CARACTÈRE GÉOMÉTRIQUE

Bitaogentes.

Couples de bitangentes.

Triades de bitangentes telles que 6 points de contact sont sur une conique.

Triades tels que 6 points de contact ne sont pas sur une conique.

lin

Tétrades tels que les 8 points de contact sont sur une conique.

lU LT

ÙJ

Tétrades tels que 6 des 8 points de con- Uct sont sur une conique.

lA

Tétrades tels qu'il n'y a pas 6 points de contact sur une conique.

33o CnAPITRB Vf.

Dans ce qui précède, pour plus de clarté^ on a attaché un symbole géométrique à chaque terme; les symboles i, a, 3. 4> 5,6, 7, 8 étant regardés comme des points, quand deux d'entre eux sont combinés pour former un duade, cette opération est indiquée par une droite tirée pour joindre les deux points; ainsi A est le symbole du terme i9, a3, 3i . Ce mode de représentation est très convenable, nous pouvons par exemple, à la simple inspection, voir que le symbole d'un système partiel dans le système de iSiao termes comprend comme partie intégrante un des symboles 1 1 1 , U » c'est-à-dire que, parmi les bi tangentes, il y en a six telles que leurs points de contact sont sur une conique; tandis que, au contraire, dans les symboles des systèmes particuliers appartenant au système de 5o4o termes, aucun de ces symboles ne conlient comme partie de lui-même |||, ou (J*

A ce qui précède, on peut joindre les deux groupes sui- \ants de six bitangentes.

TERME RErRÊSEXTATiF.

NOMBRE DBS TERMES. |

AA

ia.a3.3i.45.56.64 la. 34. 35. 36. 37. 38ia.i3.i4.56.57.58 la. 23. 34. 45. 56. 61 12.35.35.36.67.68

aSo

Wl

ww

Wl

Ces 1008 et 5o4o l^exades ont été étudiés par Hesse el Steiner comme bitangentes dont les douze points de coniaci sont une cubique proprement dite, le premier système n'ayani pas six points de contact sur une conique; le second, au contraire, ayant ses douze points de contact divisibles en deux groupes de six points situés chacun sur une conique. On peut ajouter que les six tangentes de chacune des 1008 hexades

COURBES DU quatrièhe ordre. 33i

soDt toutes iangenies à la même conique, comme le montreront les recherches d'Aronhold que nous allons indiquer ici. I^es six tangentes de chacun des 5o4o bexades peuvent se distribuer en trois couples dont les points d'intersection sont sar une même droite {yoir n^ S58).

263. Nous terminons cette discussion des bitangentes en donnant un aperçu de la méthode par laquelle Aronhold a AémonXxé {Monatsberichte de Berlin, p. 499; 1864) qu'étant données sept droites arbitraires, on peut trouver une quarti que qui ait ces droites pour bitangentes et dont les autres bitangentes peuvent se déterminer par des constructions linéaires. La méthode repose sur les propriétés d'un système de courbes de la troisième classe ayant sept tangentes communes; mais il semble à propos de les établir d'abord sous la forme réciproque avec laquelle le lecteur est plus familier, c'est-à-dire de les déduire comme propriétés d'un système de cubiques passant par sept points donnés.

1^ Considérons une cubique quelconque du système; si Ion joint le huitième et le neuvième point oh elle est coupée par une autre cubique du système, la droite qui réunit ces points passe par un point fixe de la première cubique, qui est le corésiduel des sept points donnés (n® 160).

2^ Par un point arbitraire 8, on ne peut décrire qu'une seule cubique pour laquelle ce point soit le corésiduel des sept points donnés; car toutes les cubiques du système qui passent par le point 8 passent par un autre point fixe 9 et, par définition, le corésiduel est le point où la droite qui joint CCS points rencontre de nouveau la courbe. Si donc le corésiduel doit coïncider avec le point 8, la cubique devra être la courbe qui est déterminée par la condition d'avoir la droite 89 pour tangente au point 8.

3** On peut décrire quatre cubiques du système de manière qu'elles soient tangentes à une cubique donnée du sys-

33a CHAPITRE VI.

tème; les points de contact sont évidemment les points de contact des tangentes menées à la cubique par le point corésiduel.

4^ Si les points 8^9 coïncident, c'est-à-dire si les cubiques sont tangentes, Tenveloppe de la tangente commune est une courbe de quatrième classe. En effet, examinons combien de ces droites peuvent passer par un point P pris d'une manière arbitraire. Supposons une cubique décrite par P et par les points 8,9; alors, par définition, le point P est le point corésiduel sur cette cubique et, d'après (2), cette cubique, ayanl P pour corésiduel, est une courbe parfaitement déterminée. Nous voyons alors, d'après (3), que Tenveloppe en question est de la quatrième classe ; les quatre tangentes passant par P se trouvent en cherchant la cubique qui a P pour corésiduel et menant de ce point les quatre tangentes à cette cubique.

5^ Le point P appartiendra à la courbe enveloppe, si deux des tangentes menées par lui coïncident; mais de la construction qu'on vient de donner il résulte que ceci ne peut arriver que lorsque la courbe qui a P pour corésiduel a un nœud; car, dans ce cas, deux tangentes coïncident avec b droite qui joint P au nœud. Donc l'enveloppe que nous considérons peut aussi se définir comme lieu du corésiduel du système donné de points pour toutes les cubiques nodales du système.

6^ Si la cubique passant par les sept points se décompose en une conique passant par cinq d'entre eux et une droite joignant les deux autres, elle a deux nœuds qui sont les intersections de la droite et de la conique. Une autre cubique quelconque du système rencontre cette cubique complexe en deux points, l'un sur la droite, l'autre sur la conique, et le corésiduel est le point P où la droite qui joint ces deux points rencontre de nouveau la conique. Dans ce cas, P est un poini double, qui a pour tangentes les droites qui le joignent aux intersections de la conique avec la droite. Mais sept points

peuvent se diviser de m manières en un système de deux points et un autre de cinq points. La courbe que nous considérons a donc ai points doubles, un sur chacune des 21 coniques déterminées par cinq des points donnés.

7^ De plus, les sept points eux-mêmes sont des points, doubles de la même courbe ; car, par six des points donnés, on peut décrire une cubique ayant le septième pour point double, et il est facile de voir que le point double est le corésiduel pour cette cubique. Les quatre tangentes qu^on peut inener de ce point à la cubique se réduisent à deux couples de tangentes coïncidentes; ce sont les tangentes à la cubique au point double. La courbe enveloppe a donc 28 points doubles, dont 7 sont les 7 points donnés ; le couple de tangentes en chacun de ces sept points est le même que celui de la cubique du système qui a ce point pour point double.

264. 1® Réciproquement, si nous avons un système de courbes de la troisième classe tangentes à sept droites données, et si nous considérons une courbe quelconque du système, la huiûème et la neuvième tangente communes à celle-ci et à une antre courbe du système se coupent sur une tangente fixe de la courbe qu'on a choisie, et cette tangente peut s'appeler la corésiduelle pour cette courbe des sept tangentes données.

2® Il y a une courbe du système qui correspond à une droite arbitraire, et qui a elle-même cette droite comme corésiduelle des tangentes données.

3^ Une courbe quelconque du système est touchée par quatre autres courbes; les points de contact sont ceux où la ' tangente corésiduelle rencontre de nouveau la courbe, qui, étant une courbe générale de la troisième classe, est du sixième degré.

4*" Le lieu des points où deux courbes du système sont tangentes est une courbe du quatrième degré; les points où une droite quelconque rencontre ce lieu sont les quatre points

334 cbàpitrb yi.

où elle rencontre la courbe dont elle est tangente corésiduelle.

5^ Si la courbe de la ^/oisième classe a une bitangente, la corésiduelle pour cette courbe est tangente au lieu et le point de contact est Tintersection de la corésiduelle et de la bilangente^

6° Si la courbe se compose d*une conique tangente à cinq des tangentes données et d^un point, intersection des deux autres tangentes, la corésiduelle pour ce système sera une bitangenle au lieu. 11 y aura ui de ces bitangentes.

7° De plus, les sept droites données elles-mêmes sont des bitangentes ; les points de contact sont les mêmes que ceuy où une d*entre elles est tangente à la courbe de la troisième classe ayant cette droite pour bitangente et les six autres droites données comme tangentes ordinaires (*).

263. Étant données les sept bitangentes, nous pouvons maintenant, comme nous l'avons annoncé, en déduire les autres par des constructions linéaires. Nous avons par le fait à construire les tangentes corésiduelles pour les difFérenls systèmes I234S; 67... dans lesquels ia345 représente la conique tangente aux cinq premières droites et où 67 est le point d*intersection des deux autres droites. Mais les deux systèmes ia345,67 et ia346,57 oni évidemment sept tangentes communes et les autres tangentes communes sont celles qui sont menées du point Sy à ia34S et du point 67 à ia34^). Or, le théorème de Brianchon nous permet, étant donné un

(*) Le point de contact de chacune des sept droites données avec le lieu étant ainsi donné, nous avons quatorze points de la quartique qui est alors complètement déterroinée et il n'y a qu*une seule quartique satisfaisaol aui conditions imposées. Il peut cependant y avoir plusieurs quartiques ayant les sept droites données comme bitangentes; celle qui est déterminée par la méthode d'Aronhold les a comme bitangentes sans relations entre elles; ellos sont telles, par exemple, que trois d'entre elles n'appartiennent pas au même groupe.

COURBES DU QUATRlfcMB ORDRE. 335

point sur une tangente à une conique, de trouver l'autre tangente par des constructions linéaires. Ces deux tangentes étant ainsi construites et leur intersection trouvée, les tangentes restantes menées de ce point à chacune des coniques en question seront les deux corésiduelles cherchées, et par conséquent deux bitangentes. Ou autrement, si nous considérons les trois systèmes 12345,67; 12346,57; 12347» 56, et si nous déterminons de la manière qu'on vient d'indiquer la huitième et la neuvième tangente restante, communes à chaque couple de systèmes, les trois intersections de ces couples de tangentes jointes entre elles donneront trois des bitangentes cherchées. La bitangente qui est la côrésiduelle du système 12345,67 peut s'appeler la bitangente (67); et, de cette manière, les vingt et une bitangentes peuvent se représenter par des combinaisons des symboles i, 2, 3, 4> 5, 6, 7. Nous avons en plus les sept droites données; si nous introduisons un nouveau symbole 8 par raison de symétrie, et si nous représentons ces dernières par (18), (a8), (38), (48), (58), (68), (78), nous serons conduits, par la méthode d'Aronhold, à un algorithme identique à celui de Hesse.

266. L'intersection des huitième et neuvième tangentes communes à deux courbes quelconques du système est un point par lequel passe la tangente côrésiduelle à chacune de ces courbes. Considérons les systèmes cubiques complexes 12,34567; 34, 12567; une des tangentes communes est la droite qui joint les points 12, 34» c'est-à-dire, dans l'algorithme qu'on vient d'indiquer, la droite qui unit les intersections des droites (18), (28); (38), (48), et nous voyons maintenant que cette droite passe par l'intersection des corésiduelles des deux systèmes que Ton considère, c'est-à-dire par le point (i 2), (34). Nous arrivons de cette manière au théorème déjà démontré (n** 258), que lespoints dHntersection des droit€s{iS), (^8); (38) (48); (12), (34) sont situés sur une même ligne droite ;

el le n*' 262 montre que, par une substitution ordinaire ou bifide, nous pourrons trouver 5o4o droites possédant la même propriété.

^7. Nous terminons en donnant les recherches algébriques d' Aronhold pour trouver Téquation de la quartique, engendrée suivant sa méthode. Prenons des coordonnées tangentielles a, p, y; et soient {/, i^, w des fonctions linéaires quelconques de ces quantités, telles que aa -1-6^4- cy, ... ; les équations

pc — Y'^^o» Y^ — aa = o, au — ^v = o

représentent alors trois coniques ayant quatre tangentes communes et dont chacune est tangente à un côté du triangle de référence, et

représentent trois courbes de la troisième classe ayant sept tangentes communes, qui sont les quatre tangentes communes aux coniques et les côtés du triangle de référence. Toute autre cubique ayant les sept mêmes tangentes communes sera de la forme

u'a{^v — Y^)"*" t'' P( Y ^ ""*")■+- w'yC*" — P*') = Oi

dans laquelle u\ p', (v'sont des constantes arbitraires qui sont supposées être de la forme aa'-|- 6p' -f- cy . . . a', p', y' étant les coordonnées d'une droite arbitraire. En écrivant Téquation ci'dessus sous la forme

u u' Py V v' Y** sv iv' «p

I elle est évidemment satisfaite par les coordonnées a', ^\ ^

! qui sont, en conséquence, celles d'une tangente à la courbe.

Et de plus celte tangente est la corésiduelle pour cette courbe ;