X TABLE DES MATIÈRES

Exteosion du théorème de Pascal a ;

Théorèmes de Steiner et Kirkman ^é

Théorèmes relatifs à l'iatersection de deux courbes SQ

Sectio!! II. — Points et tangentes multiples 3a

Équation de la tangente à l'origine 33

Cas où l'origine est un point double 34

Les trois espèces de points doubles 35

Leurs relations figurées par un exemple 37

Points triples ; leurs espèces 39

Leurs relations 39

Nombre de points doubles équivalents à un point multiple .^0

A combien de conditions équivaut un point multiple 4^

Limite du nombre des points doubles sur une courbe propre 4'

Déficience ou genre d'une courbe 4^

Propriétés fondamentales des courbes unicursales 4^

Cas où l'axe est tangente multiple 4^

Tangentes stationnaires et points d'inflexion '17

Deux tangentes consécutives coïncident en un point d'inflexion 4^

Correspondance des singularités réciproques 49

La courbe coupe sa tangente en un point d'inflexion 49

Mesure de l'inclinaison de la courbe sur l'axe 5i

Points d'ondulation 53

Relation entre les points où les tangentes coupent à nouveau la

courbe 54

Équation des asymptotes ; comment on la forme 55

Exemples 57

Section III. — Trace' des courbes 59

Méthode de Newton pour déterminer la forme d'une courbe en un

point singulier 66

Rebroussements kératoïdes et ramphoïdes 69

Section IV. — Pôles polaires 70

Méthode de Joachimstahl pour déterminer les points où une droite

rencontre une courbe 71

Courbes polaires 73

Polaire de l'origine 73

Toute droite a (n — i)* pôles 74

Points multiples et rebroussements; leurs relations avec les courbes

polaires 74

Sbctio<< V. — Théorie générale des points et tangentes multiples. . 75 Toutes les polaires d'un point situé sur la courbe sont tangentes à la

courbe en ce point 76

Comment on détermine les points de contact des tangentes issues don

point 77

Degré de la polaire réciproque d'une courbe 77

Eflct des singularités sur le degré de polaire réciproque 78

TABLR DES HÀTIÈBES. XI

Discriminant d'aoe courbe 80

Si la première polaire d'un point A a un point double B, la conique

polaire de B a un point double A 81

Définition de la Hessienne 81

Définition de la Steinérienne 8a

Condition pour qu'un point soit un rcbroussement 83

Nombre des points d'inflexion 85

Effets des points multiples sur ce nombre 87

Équation du système des tangentes issues d'un point 88

Application au cas d'une cubique 89

Nombre des tangentes issues d'un point multiple 90

SECTio.t VI. — Courbes réciproques 90

Singularités qu'on doit considérer comme ordinaires 91

Équations de PlUcker 9a

Le nombre de conditions est le même pour la courbe et sa réciproque. 9a

Le genre est le même , 94

Équations de Plflcker modifiées par Cayley 95

Les deux formes sous lesquelles se présente le problème des enveloppes g6

Enveloppe d'une courbe dont l'équation ne renferme qu'un seul paramétre 97

Enveloppe de a oos» 0 -H 6 sin"6 = c 99

Équation de la courbe parallèle à une conique loi

Enveloppe d'une droite dont l'équation ne renferme algébriquement

qu'un seul paramètre ; ses caractéristiques loa

Enveloppe d'une courbe dont les paramètres sont liés entre eux io4

Méthode des multiplicateurs indéterminés io5

Enveloppe d'une courbe dont l'équation renferme des paramètres indépendants J06

Explication d'une difficulté qui se rencontre dans la théorie des enveloppes 107

Courbes réciproques 109

Méthode pour former l'équation de la réciproque 110

Réciproque d'une cubique m

Forme symbolique de l'équation de la réciproque m

Réciproque d'une courbe du quatrième degré i la

Équation du système de tangentes issues d'un point 1 13

Équation de la réciproque en coordonnées polaires 1 14

Condition de contact entre deux courbes 1 15

XII TABLK DBS HATIÈRB-.

f*aff«i.

SoD ordre par rapport aux coefficients de chaque courbe ii6

Développées ii8

Défi aition comme enveloppe de normales 119

Coordonnées du centre de courbure ....... ifti

Expression générale du rayon de courbure 1^4

Longueur d'un arc de déyeloppée. 1 26

Rayon de courbure en coordonnées polaires 137

Développées des courbes définies par des équations tangentieH^s laft

Quasi-normales et quasi-développées t3o

Quasi-développée d'une conique tSo

Forme générale de l'équation d'une quasi-normale i3S

Normale d'un point à l'infini.... i3S

Caractéristiques d'une développée i96

Genre d'une développée i3^

Condition pour que quatre points consécutifs d'une courbe soient situés

sur un même cercle i4^

Caustiques * t^i

Caustique par réflexion d'un cercle i^ft

Méthode de Quetelet i4t»

Podaire d'une courbe i43

Caustique par réfraction d'une droite et d*un cercle i44

Développée d'une Cartésienne i45

Courbes parallèles et podaires négatives i46

Formules de Cayley pour les caractéristiques des courbes f^atalléles. . \\*i

Problème des podaires négatives i5ft

Méthode de Roberts i53

Méthode des courbes inverses t55

Caractéristiques d'une courbe inverse et d'une podaire i54

Caustique par réflexion d'une parabole i54

Podaire négatiye d'une ellipse rapportée à son centre ou à son foyer. i5S

PROPRIÉTÉS MÉTRTQCES DVS C0URBK8.

Théorème de Newton 1 57

Théorème de Carnot sur les transversales 1 5^

Les trois points d'inflexion d'une cubique sont situés sur une même

droite r6i

Les deux espèces de bitangentes d'une courbe du quatrième degré ... 161

Diamètres 16a

Généralisation de la notion des diamètres par Newton i63

Théorème sur les segments d'une sécante compris entre une courbe et

ses asymptotes i65

TAIILK DES MATl&nr.S. Mil

Diamètres curvilignes r'iG

Centres 167

Pâles et polaires j G;

Théorème de Cotes sur la moyenne harmonique des rayons vecteurs. i'\H

Courbçs polaires. 169

Polaires des points à Tinfini 169

Pâle de la droite à Tinfini i^o

Généralisation donnée par Maclaurin au théorème de Newton 170

P61e de la dr<>iteàrinGni par rapport à une courbe de la /i'**^ classe. 171 Ses propriétés métriques; centre des moyenoes distances des points

de contact de tangentes parallèles 17a

Foyers.. ^^,, 178

Définition générale des foyers 173

Nombre de foyers d'une courbe 175

Antipoints, 179

Détermioation des coordonnées des fuycr^ 177

Lieu d'un point tel que les tangentes issues de ce point fassent avec

une droite fi^e des angles dont la somme soit constante 178

Tout foyer d'une courbe est un foyer de sa développée 179

Théorèmes relatifs aux perpendiculaires abaissées des foyers sur les

UngeAtes, ,.,... 179

Théorèmes relatifs aux angles compris entre les rayons focaux et une

Ungeute. . ., 181

Théorèmes relatifs aux distances focales d'un point situé sur la courbe. 182

Lien du foyar double d'une courbe circulaire délerminée par N -> 3 points. i83

Lieu du foyer d'une courbe de /i**"** classe déûnie par N — i tangentes. i84 Théorème de Miqucl sur les foyers des paraboles tangentes à quatre

quelconques de cinq droites données i85

COURBES DU TROISIÈMH ORDI B.

Division générale des cubiques iS5

Section I. — Intersection d'une ciUùgue donnée avec d'autres courbes. 187

Définition du tangentiel d'un point et de la satellite d'une droite 186

Les asymptotes rencontrent la courbe en trois points collinéaires à

distance finie 188

Les quatre points de contact des tangentes issues d'un point de la

courbe ; leurs relations 190

Théorie de Maclaurin sur la correspondance de points sur lu courbe.. 191

Corésiduel de quatre points d'une cubique 193

Mener une conique ayant un contact quartiponctuel avec une cubique

et tangente à cette courbe en un autre point 19^