X -^ y -^ z -\- u^=io

La conique polaire d'un point {x'^y'^z!, u') étant

ax'x' -H bfy- 4- cz' z- 4- du' u' = o,

la conique polaire du point pour lequel x'= o, ^= o est un couple de droites passant par m = o, 2 = o, on voit par là quelespointsxj', ^u;a;.3,j2/;ara,^^sontdes couples de points correspondants sur la Hessienne. La forme que nous venons d'écrire contient implicitement onze constantes et l'équation générale d'une cubique peut s'y ramener d'une infinité de manières. Les valeurs des invariants pour cette forme sont'

S = — abcdf

— 2abcd(ab -\- ac -\- ad -^ bc -^ cd -^ db).

Le discriminant se forme au moyen de trois équations

298 GDAPITRZ T.

obtenues en prenant les dérivées par rapport k x,y, z respectivement; ces équations sont

ax^=:du^, bj^=zdu*y cz^^=du^;

donc 0?, jK> Zj u sont respectivement proportionnels aux inverses de y/a, y/6, ^^c, y/rf. En substituant ces valeurs dans x-^y 4-^4- «= o, nous obtenons le discriminant sous la forme

sjbcd -h y/Wa + \Jdab -h ^abc := o.

Cette expression, débarrassée de radicaux, donne, comme plus haut, R = Tî» + 64S» = o(').

210» Nous terminons ce Chapitre par quelques remarques sur le cas où la cubique se décompose en une conique et une droite. Si une courbe possède deux points doubles, ou un rebroussement, non seulement son discriminant est nul, mais il en est aussi de même des fonctions obtenues en différentiant, par rapport à un quelconque des coeflicients de Téquation primitive, l'expression générale du discriminant en fonction de ces coefficients (voir Algèbre supérieure, n<>* 103, 113). Mais Texpression du discriminant d'une cubique étant de la forme

ses différentielles sont de la forme

^^T c.^S rw^dT o.^S

(') Pour les autres invariants et contra variants, quand l'équation est écrite sous cette forme; voir Philosophical Transactions f p. aSa ; 1860. Voir aussi la Géométrie à trois dimensions, n* 538, pour quelques remarques sur la méthode par laquelle on forme les invariants, etc., quand Téquation a été écrite avec une variable additionnelle liée aux variables originelles par une relation linéaire.

Si la courbe a un point de rebroussement, nous avons S = 0, T = o (n^ 224), et toutes ces différentielles s'annulent conformément à la théorie. Si la courbe a deux points doubles, c'est-à-dire si la cubique se décompose en une conique et une droite, nous avons la suite d'égalités de rapports

dT.dS da * da

dT db

dS db

de ' de

Ces équations, écrites tout au long, formeraient un système d'équations dont chacune est du huitième ordre par rapport aux coeflicients; elles constituent le système de conditions pour que l'équation générale du troisième degré soit résoluble en facteurs.

241. Il est une autre forme sous laquelle on peut écrire les conditions précédentes. Remarquons d'abord qu'un point double sur la courbe étant aussi point double sur sa Hessienne, les équations d'un pareil point satisferont aux équations obtcDues en différentiant par rapport k x^y^ z les équations et de la courbe et de la Hessienne. Dans le cas de la cubique, ces six équations différentielles sont toutes du second degré, et nous pouvons en éliminer linéairement les six quantités ^S 7*> ^^^y^j ^-^j ^y de manière à obtenir le discriminant sous la forme du déterminant

aj

Cf

Ct

aj

Cj

bi

as

Cî

Nous avons vu aussi (n^ 226) que les conditions pour que la courbe ait trois points doubles s'expriment en prenant une quelconque des trois premières lignes horizontales, la ligne

3oO CHAPITRE T.

correspondante dans les trois autres et en égalant à zéro le déterminant formé avec deux colonnes quelconques de ces lignes. De la même manière aussi, les conditions pour que la courbe ait deux points doubles s'expriment en prenant deux quelconques des trois premières lignes et les deux lignes qui leur correspondent dans les trois autres, et en égalant à zéro le déterminant formé avec quatre colonnes quelconques de ces lignes. Pour le démontrer, il suffit de remarquer que, si U = PV, V représentant une conique et P une droite a x -h p^ -f- yz, la Hessienne de U est de la forme )iU + |jlP', comme nous le démontrerons dans le numéro suivant. £n conséquence, nous avons

nous en déduisons

ce qui montre que les différentielles de H et U relativement à X et y sont liées par une relation linéaire identique et que, par conséquent, le déterminant formé des coefficients de quatre termes correspondants de ces équations s'annule.

242. La Hessienne de l'expression PU, dans laquelle P représente la droite olx -i- ^y •+■ ^z et U une fonction de degré quelconque, peut se former de différentes manières. Les dérivées secondes de PU sont Pa+aaL, Pé-ha^M, Pc4-2yN, P/+pN+YM,P«^-+-YL-haN,PA-}-aM + pL; dans ces expressions, L, M, N représentent, comme précédemment, les dérivées premières, et a, 6, . . • les dérivées secondes

COURBES DU TlOISifeHB OBDRB. 3oi

de U. Servons-nous de ces valeurs pour former Téqualion de la Hessîenne et réduisons le résultat au moyen du théorème sur les fonctions homogènes

(n — I )L = ew? -h A/ -+- ^s; Dous obtenons pour la Hessienne de PU

P»H ^— FPU;

ici F est la quantité {bc — /2)a^ -1- . . . (n® 184) qui, géométriquement, représente le lieu des points dont les coniques polaires sont tangentes à la droite donnée.

Plus généralement, nous trouverons de la même manière qae la Hessienne de UV est

(n' — I)» (n — iy

(rt__i)(n' — I)

Comme dans les Sections coniques, n° 370, B et B' représentent respectivement ici (6c— /*)a'+. . . et(éV— /^)a-i-..., et W est le covariant

La forme que nous venons d'écrire montre que les intersections de U, V sont des points doubles sur la Hessienne et que les tangentes en ces points sont respectivement les tangentes à U et V (*).

(') Pour la théorie générale des formes cubiques ternaires, voir les Mémoires d'ÀRORBOLD, Journal de CrellCy t. 39, p. i4o (i85o) et t. 55, P* 97 (i858); le troisième et le septième Mémoire sur les formes de M. Catley. PhUosophical Transactions, i856 et i86i, et le Mémoire de Clbbscb et ^onjtxn.Mathematische Annalen, 1. 1, p. 56 (1869), t. VI, p. 436 (1873). Voir anssi Gcsideltimcer, âfath, AnnaL, t. IV, p. i44 (1871).

243. On se rappelle que nous avons établi la classification des courbes du troisième ordre en combinant entre elles une division fondée sur les éléments caractéristiques que la projection n'altère pas, et une autre division basée sur la nature de leurs branches infinies. Les mêmes principes de classification sont applicables aux courbes du quatrième ordre ou, comme nous les appellerons, aux quartiques ; mais le nombre des espèces est si grand et la discussion de leurs formes constitue un tel travail qu'il semble sans utilité d'entreprendre la tâche d'une énumération. Nous nous contenterons ici d'attirer Tatlention, d'une manière générale, sur les points principaux dont on doit tenir compte dans une énumération complète. Une quartique peut être non singulière, c'est-à-dire n'avoir pas de points multiples, ou bien elle peut avoir un, deux ou trois points doubles, et quelques-uns d'entre eux ou même tous ces points peuvent être des points de rebrousseroent. D'après cela, nous avons dix classes, pour lesquelles les caractéristiques de Pliickeretle genre (n®"4i, 82) sont les suivants:

JU

la

la

COCBBES DU QUATRIÈMB OBDRE. 3o3

Dans chacun des quatre derniers cas, la courbe est unicursale.

Toate quartique peut être considérée comme comprise dans lune ou Tautre de ces classes. Il existe toutefois des formes spéciales, provenant de la coïncidence dépeints doubles ou de points de rebroussement qui méritent qu'on les considère à part.

i*^ Deux nœuds peuvent coïncider, en donnant naissance à la singularité appelée nœud de tangence ou point tacnodal; c'est par le fait un contact ordinaire (biponctuel) de deux branches de la courbe {voir n® 38, III). Il faut remarquer que la tangente commune compte deux fois comme tangente double de la courbe; ainsi, en supposant qu'il n'y ait pas (en outre da point tacnodal) de nœud ou de point de rebroussement, la courbe appartient à la classe IV et ses caractéristiques sont celles que nous avons indiquées ci-dessus ; mais 8=2 indique qn'il y a un point tacnodal, ett = 8 que les tangentes doubles se composent de la tangente au point tacnodal comptée deux fois et de six autres tangentes doubles.

a^ Un nœud et un rebroussement peuvent coïncider, en donnant naissance à la singularité nommée, d'après cela, rebroussement nodal et que nous avons appelée un rebroussement ramphoidal (n® 58).

Remarquons que la tangente compte une fois comme tangente double et une fois comme tangente stationnaire. Si donc nous supposons qu'il n'y ait pas d'aulre nœud ou d'autre point de rebroussement, la courbe appartiendra à la classe V et ses caractéristiques sont données ci-dessus ; mais 0 = I, X = I montrent qu'il existe un rebroussement nodal ; T = 4 comprend la tangente au point de rebroussement et trois autres tangentes doubles; i = 10 donne la tangente au rebroussement et neuf autres tangentes stationnaires.

3** Trois nœuds peuvent coïncider si on les considère comme points consécutifs d'une courbe de courbure finie;

3o4 CHAPITRE YI.

ils ne donnent pas naissance à un point triple, maiâ à la sin^larité appelée nœud d'osculation ou point oscnodaL C'est par le fait une osculalion ou un contact triponctuel de deux branches de la courbe. La tangente en un point de ce genre compte trois fois comme tangente double de la courbe ; la classe de la courbe est VII et les caractéristiques en sont données plus haut; mais 8 = 3 signifie qu'il y a ici un point oscnodal et t =: 4 comprend la tangente en ce point, comptée trois fois et une autre tangente double.

4° Deux nœuds et un rebroussement, ou un point tacnodal et un rebroussement considérés comme points consécutifs d'une courbe à courbure finie peuvent coïncider ; ils ne donnent pas naissance à un point triple, mais à la singularité appelée rebroussement tacnodal; c'est en réalité une osculation ou intersection quartiponctuelle des deux quasi-branches en un point de rebroussement. La classe de la courbe est VIII et ses caractéristiques sont celles qui figurent au Tableau ci-dessus; S = 2, x == i indiquent qu'il existe un point de rebroussement; t = 2, que la tangente au rebroussement compte deux fois comme tangente double; i = 4» que la tangente au rebroussement compte une fois comme tangente stationnaire, et il y a trois autres tangentes stationnaires.

5*" Trois nœuds peuvent coïncider, comme sommets d'un triangle infinitésimal, en constituant un point triple (point triple ordinaire avec trois tangentes distinctes). La courbe est de la classe VIII avec les caractéristiques qui s'y rapportent; 8 ;= 3 indique qu'il y a un point triple.

6 ' Deux nœuds et un rebroussement peuvent coïncider en engendrant un point triple spécial, où une branche ordinaire de la courbe passe par un point de rebroussement. La courbe est de là classe VIII avec les caractéristiques données ci-dessus ; 8= a, X = I caractérisent ici ce point triple spécial.

7" Un nœud et deux rebroussements peuvent coïncider en

COURBES DU QUATRIÈME ORDRE. 3o5

formant un point triple particulier qui ne difTère pas d'une manière visible d'un point ordinaire de la courbe. Cette dernière appartient à la classe IX, dont les caractéristiques ont été données plus haut ; S = i , x = a se rapportent ici au point triple en question.

244. Pour mieux montrer la distinction entre les diflférents genres de points doubles que nous avons énumérés, supposons que l'origine soit un point double pour lequel les deux tangentes coincïdent avec la droite y = o; Téqualion de la quartique sera de la forme ^^ -4- «3 4- «4 = o, dans laquelle

Nous procédons maintenant comme dans le n" 36. Pour déterminer la forme de la courbe dans le voisinage de Toriginc, nous posons y = mx? et nous déterminons ^ de manière que deux ou plusieurs exposants de x deviennent égaux entre eux et moindres que l'exposant d'un autre terme quelconque ; et nous nous attachons seulement aux termes du degré le moins élevé en x. Supposons que a ne soit pas nul. Nous trouvons ^ = |; la forme de la courbe près de l'origine est la même que celle de la courbe/^ -f- ax' = o et l'origine est un rebroussement ordinaire.

1** Supposons a=o. Nous avons alors p= 2 et m est déterminé par l'équation du second degré m^ 4- bm 4-^=0. La courbe se compose de deux branches, dont les formes près de l'origine sont respectivement les mêmes que celles ,des courbes Jr=zm^x^,y = m2X^^ m^ et m2 étant les racines de Péquation ci-dessus. Les branches sont tangentes entre elles et l'origine est un point tacnodal.

2"* Supposons que l'équation du second degré dont il vient d'ctre question ait ses racines égales; la forme de l'équalioii est alors

(/ — m^')'-h cxy'^ -h dy^ -^Jx^y -+-... r:= o, S- — Courbes planes, ' 20

3o6 chàpitbe yi.

et, au degré d'approximation auquel nous nous sommes tenus jusqu'ici, les deux branches coïncident dans le voisinage de Torigine. Pour faire la distinction entre elles, nous poserons yz= mx^ 4- nxy et nous déterminerons n et y comme plus haut. Nous trouvons alors y = | et /i2 = — (cm^ +//?»). La forme de la courbe près de Torigine se rapproche donc de

celle de la courbe j' = m jr^ -f- no: ' que nous avons considérée (n"58). D'après cela, Torigine est un rebroussement romphoïdal ou rebroussement nodal.

3^* Si cependant, en plus des conditions précédentes, nous avons/ = — cm, l'équation de la courbe est de la forme

( V — mx^)* -+- cxy{y — mx^)-^ dy^ -i- gx^y- h- . , . =o.

En faisant y = m^^-f- /ij;T; nous trouvons y = 3 et /i esl déterminé par l'équation du second degré

n} -hcmn -h m'{dm -\-g)^^o.

Soient /11, /i2 les racines de cette équation; dans le voisinage de Torigine, la courbe se compose de deux branches osculatrices, dont les formes sont représentées par les

équations

y=zmx^-\-niX^y y:=mx'^-hnfX^.

Comme la différence de ces valeurs de^ a pour premier terme une puissance impaire de x, les branches se coupent, tout en étant tangentes àl'origine. L'origine est alors un point O5c/2oâf^/. 4*^ Si, en plus des conditions précédentes, les racines de la dernière équation du second degré deviennent égales ou si dm -\- g=z |c^, l'équation de la courbe est de la forme

{y — mx- — cxy — dy')-=iA.xy^'^ Bj*,

et nous trouvons, comme plus haut, que sa forme près de l'origine est donnée par l'équation

y=zmx^ -\-cmx^'^px^.

COL'RBBS DU QUATRIËME OHDRU. 3oj

L'origine est un rebrousseinent tacnodal. Le point double ordinaire ne peut pas donner de singularité d'ordre plus (•levé dans une quartique proprement dite; car la dernière hypothèse à faire consisterait à supposer que A est nul, et (!ans ce cas Véquation se décomposerait en deux facteurs du second degré. Le cas où l'origine est un point triple ne nous semble pas exiger de plus amples développements.

âio. Nous n^avons jusqu'ici fait aucune distinction eatre le réel et l'imaginaire. Si nous admettons que la courbe soit réelle, les nœuds et rebroussements imaginaires ne se présentent que par couples, et leur présence nous permet de distin* guer les différents cas en conséquence; ainsi nous pouvons avoir un seul nœud réel, deux nœuds réels ou deux nœuds imaginaires, trois nœuds réels ou un nœud réel et deux iovapnaircs; il en sera de même pour les points de rebrous^ scment.

Un point double réel peut aussi être crunodal ou acno* dal. Ces distinctions, relatives au réel et à l'imaginaire, se présentent rarement en ce qui regarde les singularités dont nous avons parlé plus haut (la condition que les imaginaires ^e présentent par couples implique le plus généralement la réalité de ces singularités). La seule distinction qu'il semble utile de faire s'applique au point triple ordinaire; il peut uvoir trois tangentes réelles, ou bien une réelle et deux ima* !,nnaires. Dans le premier cas, le point est l'intersection de trois branches réelles de la courbe; dans le second, il est la conimune intersection d'une branche réelle et de dewt branches imaginaires; ou, ce qui revient au même, nous ivons une branche réelle qui passe par un point conjugué. Ce point ne diffère pas visiblement d'un point ordinaire (le la courbe, il ressemble à cet égard au point triple spécial que nous avons mentionné ci-dessus sous le n^ 7; la différjQce consiste en ce que, dans le cas d'une branche^ ordinaire

3o8 CHAPITRE VI.

passant par un point conjugué, les tangentes sont Tune réelle et les deux autres imaginaires, tandis que, dans le cas du point triple spécial; elles sont toutes trois réelles et coïncidentes.

î246. Il existe encore d'autres singularités dont il faut tenir compte. Un nœud ou point double peut être un point d'inflexion sur une des branches qui le constituent, c*esl-à-dire que la tangente à cette branche au point double peut rencontrer cette branche en trois points consécutifs (ou la courbe en quatre points coïncidents); le nœud peut aussi être un point d'inflexion, sur chacune des branches qui le constituent.

Un pareil point double peut être considéré (dans le premier cas) comme formé par la réunion d'un point double ordinaire avec un point d'inflexion, et (dans le second cas) de ce même point double avec deux points d'inflexion; le nœud pourrait s'appeler un nœud injlexionnel, point ^ecnodal ou point bijlecnodal suivant le cas. Le point ou les points d'inflexion qui coïncident ainsi avec le point double, doivent être comptés parmi les points d'inflexion de la courbe et le nombre des points d'inflexion restants doit être diminué en conséquence. Un point biflecnodal a des propriétés analogues à celles que nous avons établies (n^* 170 et suivants) pour les points d*inflexion des cubiques. En général, si nous cherchons le lieu des moyennes harmoniques sur les rayons vecteurs issus de l'origine que nous supposons être un point double de la quartique m* 4- Ws H- Wj = o, nous trouvons u%-\- 2112 = 0. Si donc U2 est facteur dans e/j, le lieu devient une ligne droite, et le point double, qui a une polaire harmonique, jouit des propriétés établies (n** 170). Les points de contact des tangentes issues de ce point se trouvent sur une ligne droite et la courbe peut être projetée do manière qu'il devienne un centre, ou, encore, de manière que toutes les cordes parallèles à une droite donnée soient

coopées en deux parties égales par un diamètre fixe. Dans ce dernier cas, la Corme de Téquation est, en général,

Il n'y a pas de difficulté à discuter, comme daos les n"" 39 et 199, les différentes formes possibles de courbes comprises dans cette équation, en ayant égard à la réalité et à la grandeur relative de a, 6, ... ; on en déduit aisément les différentes formes que peuvent affecter les projections de ces courbes.

247. Enfin unequartique peut encore avoir un autre genre de point singulier dont il faut tenir compte dans la classification; c*est un point d'ondulation, c'est-à-dire un point où la tangente rencontre la courbe en quatre points consécutils. La tangente en un pareil point remplace deux tangentes stationnaires et une tangente double. Une quartique peut avoir quatre points d'ondulation réels. Il est facile de s'en convaincre en écrivant l'équation sous la forme wxyz = S*, dans laquelle S est une conique tangente aux quatre droites w, x, y^ z.

248. Nous n'avons pas encore épuisé la liste des éléments caractéristiques que la projection n'altère pas et dont il faudrait tenir compte dans une classification complète des quartiques. On se rappelle que nous avions divisé les cubiques non singulières en cubiques unipartites et en cubiques bipartites, suivant que tous les points réels de la courbe constituent ou non une suite continue. Il est naturel de penser qu'il doit exister une distinction semblable pour les quartiques.

Zeuthen a étudié en détail [Math, Annalen, t. VIÏ, p. 4 » 0 les formes possibles des quartiques non singulières. Il fait remarquer que les branches d'une courbe peuvent être divisées en branches d'ordre impair, qu'une droite rencontre en

3lO CHAPITRE TI.

un nombre impair de points, et en branches d'ordre pair. Ces dernières sont ce que nous avons appelé des ovales (n**200); nous employons ce mot pour désigner non seulement les ovales dans le sens ordinaire du mot, mais encore leurs projections. Par exemple, dans cette acception, nous dirons que toutes les formes des coniques sont des ovales. Zeuthen montre qu'une courbe non singulière ne peut avoir plus d^une branche d'ordre impair et que, par conséquent, une •courbe de degré pair ne peut en posséder. Une quartique ne peut donc se composer que d'ovales. On voit immédiatement que, si une quartique se compose de deux ovales, dont Tuu soit entièrement intérieur à l'autre, elle ne peut pas avoir aucun autre point réel. En effet, s'il en existait un, en le joignant par une droite à un point situé au dedans de Tovalc intérieur, cette droite couperait la courbe en cinq points. «Pour la même raison, l'ovale intérieur ne peut avoir ni tan- «gentes doubles, ni points d'inflexion. On donne le nom de quartique annulaire aune quartique composée de deux ovales dont l'un est intérieure l'autre. Les raisonnements qui précédent n'excluent pas le cas d'ovales extérieurs les uns aux autres; toutefois la quartique ne peut pas se composer de plus de quatre ovales; si, en effet, elle avait d'autres points -réels, une conique passant par l'un d'eux et par des points situés à l'intérieur des ovales couperait la courbe en neul -points. La courbe

f(c<[ 6)que nous avons considérée (p. 64-65) montre qu'une 'quartique peut effectivement se composer de quatre ovales; cela résulte aussi de l'exemple suivant que Plûcker a donné j'pour montrer que les vingt-huit tangentes doubles d'une iquartique non singulière peuvent toutes être réelles. Considérons la courbe Û = dz Ar, dans l'équation de laquelle

"=(/'- ^'^)(^-l)(^-t)-2[7«-hx(x- 2)]'.

COCIBBS DU QUÀTllfcMB ORDRB. 3ll

L'équatîon û = o représente une quartique à Iroîs points doubles, dessinée en traits gras dans la fig. 46- L'équation Û = A: est celle d'une courbe qui ne rencontre la

Fig.

courbe Û en aucun point à distance finie, qui s'écarte d'autant moins de la courbe û que k est plus petit, et qui, suivant le signe attribué à cette quantité, est tout entière à l'intérieur ou à l'extérieur de la courbe û. Quand elle est tout entière à l'extérieur, la courbe est unipartite ; si, au contraire, elle est entièrement à l'intérieur, elle se compose de quatre ovales en forme de ménisques, situés chacun dans l'une des boucles en lesquelles la courbe û est subdivisée. Chaque ménisque a une tangente double; on verra de plus que deux ovales quelconques ont quatre tangentes communes et il y a six. couples Tonnés par ces ovales pris deux à deux. Si l'on suppose que la valeur de la constante varie, il est facile de concevoir que l'un, puis l'autre de ces ovales devienne imaginaire; il s'ensuit que les quartiques non singulières peuvent être unipartites, bipartites, tripartites ou quadripartites. Nous pouvons conclure, de la même manière, que si une quartique a un point double, elle peut être unipartite, bipartite ou tri-

3ia CHAPITRE TI.

partlte; que si elle a deux poinls doubles, elle peut élre unipartile ou bipartite (*.)•

248 a, Zeuthen prend pour base de sa classification des quartiques les bitangentes réelles de la courbe et il les divise en deux classes. Quand une quartique se compose d'un couple d'ovales extérieurs Tun à l'autre, il est facile de voir (de même que si c'étaient deux coniques) que ces ovales ont quatre tangentes communes et qu'ils ne peuvent en avoir davantage. Ce sont ces tangentes communes qui sont pour Zeuthen les bitangentes de seconde espèce. Quand une quartique a deux ovales extérieurs l'un à l'autre, le nombre de ces bitangentes est 4 \ quand elle se compose de trois ovales, le nombre des bitangentes est 1 2 ; si elle en comprend quatre, le nombre en question est ^4* Les bitangentes de première espèce sont : (a) les droites doublement tangentes à une branche unique de la courbe, ou (6) les bitangentes dont les deux points de contact sont imaginaires.

Zeuthen a démontré que toute quartique a quatre bitangentes de l'une ou de l'autre de ces deux dernières classes; nous les appellerons les bitangentes de Zeuthen. Le nombre total des bitangentes réelles d'une quartique s'obtient ainsi en ajoutant aux quatre précédentes o, 4» '^ ^^ ^4 bitangentes de seconde espèce; ce nombre est donc 4 f 8, 16 ou a8. La méthode de Zeuthen consiste à considérer le système de quartiques S + XS', dans lequel S et S' sont deux quartiques non singulières. Le nombre des bitangentes réelles d'une courbe du système ne changera que si \ est tel que la courbe présente quelque singularité. Zeuthen démontre que, si \ passe par une valeur pour laquelle la courbe a un point double, on ne perdra ou on ne gagnera que des bitangentes

(*) En général, le nombre maximum des parties d'une courbe est supérieur d'une unité au genre de la courbe.

C0CRDE8 DU QUATmÈME ORDRE. 3l3

de seconde espèce et qu'aucune singularité ordinaire ne change les bitangentes de première espèce en bitangentes de seconde espèce et réciproquement. Considérons une bitangente de première espèce, tangente à une branche en deux points réels. Si le paramètre contenu dans Téquation varie, ces points peuvent se rapprocher Tun de l'autre, et Tare qui les sépare devenir de plus en plus petit. A la limite, ces points se confondent et la courbe a un point d'ondulation ; après cela, la bi tangente a ses points de contact imaginaires. Nous voyons aussi que, pour la valeur de X qui détermine un point (1 ondulation sur la courbe, les bitangentes de Zeuthen de la classe (a) se changent en bitangentes de la classe (b) ou inversement. La seule modification qui affecte les tangentes de première jsspèce consiste en un échange de ces deux classes ; ic nombre total de ces bitangentes est donc le même pour le svstème entier des quadriques compris dans la forme S -H )^S'; il est par conséquent le même pour une quartique quelconque, et l'exemple donné par Plûcker montre qu'il est égal à quatre.

248 6. Quand une branche a une tangente qui lui est tangente en deux points réels, il est évident qu'en chacun de ces points l'arc tourne ^a convexité vers la tangente et qu'il existe une partie intermédiaire de l'arc total qui tourne sa concavité vers cette même droite ; la partie concave est séparée (les parties convexes par un point d'inflexion situé à chacune de ses extrémités. Toute bitangente de cette espèce implique donc l'existence de deux points d'inflexion réels; et il n'est pas difficile de voir que la réciproque est vraie. Puisqu'il peut exister au plus quatre tangentes de cette espèce, une quartique peut avoir tout au plus huit points d'inflexion réels. Zeuthen réserve le nom à^ ovale aux branches qui n'ont ni bitangentes ni points d'inflexion réels; si la branche a une seule bitangente réelle, il l'appelle unijolium; si elle en a

3l4 CQÀPITRB VI.

deux, trois ou quatre, il lui donne les noms de bijolium, trifolium ou quadrifolium. Ainsi, dans la figure donnée par Plûcker, la courbe extérieure est un quadrifolium; les quatre courbes intérieures sont des unifolium. La Jig. 3, p. 65, représente deux bifolium; la. Jig, 5, p. 65, représente une quartique annulaire, qui est an quadrifolium avec ovale intérieur.

248 c. Zeuthen démontre, par la méthode du n^ 12j (Ex. 4), que les points de contact de trois quelconques de ses bi tangentes sont situés sur une conique et que de plus c'est la même conique qui passe par les points de contact des quatre bitangentes. Si donc w, j?, y, z représentent quatre droites et V une conique, Téquation de la quartique doit élre de la forme wxyz=^W^, Zeuthen analyse les différentes formes possibles de quartiques en discutant les différentes positions que peuvent avoir les points d'intersection des quatre droites et de la conique par rapport au quadrilatère formé par ces droites. Quand V rencontre toutes les droites en des points réels, il distingue les cas suivants : i^ quartique annulaire, un quadrifolium et un ovale intérieur; 2*" un quadrifolium et deux ovales; 3** quatre unifolium; 4** "" trifolium, un unifolium et un ovale; 5° un bifolium, deux unifolium et un ovale ; 6° deux bifolium et un ovale; 7" deux bifolium et deux ovales; 8'* un bifolium et deux unifolium; 9° un trifolium, un unifolium et deux ovales. II énumère trente-six cas en tout, mais les figures qu'il donne pour les neuf cas que nous venons de mentionner suffisent pour donner une idée des autres; il suffit en effet d'une très légère modification pour changer un unifolium en un ovale, .... Remarquons que la classification ainsi établie repose uniquement sur les propriétés projectives, mais qu'elle n'a trait en rien à la droite de l'infini. Nous donnerons dan** le n^ 249 les principes qui permettent de subdiviser ce<

COURBKS DU QUATRIÈME ORDRE. 3l5

classes en espèces, en tenant compte de la nature des branches infinies.

248 d. Zeuthen a aussi appliqué sa méthode de classification aux quartiques nodales considérées comme cas limites des quartiques non singulières. Il énumère et discute les cas suivants : (a) points conjugués considérés comme cas limites des ovales; (6) nœuds qui prennent naissance dans les cas limites des quartiques annulaires, quand la branche intérieure vient à couper la branche extérieure; dans aucun de ces cas les bitangentes de Zeuthen ne subissent de modification; (c) nœuds produits par Tintersection mutuelle de deux branches extérieures Tune à Tautre ; (</) nœuds qui se produisent quand une branche d'ordre pair se décompose en deux branches d ordre impair qui se coupent. Dans les cas où les bitangentes de Zeuthen éprouvent des changements, la discussion se fait en considérant les formes représentées par Téquation trx/^=:V*, quand V passe par le point d'intersection de deux droites, ou quand deux de ces droites coïncident Tune avec l'autre.

249. Pour reconnaître comment on peut classer les quartiques en ayant égard à leurs branches infinies, nous remarquerons que la droite de l'infini peut rencontrer une quartique: (a) en quatre points réels, (6) en deux points réels et deux points imaginaires, (c) en quatre points imaginaires, {d) en deux points coïncidents et deux points réels, (e) en deux points coïncidents et deux points imaginaires, (/) en deux couples de points coïncidents réels, (^)en deux couples de points coïncidents imaginaires, (A) en trois points coïn* cidents et un point réel, (/) en quatre points coïncidents. On pourrait encore établir des distinctions spéciales dans les cas (rf), (e), (/), (^), suivant que la droite de l'infini, dans ses points de rencontre avec la courbe, est simplement une

3l6 CHAPITRE VI.

tangente, ou qu^elle passe par un point double; ce point double peut être lui-même crunodal ou acnodal, ou appartenir à Tune des variétés particulières dont nous avons parlé précédemment. De même, dans le cas (A), la droite de Tinfini peut être une tangente stationnaîre ordinaire, ou une tangente en un point double ou en un point de rebroussement, ou bien encore elle peut passer par un point triple et, dans le cas ((), elle peut être tangente en un point d'ondulation, ou en un point double de variété spéciale, ou enfin être tangente en un point trijple. L'un quelconque des points qui comptent seulement comme des points d'intersection simples de la droite de l'infini avec la courbe peut être sur cette dernière un point d'inflexion ou d'ondulation. Quand ce cas se produit, il en résulte dans la configuration de la courbe une difl'érence dont il faudrait tenir compte dans une classification complète des quartiques.

250. Nous avons déjà montré (n® 70) comment on forme l'équation de la Hessienne d'une quartique ; c'est une courbe du sixième degré qui coupe la quartique aux vingt-quatre points d'inflexion. Nous avons vu aussi que l'équation de la réciproque d'une quartique est de la forme S* = T', dans laquelle S représente une courbe de quatrième classe et T une courbe de la sixième classe ; la forme de l'équation fait reconnaître que ces deux dernières courbes sont toutes les deux tangentes aux vingt-quatre tangentes stationnaires. Nous réservons pour un autre Chapitre la solution du problème qui consiste à former l'équation d'une courbe passant par les points de contact des tangentes doubles d'une courbe donnée. Quand nous traiterons cette question, nous montrerons que, dans le cas d*une quartique, l'équation d*une courbe bitangentielle de cette sorte peut être écrite sous la forme 6 = 3H0; 6 est le covariant AL'^ -h . . . comme dans le n° 231. En d'autres termes, L', ... sont les dérivées

TANGENTES DOUBLES. 3lJ

premières de la Hessienne et A représente la quantité bc — /-, dans laquelle a^ bj * , . sont les dérivées secondes de U. De même $ représente la quantité Aa'+ • . ., comme dans le n° 230(^0?. 1).

TâNGENTES DOUBLES.

251 . Pour traiter cette question, il est commode de commencer par étudier préalablement une théorie plus générale dans laquelle se trouve comprise celle des bitangentes. Considérons d'abord la forme UW = V^, dans laquelle U, V, Wreprésentent des coniques; elle contient implicitement seize constantes; on peut, par conséquent, y ramener l'équation de toute quartique, et cette réduction est possible d'une infinité de manières, comme nous le verrons d'une manière plus complète dans la suite. La forme de l'équation montre que U et W sont tangentes chacune à la quartique en quatre points, ceux où elles rencontrent respectivement V*. Nous avons déjà discuté (Sections coniques, n*» 270) l'équation UW = V» quand U, Y, W représentent des droites ; les résultats que nous avons obtenus sont encore applicables au cas où ces quantités représentent des coniques, à la condition d'y apporter les modifications convenables. U suffira simplement de nous rappeler que deux coniques, représentées par des équations delà forme XU + jiV + vW = o, au lieu de se couper en un seul points se rencontrent suivant quatre points, et que, si l'on nous donne un point d'une conique dont l'équation doit pouvoir être mise sous cette forme, nous en connaissons nécessairement trois autres points; en effet, si nous avons XU'-h |x V'-h V W = o, la conique X U -h (x V -h v W = o passera, cela est clair, par les quatre points déterminés par les

équations jp = :rr7 = ^, • Il résulte, de la discussion faite

dans les Sections coniques et qu'on vient de rappeler, que la

3l8 CHAPITRI VI.

qiiarlique UW = V* peut être considérée comme l'enveloppe d'une conique variable X^U-f- 2XV-I- W = o, où ). esl variable, et qui est tangente à la quartique donnée aux quatre points déterminés par les équations

XU-+-V = o, XV-+-W = o.

Les deux, systèmes de quatre points suivant lesquels deux des coniques enveloppantes touchent la quartique sont situés sur une autre conique^ comme on le voit en écrivant l'équation donnée sous la forme

(X=U4-2XV-hW)(ix«U-h2txV-+-W) = [XHLU-h(X-+-t^)V-t-W]-.

On peut de même étendre les propriétés des pôles et polaires à la courbe dont nous nous occupons. Par un point (ou bieo, si nous le voulons» nous pouvons dire par un système quelconque de quatre points) on peut mener deux coniques du système X*U -h aXV 4- W = o ; les deux systèmes de points de contact sont situés sur la conique UW'-f-WU' — aVV' = o qu'on peut appeler la polaire du point donné ou du système de points et la symétrie de l'équation montre que la polaire (dans le sens propre du mot) d'un point quelconque appartenant à la dernière conique passera par le point dooné. Réciproquement une conique quelconque a U-|-6V-HcW= 0 rencontre la quartique en deux séries de quatre points; par chacun de ces systèmes on peut faire passer une conique quadruplement tangente, et ces deux coniques se coupent suivani un système de points qui constituent dans ce sens le pôle deaU-hèV-+-cW.

2oâ. Il est utile de rappeler ici les propriétés établies ( Sections coniques, n^ 338, . . . ) pour un système de coniques comprises dans l'équation aU -|- p V + y W = o. En premier lieu, si cette équation représente un couple de droites, leur point d'intersection se trouve sur une cubique fixe qui est la

TANGENTES DOUBLES. SlQ

Jacobienne de U, V, W; cette courbe peut aussi se définir comme le lieu d'un point dont les polaires par rapport à loules les coniques du système aU -h PV -f- yW = o se coupent en un même point. Si nous considérons deux coniques faisant partie de ce système, Téquation d'une conique passant par leurs points d'intersection doit être de forme similaire et par conséquent les points d'intersection de chacun (les trois couples de droites qui joignent les quatre interseclions des deux coniques doivent être situés sur la Jacobienne. Si les deux coniques sont tangentes, deux de ces trois points (l'intersection coïncident avec le point de contact; et par conséquent, si deux coniques du système aU -4- PV -4- yW sont tangentes l'une ^à l'autre, leur point de contact se trouve sur la Jacobienne.

En second lieu, le système aU-j-pV + yW peut être considéré comme un système de coniques polaires d'un point variable («^y) par rapport à une certaine cubique fixe, qui a pour Hessienne la Jacobienne du système et dont Téquation peut se former quand on connaît les équations des trois coniques.

Troisièmement, si aU -f- P V + Y W représente un couple de droites, toutes les droites de cette nature sont tangentes à une courbe de la troisième classe qui est la Cayleyenne de la cubique mentionnée ci-dessus.

2S3. Une conique enveloppante )v*U + 2)vV + W et la conique qui passe par les quatre points de contact faisant chacune partie du système aU -f- P V -h yW, nous en déduisons en particulier que, si nous menons les trois couples de droites joignant les points de contact d'une conique quelconque qui enveloppe UW =: V^, les intersections de chaque couple se trouvent sur une cubique fixe qui est la Jacobienne, et les droites elles-mêmes sont toutes tangentes à une courbe fixe de la troisième classe, la Cayleyenne.

SSO CHAPITRE YI.

Si les deux 'coniques XU H- V = o, )^ V -f- W = o sont tangentes entre elles, la conique A^U -|- 2XV -f- W, au lieu d'être tangente à la quartique en quatre points distincts, a deux fois un contact ordinaire avec elle, et elle la rencontre une fois en quatre points consécutifs. D'après ce que nous venons de voir, ce point de contact d'ordre supérieur est situé sur la Jacobienne. Nous concluons de là que douze coniques du système X2U+ a)^V-|- W = o ont avec la quartique ce même contact d'ordre supérieur : ce sont les douze coniques qui passent chacune par une des intersections de la Jacobienne avec la quartique.

254. Six coniques du système X^U -h a).V 4- W se réduisent à un couple de droites, car le discriminant de cette forme, étant une fonction du troisième degré de ses coefficients,sera une fonction du sixième degré enX, et par conséquent on peut trouver six valeurs de X pour lesquelles il sera nul. Quand une conique enveloppante se réduit à un couple de droites, les quatre points de contact sont situés deux à deux sur chaque droite, et chacune de ces dernières est une tangente double de la quartique. Il résulte du n^ 349 que, si abj cd sont deux quelconques de ces six couples de bitangentes, Téquation de la quartique peut être ramenée à la iorme abcd = Y^, et les huit points de contact sont situés sur une conique V. Nous voyons ainsi que la forme X^U-f-aXV-f-W comprend les six couples de bitangentes de la quartique; ces douze bitangentes sont toutes tangentes à une courbe de la troisième classe; la Cayleyenne du système et les point» d'intersection de chaque couple sont situés sur U Jacobienne. De même aussi, si l'on joint directement et transversalement les points de contact de ces couples de bitangentes, les droites de jonction sont tangentes aussi à la Cayleyenne et les intersections de chaque couple se trouvent sur la Jacobienne. On peut établir cette propriété sous une forme un peu différente,