TANGENTES DOUBLES

en considérant la cubique S dont U, V, W sont des coniques polaires. En effet, si l'équation d'une quartique est une fonction du second degré en U, V, W, en égalant cette (onction à zéro, on obtient la condition pour que la droite xU + vV -h z W = o soit tangente à une conique fixe ; il est alors facile de voir que la quartique peut être définie comme le lieu d'un point dont la polaire par rapport à S est tan- 1,'ente à une conique fixe, ou, en d'autres termes, comme le liea des pôles par rapport à S des tangentes de cette conique llxe; il revient au même de la définir comme l'enveloppe des coniques polaires des points de cette conique. Les tangentes doables de la quartique correspondent aux points où la conique rencontre la H?ssienne de S.

2a5. Considérons maintenant deux des bitangentes d'une quartique et prenons-les pour axes des x et des y; si nous faisons j; = o, l'équation de la quartique doit se réduire à un carré parfait, par exemple («^ 4- «>'2 + 6^*)* et, si nous posons y=zo, nous devons avoir de même {z^'\-cxZ'^dx^y, Par conséquent, l'équation de la quartique doit évidemment être de la forme

xyU =(w* H- ayz H- br- -f- cjcz-hrij^')-,

c'est-à-dire de la forme xyU = V*, que nous avons discutée ; cette équation peut aussi s'écrire

x/(>/-U4-2XVH-a:j) — (^V-f-XV)'.

Comme nous l'avons vu, en outre de la valeur X-= o qui correspond au couple de droites oy^, il y a cinq autres valeurs tle X pour lesquelles X^U + a)^V -h .r^ représentera un couple de droites, et, par conséquent, l'équation peut de cinq manières différentes se ramener à la forme wxyz=Y^, Donc, par les quatre points de contact de deux bitangentes quelconques, nous pouvons mener cinq coniques, S. — Courbe» planes. n

dont chacune passe par les quatre points de contact de deux autres bitangentes.

Une quariique non singulière a 28 bitangentes et il y a par conséquent ^(28.27), ou 878 couples de bitangentes; chacun de ces couples donne naissance à cinq coniques différentes; mais chaque conique peut provenir d*un quelconque des six couples différents formés par les quatre bitangentes qui correspondent à cette conique. Donc il y a en tout 1(378) 01/ 3i5 coniques, dont chacune passe par les points de contact de quatre bitangentes d'une quartique (*).

2o6. Nous avons vu que chaque couple de bitangentes se combine avec cinq autres couples pour former un groupe de six couples, tel que les points de contact de deux queIconque> de ces couples soient sur une conique. Il en résulte qu * les 378 couples peuvent être partagés en 63 groupes de six. Les douze bitangentes de chaque groupe sont tangentes à la même courbe de la troisième classe et celte dernière est aussi tangente aux droites qui joignent directement et transversalement les points de contact de chaque couple. Les intersections de chaque couple de bitangentes, de même que celles des droites qui unissent les points de contact, sont situées sur une cubique. Il y a douze coniques en correspondance avec chaque groupe, et chacune d'elles est 'tangente à la quartique en deux points de contact ordinaire; elle lui est en outre tangente en un autre point où elle a quatre points consécutifs communs avec la quartique ; ces points de

(') Plûcker a indiqué le premier la possibilité de mettre l'équatioa d'une quariique sous la forme xyzw = V; mais il en a conclu trop précipitamment que les six points de contact de trois bitangentes quelconques sont •;ur une conique; il a été ainsi conduit à une conclusion erronée pour le nombre total des coniques passant par huit points de contact de bitangentes. {voir la Théorie der algebraischen Curven^ p. 2 {6}.

TANGENTBS DOUBLES. 3à^

contact d*ordre supérieur sont situés sur la cubique dont nous avons parlé en dernier lieu. Comme il y a 63 groupes, on peut mener en tout ^56 coniques de ce genre.

257. Nous allons montrer comment on peut former un tableau des 3i5 coniques et, à cet effet, nous représentons provisoirement les a6 premières bitangentes par les lettres de Talphabet, en ajoutant les deux symboles f et ^ pour indiquer les deux autres. Nous représentons par abcd la conique qui passe par les huit points de contact des bitangentes a, 6, Cy d. Si maintenant abcd^ abef sont deux des 3i5 coniques, les couples ab, cd^ e/ appartiennent au même groape et, d'après ce que nous avons vu, cdef sevdi une autre de nos coniques. On peut aussi le démontrer directement comme il suit. Soit abcd=zY^ Téquation de la quartique, ou

ab(cd-\-i\\ -h 'k'ab)zzz{\ -^ lab)\

Nous pouvons déterminer \ de manière que Ton ait

cd-\- 2XV-i-X*aft — c/.

Tirons V de cette équation et portons sa valeur dans l'équation de la quartique; il vient

X*a*6* 4- C'd* -+- e'/* — 2 l^abcd— 2 l^abef— icdet =z o

ou bien

!^cdef—{cd-\-ef— l^ab)\

Cette forme démontre le théorème énoncé. On voit ainsi que, étant donnés trois couples de droites qui doivent être des couples de bitangentes du même groupe d'une quartique, Téquation de la quartique sera de la forme

l\/ab -h m \^cd -h n \Jef — o,

en sorte que, si Ton donnait deux points de plus, on pourrait trouver une quartique unique satisfaisant aux conditions;

3a4 CHÀPITnB TI.

requises. En correspondance avec chaque groupe, il y a i5 coniques passant respectivement par les points de contact de deux des six couples qui composent le groupe. Il semble donc qu'il y aurait ainsi 63xi5 = 945 coniques; mais chaque conique est comptée trois ibis comme appartenant aux trois groupes ab, edj . . », ac, bd^ . . . , ad^ bc, ... ; le nombre total est donc 3i5, comme on Ta énoncé ci-dessus.

258. Considérons une conique quelconque abcd] le groupe aby cd, ... et le groupe ac, bd^ ... ne peuvent avoir d'autre bitangente commune, si nous supposons que la quartique est une courbe non singulière. Par exemple, si ate/est une conique du premier groupe, aceg ne peut être une conique du second. En effet (n® 257), Téquation de la conique passant par les points de contact de a, by c, d peut ctre mise sous la forme

Xa^H- 7-{cd — ef)^=:Oy

et, si aceg est une autre conique, elle doit être identique avec la forme

jxac H — (hd— eg) = o.

Nous déduisons immédiatement de cette identité

Il en résulte que, e étant identique avec un des facteurs dans lesquels se décompose le premier membre, elle passe par Tintersection de a et c, ou b et d. Mais, dans Tun et l'autre cas, le point par lequel on a démontré que e passe sera un point double de la courbe

t^X^abcdrzzQ^ab-^-cd — ejy,

et par conséquent la quartique ne pourrait pas être une courbe non singulière.

Nous voyons précisément de la même manière que si abef^ acmn sont deux coniques, il existe entre elles une identité

{Xb

^^c)(^a^l-^d)^Le/-^lmn,

ci, par conséquent, les diagonales du quadrilatère e/mn passent Tune par ad^ l'autre par bc\ en d'autres termes, les intersections de chaque couple de bitangentes sont, d'après ane certaine loi, situées trois par trois sur des droites. Quand on a une fois fait un tableau des 3i5 coniques, il n'y a aucune difliculté à distinguer quelle est la diagonale qui passe par ad et quelle est celle qui passe par bc. Par exemple, si nous savons que aeniu, afnv^ aduv sont des coniques du système, nous concluons de la même manière que les diagonales emfn passent par ad uv, et que par conséquent ad est situé sur la droite qui joint en, /m. Considérons maintenant une conique abcd; elle appartient aux trois groupes a6, ce/, . . ., aCy bdf ... et ad, bCj . . . , et nous voyons maintenant que chacun des seize quadrilatères que l'on forme en combinant un des quatre autres couples appartenant au groupe oc, bdsL\ec un couple du groupe ad, bc aura une diagonale passant par ab. Mais le couple ab fait partie de cinq coniques différentes et, par conséquent, il y a quatre-vingts quadrilatères qui ont une diagonale passant par ab. On trouvera^ comme nous l'avons indiqué, que ces quadrilatères peuvent se partager en couples ayant une diagonale commune; donc, par chacun des 378 points a6, on peut mener 4o droites qui passent chacune par deux autres points du même genre, et il y a en tout 5o4o de ces droites.

2S9. Nous pouvons maintenant former un tableau des 3i5 tangentes, dans lequel il n'y aura plus rien d'arbitraire que la notation. Commençons par écrire le groupe a6, cd^ ^fy gf^'i (/> *'; comme les groupes acybd et arf, bc ne peuvent'

3a6 CUAPITBB Vf.

avoir de bitangente commune avec le précédent, ni Pun avec l'autre, ces groupes peuvent s'écrire ac, bd, mn^ op, qr^ st\ ad, bc, uVy iVXy yz, ^A. Ecrivons maintenant le groupe ae, bf\ il ne doit pas renfermer de bitangente du groupe ah, :.iais dans chaque terme une des bi tangentes du groupe ac^ sera combinée avec une bitangente du groupe ad. Comme nous étions libres d'écrire les couples de chaque groupe dans Tordre que nous voulons, ce n'est simplement qu'une affaire de notation et nous n'introduisons aucune condition géoniétrique, si nous prenons pour ce groupe ae, 6/, mw, 0(v, qy^so. De la même manière, c'est une pure affaire de notation que supposer que les bitangentes ont été représentées par des lettres, de manière que ag et mx, ai et mz, ak et mi appartiennent au même groupe. Ceci admis, on trouvera que le groupe a/, be est nécessairement nv^ px^ rz^ti/^ et nous pouvons procéder ainsi pas à pas, pour écrire le système entier. Nous avions, d'après cela, introduit dans l'édition précédente une Table des 3i5 coniques; nous ne la reproduisons pas ici, parce que Hesse adonné (Crelle, i855, t. 49, p. ^43) un algorithme discuté ensuite plus minutieusement par M, Cayley {C relie ^ i858, t. 68, p. 176), qui présente sous une forme facile à reconnaître les relations mutuelles des 28 tangentes. La méthode de Hesse s'appuie sur des considérations tirées de la Géométrie à trois dimensions. Il égale à zéro le discriminant de l'expression aU-hPV + YW = o dans laquelle U, V, W représentent des surfaces du second degré. Ce discriminant étant une fonction du quatrième degré en a, p, y, si l'on regarde ces quantités comme des variables, r^'quation représente une quartique plane. Mais, pour une valeur quelconque de a, ^, y qui fait annuler le discriminant. aU-l- pV-l- yW représente un cône, en sorte qu'à chaquo point de la quartique plane correspond un point de l'espac * qui est le sommet de ce cône. Le méthode de Hesse relie les ttngentes doubles de la quartique plane avec les droites

joignant chaque couple des huit points de Tespace qui sont les intersections de trois surfaces du second degré. Nous ne faisons ici aucun usage de principes de Géométrie de Tespacc, mais nous empruntons simplement la notation que suggère la méthode de Hesse ( * }.

260. Prenons huit symboles i, 2, 3, 4) ^9 ^) 7^ S* Leurs combinaisons deux, à deux nous donnent aS symboles la, i3, . . . , 78 que nous emploierons pour représenter les 28 bitangenles. Celte notation, quand les symboles sont convenablement appliqués aux 28 bitangentes, nous permet de représenter correctement leurs relations géométriques, quoiqu'elle soit complètement en défaut pour faire ressortir la symétrie du système. En effet, la notation pourrait donner ridée que la bitangenle la se comporte difléremment avec les bitangentes i3, 14» ••• et avec les bitangenles 34» 56, . . . , tandis quSl n'y a réellement pas de différence geomélrique entre les relations d'un couple quelconque de bitangenles. Nous supposerons les symboles appliqués de telie manière que lâ, 34^ 56, 78 représentent des bitangentes dont les huit points de contact soient sur une conique. La même propriété appartiendra alors à tout tétrade ou système de quatre bitangentes représenté par un système semblable de duades ou de deux symboles, c'est-à-dire par quatre duades quelconques contenant tous les huit symboles. Mais, si nous faisons le compte de ces arrangements, nous trouvons que

(') Un autre mode de rattacher la théorie des a8 biiangenles aTcc la Géométrie de l'espace a été employé par Geiser, Âfaiheniaiische Annalen, U I. 129; c'est le suivant : D'un point d'une surface cubique, on peut mener nn c6ne du second degré tangent à la surface. Ge cône sera une surface non singulière, ses plans bitangents sont le plan tangent à la cubique en son sommet et les plans qui joignent le sommet aux 37 droites de la surface, /^enthen démontre que sa classification des quadriques basée sur la réalité de leurs bitangentes conduit par une voie diiït*rcnte aux résultats que SchlAdi a obtenus en classant ces surfaces du troisième ordre d'après la réalité de leurs droites.

328 CHAPITRE YI.

nous n'en pouvons faire que io5 contenant les huit symboles en systèmes, tels que 12, 34, 56, 78. Les 210 coniques restantes correspondent à quatre bi tangentes dont les symboles sont tels que 12, 28, 34? 4 ', c'est-à-dire que les du ad es se déduisent cycliquement d'un arrangement quelconque de quatre des huit symboles, etPon trouvera que nous avons 210 tétrades de cette sorte. Ainsi le groupe appartenant au couple 12, 34 se composede56, 78; 57, 68; 58, 67; i3, 24; i4» 23, et le groupe appartenant à 12, i3 est 24, 34; ^5, 35; 26, 36; 27, 37; 28, 38. La notation montre donc complètement comment les bi tangentes doivent être combinées en groupes. Elle donnerait cependant à penser que les io5 coniques de la forme 1 2, 34, 56, 78 diffèrent quant à leurs propriétés des 210 coniques de la forme 12, 23, 34, 4i) ^^ q^î n'est pas; les 3i5 tétrades forment un système indissoluble.

281. M. Cayley a fait remarquer que les recherches de Hesse établissent la règle générale suivante : Une substitution bifide Reproduit aucun changement dans les relations géométriques des bitangentes représentées par un système quelconque de symboles. Par une substitution bifide nous entendons qu'après avoir écrit un symbole de substitution, tel que 1234, 5678, nous permutons partout les duades 12, 34; i3, 24; i4, «3 de même que 56, 78; 57, 68; 58, 67; mais nous laissons sans changements les duades, tels que i5, 36, dans lesquels un symbole de la première série est combiné avec un symbole de la seconde. Le nombre des substitutions bifides possibles est 35, ou bien, si nous ajoutons runilc (aucun changement dans les duades), le nombre est 36.

Par exemple, si nous appliquons la substitution bifide 1 234- 5678 au couple 12, 34» nous obtenons le même couple dans un ordre opposé; si nous l'appliquons à 12, i3, nous avons 34? î>4, couple de même type que 12, i3; si nous l'appliquons à K2, i5, nous obtenons 34, 1 5, couple d'un type différent en

apparence, mais qui ne diffère pas quant aux relations géométriques. Si de même nous appliquons la même substitution bifide que ci--dessus au tétrade iS, 67, a8, 34) qui appartient au système des io5 dont on a déjà parlé^ nous obtenons i5, 58, 82, ai, qui rentre dans le système des 210 et qui, suivant la règle, possède les mêmes propriétés géométriques.

26â. Dans le Tableau qui suit, M. Cayley a fait ressortir les relations géométriques des bitangentes, prises une à une, deux à deux, trois à trois ou quatre à quatre, et le nombre de lermes appartenant à chaque type d'arrangement de symboles.

TBRMB

raprèMaUllf.

NOHoas

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