 4- Q ces'*-* 6, sin 6, -h . . .

Mais nous avons vu {Sections coniques^ n° 134) qu'en rapportant la courbe à de nouveaux axes parallèles aux anciens, les coefficients des puissances les plus élevées des variables r.e changent pas ; il en est donc de môme du rapport qui précède.

Nous pouvons dMSsi {Sections coniqueSy n** 148) énoncer ce même théorème de la manière suivante : Si par deux points fixes O et o on mène deux droites parallèles^ le rapport des produits 0R| OR2. . . . , ori , or^^ . . . sera constant, quelle que soit la direction commune de ces droites.

En effet, la valeur du second produit est ^^ ^— :

' ^ Pcos"e-h...'

dans cette expression A' est le terme absolu quand o devient l'origine; le rapport des produits est donc A : A', quantité indépendante de 8. Nous avons yu (Sections coniques, n® 134) que le nouveau terme absolu sera le résultat de la substitution des coordonnées du point o dans l'équation donni'^e. Nous trouvons de la sorte que le résultat d'une substitution de ce genre est toujours proportionnel au produit des segments interceptt's entre le point o et la courbe sur une droite dont la direction est donnée.

PROPRIÉTÉS MÉTRIQUES DES COURBES. iSg

m. Du théorème précédent nous déduisons immédiatement celui de Camot, dont nous avons donné un cas particulier (5ecf{on5 coniques, n^ 313). Supposons que chacun des côtés d'un poljgone ABC » • • rencontre une courhe du n'*™' degré en n points réels* Nous représentons par (B)' le pro- (loit des n segments successifs déterminés sur le côté BC entre Betla courbe; par '(B) le produit des segments interceptés sur le côté BA. Nous aurons alors la relation

En effet, menons par un point quelconque des rajons vecteurs parallèles aux côtés du polygone, et représentons le produit des segments successifs déterminés sur chacune de ces droites par («))(6)i(c), ... ; si nous faisons abstraction des signes,

'(B):(By::(a):(6) \C):(Cy::{b):(c) '(D):(Dy::(c):(d)'

ot, en composant tous ces rapports entre eux, Texactitude du théorème devient évidente.

125. On peut éviter toute ambiguïté en ayant égard aux signes db. Si nous considérons les segments interceptés sur la droite AB, la quantité (A)' représente le produit des n segments mesurés de A ver» B; de même '(B) sera le produit des n segments mesurés de B vers A ; donc, par suite de la règle des signes {Sections coniques, n° 7), chaque terme du dernier produit doit être considéré comme ayant un signe contraire à chacun des termes du premier, en sorte que, si nous donnons à (A)' le signe H-, nous devons donner à '(B) le signe ( — i)", c'est-à-dire -+- quand n sera pair et — quand n sera impair. Supposons que k soit le nombre de côtés du polygone; comme chaque terme de Téquation contîen-

l6o CHAPITRB IV.

dra k facteurs tels que (A)', celte équation devra s'écrire

c'est-à-dire que le second membre aura le signe -h quand le degré de la courbe ou le nombre des côtés du polygone sera pair; quand au contraire ils seront tous deux impairs, il faudra prendre le signe — .

Exercices.

Exemple 1. — Une droite coupe les côtés d'un triangle AB, BC, C>, aux points c, a, b. On a

Ac.Ba.G6 = — A6.Bc.Ca (Sections coniques, n* 42),

et le signe montre que, si la droite coupe deux côtés intérieurement, elle coupera le troisième extérieurement. L'équation

Aci.Ba.C6 = -+-A6i.Bc.Ca (Sections coniques, n'*43)

sera vérifiée si les trois droites A a, Bb, Cct se coupent en un même points et la droite AB est divisée harmoniquement aux points c et Cf.

Exemple 2. — Supposons que chacun des côtés du triangle soit tangent à une même conique aux points a, b, c. Le théorème de Garnot nous donne

Âc!b^!g6' = -+- Âô! B^! Ga* et par suite

Ac.Ba.Cb = ± Ab.Bc.Ca.

On ne peut pas prendre le signe inférieur, puisqu'une droite ne peui couper une conique en trois points; nous voyons donc que, si uii<^ conique est inscrite dans un triangle, les droites qui joignent chaque sommet au point de contact du côté opposé se coupent en un même point.

Exemple 3. — Soient a, b, c des points d'inflexion d'une courbe du troisième degré, et BC, G A, AB les tangentes en ces points; le théorème de Garnot donne

Âc! B^! G6' = — Ab] B c! Câ\

PROPRIÉTfiS MÉTRIQUES DES GOUREES. I.61

dont la seule racine réelle est

Ac.Ba.Cfr = — A6.Bc.Ca.

Donc, si une courbe du troisième degré a trois points d*inflexion réels, ils doivent être situés sur une même droite, II en. résulte aussi qu'une courbe du troisième degré ne peut avoir que trois points d'inflexion réels; car le même raisonnement montrerait qaetous les points d*infle\ion réels doivent se trouver sur une même droite et une droite ne peut rencontrer la courbe qu'en trois points.

Le même raisonnement prouve que, si une courbe de degré impair A a trois points réels, et que si les tangentes en ces points rencontrent la courbe en n points, ces trois points sont situés su' une même ligne droite.

Exemple 4. — Prenons une courbe du quatrième degré ayant trois tangentes doubles, nous avons

Âc!Âcl^r B a! Bâ^!G6.G^ = aZ!â^Î BcfÊci^fcâîcâ^*'

nous en déduisons

Ac.Ac,.Ba.Bai.C6.G6, = ^ A6.A6,.Bc.Bc,.Ga.Ca,.

Ici, à cause du double signe, nous pouvons seulement conclure de cette relation que, si une courbe du quatrième degré a trois tangentes doubles, la conique menée par cinq des points de contact passera bien par le sixième point, ou bien par le point qui forme açec le sixième une division harmonique sur le côté où se trouve ce dernier point. Il existe d'après cela deux genres distincts de groupes de trois tangentes doubles, suivant que l'une ou l'autre de ces relations géométriques se trouve vérifiée.

lâB. Il existe quelques cas particuliers pour lesquels le théorème de Camot demande à être modifiié. Supposons, en premier lieu, que l'un des angles (A) du polygone soit à l'infinî, c'est-à-dire que deux côtés adjacents soient parallèles; nous aurons finalement (Ay = '(A) et Téquation

(By(Cy...r=.'(B)'(C)...

s ibsistera toujours.

S. — Courbes planes. n

iG'À CHAPITRE lY.

Admettons, en second Heu, quePun des angles (A) soit situé

sur la courbe; l'un des n termes de chacun des produits (A)'

et '(A) s'annule alors; mais, comme le rapport des deux seg-

^ AR . . , , sinRR'A , ,

ments -j^, est égal a -; — > nous pouvons remplacer le

rapport des côtés qui deviennent nuls par le rapport des sinus des angles que les côtés du polygone qui aboutissent en A font avec la tangente en A, et le théorème devient ainsi

(\Y(BY(CY,.. '(Ay(By(C)...

sin a sm %'

(A)' et '(A) ne contiennent plus chacun que (n — i) facteurs, et a et a' sont les angles que font avec la tangente en A le s côtés sur lesquels sont mesurés les segments qui constituent les produits (A)' et '(A). Nous pouvons ainsi déduire Av ce qui précède que, si un polygone quelconque est inscrit dans une conique, le produit continu des sinus des anglfs que chaque côté forme avec la tangente à son extrémité droite est égal au produit semblable des sinus des angles que chaque côté fait avec la tangente à son autre extrémité.

diam£tres.

127. Etant donnés n points sur une droite, un point de cette droite, tel que la somme algébrique de ses distances à ces points soit nulle, s'appelle le centre des moyennes distances des points donnés. Soit y la distance du centre à un point quelconque pris sur la droite; soient ^,, y^^ y^ . . . celles des autres points au point arbitraire, les distances du centre aux points donnés seront y — y^, y — y^t ... et la condition qui résulte de la définition est

^0' — 7i)==o ou bien ny—Z(y^)-o.

Nous voyons ainsi que la distance d'un point quelconque

DIAMÈTRES. l63 I

au centre est égale à la somme des distances du même point aux points don nc^s, divisée par le nombre de ces points; ou, en d'autres termes, qu'elle est égale à la moyenne distance du point choisi arbitrairement aux points donnés. Par exemple, s'il n'y a que deux points donnés, le centre des moyennes distances est le point milieu de la droite qui les joint, et la distance d'un point quelconque de la droite à ce point est la demi-somme de ses distances aux deux points donnés.

Les propriétés bien connues des diamètres des coniques ont été généralisées par Newton; il a énoncé cette généralisation sous la forme du théorème suivant, qui est vrai pour toutes les courbes algébriques : Étant donné un système de cordes parallèles d^une courbe du n'^'"^ degré, si Con prend le centre des moyennes distances des n points où chacune des cordes rencontre la courbe, le lieu de ce centre est une ligne droite qui peut être appelée le diamètre correspondant au système donné de cordes parallèles.

Pour démontrer ce théorème, nous procéderons de la même manière que dans le cas des sections coniques {Sections coniques, n® 141).

Supposons que nous ayons rapporté l'i'quation de la courbe à un système de coordonnées polaires en remplaçant x el y par pcosO et psinO(ou par wpet /ip, si les coordonnées sont obliques). L'origine sera le centre des moyennes distances relatif à une corde faisant l'angle 8 avec l'axe des Xy si cet angle est tel qu'il rende le coefficient de p""* égal à zéro. Cherchons maintenant la condition pour qu'un autre point quelconque (^, y) soit le centre des moyennes dislances sur une corde parallèle à la précédente : nous aurons à examiner quelles relations il doit exister entre x' el y pour que, en rapporUnt l'équation à de nouveaux axes ayant ce point pour origine, le nouveau coefflcient de p""* soil nul pour la même valeur de 6. Or, si nous rapportons l'équation

l64 CHAPITRE IV.

donnée U = o à des axes parallèles en remplaçant j: el / par x + xf e\. y 4-^, elle devient

,rfU ,rfU

Les trois premiers termes seuls peuvent renfermer les variables à un degré aussi élevé que le ( n — iy*"«; comme ils ne contiennent x'^ y qu'au premier degré, le lieu cherché doit être une droite.

Son équation est effectivement

dun dit„

Il est bien entendu que j? et ^ ont été remplacés dans fin et f^n-i par cosô et sîn8 (ou par m et n, si les axes sont obliques).

128. Newton a remarqué aussi que, si une corde quelconque coupe la courbe et ses asymptotes, le même point sera le centre des moyennes distances pour les deux systèmes de points, et que par conséquent la somme algébrique des segments interceptés entre la courbe et ses asymptotes est égale à zéro. C^est une générali atioi du théorème bien connu {Sections coniques y n** 107). L'exactitude de cette proposition résulté de l'équation d'un diamètre formée dans le numéro précédent, et de la démonstration donnée antérieurement (n® 52) que les termes a„, w„i sont les mêmes dans l'équation de la courbe et dans celle de ses n asymptotes.

129. Nous pouvons de même chercher le lieu d'un point tel que la somme des produits deux à deux des segments mesurés suivant une direction donnée entre ce point et la coDrbe soit nulle. L'origine serait un de ces points si le cocf-

DIAMÈTRES. l65

ficienl de p''"^ s'annulait pour la valeur donnée de 0; le lieu s'obtiendra comme dans le n^ 127 , en cherchant la relation qui doit exister entre x' ety pour que le coefficient de p"'^ soit nul dans Téquation transformée. Mais, comme les termes du degré (n — a) en :r ct^ ne renferment pas de puissance supérieure à la seconde en a/ et y, le lieu sera une section conique, que nous appellerons la conique diamétrale. On voit facilement que son équation est

dx ^ dy

où l'on a remplacé ^ et ^ par cosQ et sinO dans e^/i o, . • . . La distance d'un point quelconque à l'un des deux points de la conique étant ^, et à la courbe ^< , r2, . . . 7 nous avons par d '^finition

Le nombre des termes dans cette somme est égal au nombre des combinaisons de n objets deux à deux, et par suite à \n{n — I ). Ce sera donc le coefficient de y^, quand nous eOectuerons chacun de ces produits et quand nous ajouterons les résultats. Dans le même cas, le coefficient de jk se composera de ^n{n — 1) termes qui seront chacun de la forme — {y^ +^"2); et, comme il doit renfermer les n quantités ^i, 1 •:» • • • d'une manière symétrique, il doit être égal à-^(/i — i)S(r)- Donc

Cette équation du second degré détermine les distances d'un point quelconque à la conique diamétrale quand on connaît ses distances à la courbe ; ii^Çn — 1) fois le produit de ces deux distances est égal à 2(/<^2), ou, en d'autres termes, leproduitdes distances d'un point quelconque à la conique

l66 GIlAPITRe IV.

diamétrale est égal à la moyenne des produits deux à deux des distances de ce point à la courbe y puisqu'il^ a ^«(/i — i) produits de ce genre. La s jmine des dislances du point à la

conique diamétrale est égale à- S(jv). La moyenne dislance

est donc la même pour les deux courbes, puisqu^il y a deux distances dans un cas et n dans Fautre; et les deux courbes ont le même diamètre.

130. On voit sans difficulté qu'une courbe du /i'*"* degré peut avoir d'autres diamètres curvilignes dont les degrés peuvent s'élever jusqu'au (/t — i )•*"•. Ainsi le lieu d'un point tel que les produits trois à trois de ses dislances à la courbe soit nul s'obtiendra en égalant à zéro le coefficient de p""' dans l'équation transformée; et comme ce coefficient ne contient pas de puissances des variables plus élevées que la troisième, le lieu sera du troisième degré. Nous verrions de la même manière que

SO'-.>'.)(7-7î)(.,v-.r3)

et nous en concluons facilement que la courbe et sa cubique diamétrale auront la même moyenne distance, le même moyen produit des distances deux à deux et trois à trois. Il en sera de même pour les diamètres d'ordre plus élevé. Les considérations que nous allons développer mettront mieux en lumière les questions qui se rattachent à ces diamètres curvilignes.

131. Après les notions que nous venons de donner sur les diamètres, nous devons dire quelques mots des centres. Si tous les termes de degré n — i manquaient dans l'équation d'une courbe, la somme algébrique de tous les rayons vecteurs issus de l'origine serait nulle, et l'on pourrait, dans un certain sens, dire que l'origine est un cenlr.î.

PÔLBS BT POLAIRES. 167

Cependant le nom de centre ne s'applique ordinairement que dans le cas oij chaque valeur du rayon vecteur est accompagnée d'une valeur égale et de signe contraire. Si, dans ce cas, Téquation est rapportée à des coordonnées polaires, elle devra être une fonction de p^ seulement. Si donc la courbe est de degré pair, son équation en x et y^ rapportée au centre, ne pourra contenir aucune impuissance impaire des variables, et devra être de la forme

si la courbe est de degré impair, son équation polaire divisée par p devra être réductible à une fonction de p* ; Téqualion en x,y ne pourra contenir aucune des puissances paires des variables et devra être de la forme

i/i H- /^i 4- f/fi H- • • • = o-

Celle forme nous montre que, si une courbe de degré impair a un centre, ce point doit être un point d'inflexion. Il est bien évident aussi que c'est seulement dans des cas exceptionnels qu'une courbe de degré supérieur au second aura un centre, puisqu'il n'est généralement pas possible, par une transformation de coordonnées, de faire disparaître de l'équation assez de termes pour la ramener à Tune ou l'autre des formes que nous venons de donner ci-dessus.

PÔLES ET POLAIRES

13â. Nous passons maintenant à un théorème important, énoncé pour la première fois par Cotes dans son Harnxonia mensurarum : Si, sur chaque rayon vecteur issu d'un point fixe O, on prend un point R tel que

OH ""ôk;"*"ôhI "^ oïï;"^***'

fe lieu du point R sera une ligne droite.

l68' COA PITRE IT.

Prenons O pour origine ; Téquation qui détermine OR, . • Cjt de la forme

A— -h(BcosO-HCsinO) --— -

-4-(Dcos*e-i-Ecos6sine -h Fsin'B) -+-... z= o,

d'où

n B cose H- OU """ A

CsinO

ou,

en

revenant

aux coordonnées x Bjy-hCj-i- /lA

C'est Téquation trouvée (n® GO) pour la droite polaire de l'origine, et la propriété qu'on vient de démontrer est la généralisation de la propriété harmonique bien connue des pôles et polaires des sections coniques [Sections coniques, n° 1-iG).

133. La proposition qui précède peut aussi s'établir sans prendre le point O comme origine, en suivant une méthode analogue à celle qu'on a employée (-Sec^w/is coniques, n* 92). Nous avons vu (n° 63) que, deux points 0{a:^y z') et K{xyz] étant donnés, Téquation A = o, ou

\n y/ ^ Xn-X jj,^ U' -hiX«-* |JL* A* U' -4- . . . = O,

détermine les rapports RR| \ ORi des segments suivant lesquels la droite qui joint les deux points donnés est coupée? par la courbe. Il résulte alors de la théorie des équations que AU'=o exprime la condition pour que la somme des racines de l'équation A = o soit nulle ; ceci veut dire que AU' = o est l'équation du lieu d'un point R tel que l'on ait

RR, RRj