PY + PY

v' r* fa'

çl ^ •^'<^-^-^lx'

«' «' pY'

carnous trouverons les autres tangentes passant par un point (le cette droite en remplaçant dans l'équation ci-dessus a par }jt'-|- [jLa', .... L'équation devient alors divisible par |x*^ et, après la division, il vient

la symétrie de Téquation montre que les couples de tangentes sont les mêmes que ceux qu'on peut mener par l'intersection des droites a'^'^? ^"P'^f aux courbes

Ainsi a'P'y, aP^^'f étant respectivement les troisièmes tan- |;entes menées S chaque courbe par l'intersection des huitième et neuvième tangentes communes aux deux courbes, -ilessont, par définition, les tangentes corésiduelles. Les deux courbes seront tangentes à la condition que l'équation quadratique en X et |x ait des racines égales, ou bien, si nous représentons par P, Q, R les coefficients de cette équation, o.les seront tangentes si Q^ = 4RP.

Si nous représentons par X, Y, Z les déterminants mineurs v^\^ — sfw^y w^if — w'u!^ lisf — ii^s;>\ nous avons

P=: PYX4- fa' Y -h a'p'Z,

Q = (PY-+-PY)XH-(Y'a'4-TV)Y4-(ar + a'p')Z, R=: PYX-H Y*' Y 4- (x'^'Z.

Mais, à la place de ^Y— ?''i^Y'*''-f *''*'?'-«% "«"s S. — Courbes plane*, a a

Pï

ff'

338 cnAPiTiiB VI.

pouvons écrire x^y^ Zj ces quantités étant les coordonnées ponctuelles du point d'intersection des deux droites, a', ^', y, 3c", P', f. L'équation Q^ = 4PR équivaut à

Il faut se rappeler que X est égal à v'w^ — /«/, et, si nous remplaçons ces quantités par leurs valeurs

v/^a'oL'-h b'^' -^c'^\ w' ^a'oL'-hb'^' -h c'y'. v'-z a'a'-h 6'p' 4- c'f, w" = a'oL'-hb'^'-^c'Y* nous avons

Xzzi(6'c'-. 6V),r 4- (cV — cV)/-h(a'6'— a''b')z. De même,

Y^^O'c— bc'')a:-h{c'a — ca'')y -^-{a' b — ab')z, Z — {bc' — b'c)x-h{ca' —.c'a)f-h{ab' — a'b)z.

Ainsi X, Y, Z représentent des droites connues. Ce sont, parle fait, les côtés du triangle dont les sommets sont 1/, p, w. On remarquera que les coefficients dans X, Y, Z senties éléments du déterminant réciproque de celui qui est forme des coefficients de w, v^w; en sorte que, si Ton avait primilivement donné X, Y, Z, on aurait trouvé w, \^y w par des foi^ mules analogues.

268. La même recherche donnerait des résultats également exacfs, si les équations des trois coniques avaient été lau = m^^ = nfiv. Les valeurs de X, Y, Z resteraient les mêmes que ci-dessus, mais nous aurions

et l'équation serait

\Jmnx X 4- sjf^ly V -h \Umz7j ■— o.

QUÀRTIQUES BINODÀLBS ET BICIRGCLAIRES. 339

C'est la forme la plus générale de Téquation d'une quartique ;iyant trois couples de lignes ^r, X, ... comme couples de bitangentes du même groupe. Si Ton nous donnait une sep» lième bilangente, Ij m, n seraient complètement déterminés parles coordonnées de cette bitangente, à savoir

d'où il résulte que mn, nly Im sont respectivement proportionnels à a' a', pV, y'tv'. Si donc on nous demande de décrire une quartique ayant sept droites données comme bitangentes, en outre de la quartique déterminée (n*^ 265) dans rhypothèse que deux tangentes n'appartiennent pas au même ^oupe, nous pouvons en décrire (7 X i5) = io5 autres en suivant la méthode de ce numéro, c'est-à-dire en laissant de côté une des sept droites et en divisant les six droites restantes en trois couples, ce qu'on peut faire de quinze manières différentes.

QUARTIQUES BIN0DALE8 ET BICIRCULAIRES.

289. En dehors de ce qui se rapporte aux bitangentes, la théorie des quartiques non singulières a été peu étudiée et ce qui nous reste à dire sur ce sujet sera donné dans la dernière Section de ce Chapitre, où nous parlerons des invariants et covariants. Pour compléter la théorie des bitangentes, nous devrions considérer les modiGcations qu'éprouve cette théorie quand une courbe a un ou plusieurs points doubles. Cependant le cas où la quartique n'a qu'un nœud n'a pas attiré l'attention et ne sera pas discuté ici. Les quartiques qui ont deux nœuds, et pour lesquelles ces points sont les points circulaires de l'infini, ont été l'objet d'études approfondies (*)

(') Voir, en particulier, le Mémoire du D' Casey : Transactions of Royal IrishAcademy, yo\. XXIV, p. 467; 1869.

34o CHAPITRE YI.

SOUS le nom de quar tiques bicirculaires; nous allons indiquer ici quelques-uns des principaux résultats obtenus. Toutes les propriétés projectives trouvées pour les quartîques bicirculaires peuvent aussi s*énoncer et se démontrer pour les quartiques binodales; mais nous croyons plus convenable de donner quelques-uns de ces résultats sous leur forme originale; le lecteur n'éprouvera aucune difficulté à faire la généralisation qui convient. Les quartiques qui ont les deux poiots circulaires comme points de rebroussement ont aussi été beaucoup étudiées sous le nom de Cartésiennes (•), et leurs [)ropriétés peuvent être généralisées et établies comme propriétés de quartiques bicuspidales. Si une quar tique a Tun des points circulaires pour point de rebroussement et Tautre pour point double ou nodal, elle ne peut être réelle; en conséquence, ce cas a été peu étudié, et nous aurons aussi peu à dire sur les propriétés des quartiques qui possèdent un nœud et un point de rebroussement.

270. De chacun des deux nœuds d'une quartique binodale on peut mener quatre tangentes à la courbe (n^ 79) ; nous allons démontrer que les rapports anharmoniques de ces deux faisceaux sont égaux. L'équation générale d*une quartique siyant pour nœuds les points d'intersection de la droite z avec les droites x et y est

J7'^*-+- 2a:yz{Lc -h my)

-h z\ax^ -h 67* -h C2* -H nfyz -h a gzx h- a hxy) = o.

Les couples de tangentes aux points doubles sont donnes par les équations

x^ -H 'kmxz -h bz^ =0, /' -i- a lyz -t- as* = o, et nous ne perdons rien en généralité en supposant que / et m

( * ) Voir Chasles, Aperçu historique, p. 35o; Quéteuet, Nouveaux Mémoires de Bruxelles, t. V; Catley, Journal de LiouvUlef t. XV, p. 354.

QUARTIQUBS BIIfODALBS BT BICIRCDLAIREft. 34l

soieot tous deux égaux à zéro; ceci revient à admettre qu'on a pris pour droites^ et j? les droites harmoniques conjuguées, par rapport au couple de tangentes, en chaque nœud, de la droite z qui joint ces points. Ordonnons maintenant l'équation de la quartique

y\x^ 4- bz^ rH iyz^(Jz -+- Ax) -4- 3*( ax^ -h 2 gzx H- cz^) = o ;

nous trouvons immédiatement que les quatre tangentes menées par le nœud zx sont données par l'équation

ax^ -+■ iga^z -H (c 4- a6 — /t*) j;*5*

-\-i{hg — hfjz^x 4- {bc —/*)z^ = o.

lies invariants de cette quartique sont

l^zabc — a/*^ bg*-h/gh H- -^(c -h «6 — A*)*, 6 J =r {abc — af^— bg^ -f- ygh){c -h ab —A»)

Ces valeurs sont symétriques en a et 6,/ et ^, et nous voyons parla qu'elles sont les mêmes que celles des invariants de la quartique qui correspond au faisceau de tangentes issues du nœud j^^, et que par conséquent les deux faisceaux sont homographiques.

271. Il en résulte immédiatement, comme dans le n® 168, qu'on peut faire passer une conique par les deux nœuds et les quatre points où chaque tangente menée par un nœud rencontre la tangente correspondante menée par l'autre; et comme il y a, de plus, quatre ordres suivant lesquels on peut prendre les rayons du second faisceau sans altérer le rapport anharmonique, on voit que les seize points d'intersection du premier système de tangentes avec le second se trouvent sur quatre coniques, qui passent chacune par les deux nœuds«<

Quand la quartique est bicirculaire, c^est-à-dire quand les deux nœuds sont les points circulaires de l'infini, ce théorème devient le suivant : Les $eize foyers cCune quartique bicirculaire se trouvent sur quatre cercles, et chaque cercle en contient quatre (*). Il faut remarquer que Tune quelconque des coniques passant par les deux nœuds peut se décomposer en une droite et en la droite qui joint les nœuds, en sorte que quatre des foyers d'une quarfique bicirculaire peuvent se trouver sur une ligne droite.

272. Nous avons déjà établi que Téquation d'une quartique quelconque peut, d'une inGnité de manières, se mettre sous la forme

aU» -+- ÔV» -h cW* -h a/VW -h a^WU -h 2 AU V = o,

U, V, W étant trois coniques. Si la quartique est non singulière, les trois coniques ne peuvent avoir de point commun, puisqu'il est évident que tout point commun à U, V, W doit être un point double de la quartique dont nous avons écrit l'équation. Dans le cas de quartiques binodales^ U, V, W peuvent être considérées comme trois coniques passant chacune par les deux nœuds, et, quand ces nœuds sont les points circulaires de l'infini U, V, W sont trois cercles. Nous ne perdons rien en généralité en nous contentant d'étudier l'équation UW = V^ à laquelle on peut, comme dans la théorie des coniques, ramener l'équation précédente d'une infinité de manières. On peut, par exemple, l'écrire

(') £n réalité, ce théorème, qui est dû au D' Harb, a été obtenu le premier, et Ton en a déduit le- théorème du n** . 270. La- démonstration donnée ici est en substance la même que celle de M. Cayley. Voir son Mémoire sur lés Courbes polyzonales {Edimbourg Trofisetctions, 1869).

QCÀRTIQUBS BINODàLBS ET BIGIIGULÀIRKS. 343

OÙ le second membre de l'équation se décompose en facteurs. On peut, par conséquent, discuter les quartlquésbicirculaires et binodales en considérant la forme UW = V^ et en regardant la quartique comme Tenveloppe deX^ U + aX V -H W = o, dans laquelle U, V, W sont, dans le premier cas, des cercles, cl, dans le second, des coniques passant par les nœuds; et il est nécessaire d'examiner seulement comment cette limitation modifie les résullat$ déjà obtenus (nP* 251 et suivants).

273. Quand trois coniques ont deux points communs, leur Jacobienne se décompose en une droite joignant ces points et en une conique qui passe par ces mêmes points ; et quand les trois coniques sont des cercles, la conique Jacobienne est le cercle qui les coupe à angle droit {Sections coniques, n'' 383, Ex, 3). La Jacobienne étant un déterminant, la Jacobienne de a V -h P V -h yW = o est la même que celle de U, V, W, et, quand U, V, W sont des cercles, tous les cercles compris dans cette équation ont un cercle orthogonal commun.

Si U, Vj W sont des cercles, ayant pour coordonnées de leurs centres Xi j'i z^, x^ y^ ^a? ^s y^ ^»» les coordonnées du centre de X^Uh- aXV -|- W seront porportionnelles à

et le lieu du centre, quand X varie, sera évidemment une conique. Donc la quartique UW = V^ peut être regardée comme l'enveloppe d'un cercle dont le centre se meut sur une conique fixe F (*) et qui coupe orthogonalement un cercle J. Dans le cas plus général d'une quartique binodalc, U, V, W étant des coniques passant par les points fixes, UW=V* est Tenveloppedela conique variable X^U-l-aXV-i-W qui passe par les points fixes; toutes les coniques variables

(') M. Casey a démontré que les foyers de cette conique sont les mêmes que les foyers doubles de la quartique.

344 CaAPITRB VI.

ont une conique Jacobienne commune, et le pôle, par rapport à Fune quelconque d^entre elles, de la droite qui joint les points fixes se meut sur une conique fixe F.

274. La nature de la quartique se modifiera sUI existe des relations particulières entre la conique F et la Jacobienne. Ainsi, si F est tangente à la Jacobienne, le point de contact constituera un nœud de plus sur la quartique, et, si F est deux fois tangente à la Jacobienne, chaque point de contact sera un nœud, c*est-à-dire que la quartique se décomposera en deux coniques, passant chacune par les points fixes. De même, si F passe par un des points fixes^ ce point, au lieu d^étre un nœud sur la quartique, sera un point de rebroussement et, si F passe par les deux points, tous deux seront des points de rebroussement et nous aurons une quartique bicuspidale. Ainsi, dans le cas de quartiques bicirculaires, si la conique F, qui est le lieu des centres, est un cercle, la quartique, ayant pour points de rebroussements les points circulaires à l'infini, sera une Cartésienne.

Si la conique F est tangente à la droite qui joint les points, celte droite devient partie intégrante de la quartique. Ainsi, dans le cas des quartiques bicirculaires, si la conique F est une parabole, la quartique dégénère en une cubique circulaire, jointe à la droite de Tinfini.

Si les centres de U, V, W sont situés sur une droite, la Jacobienne se réduit à la droite qui joint les centres.

275. Revenons maintenant à Téquation UW-œ V*. Nous avons vu qu'il y a en général six valeurs de X pour les quellesX^U -h 2XV-f- W se décompose en facteurs et que les droites représentées par les différents facteurs sont des bitangentes de la quartique UW = V^. Mais, quand U, V, W passent toutes par deux points fixes, X^U -h aXV -h W, qui représente une courbe passant par les mêmes points, doit, si

Q17ARTIQUES BINODALBS ET BICIRCULAIRES. 345

elle représente des droite^, se composer de deux droites dont une passe par chaque point, ou bien de la droite joignant les points et d^une autre droite. Dans le premier cas, les deux droites ne sont pas des bitangentes proprement dites de la quartique UW = V*, mais des tangentes ordinaires passant par un nœud (toute droite passant par un nœud étant une tangente); dans le dernier cas, une des deux droites est une bitangente proprement dite ; Tautre est la droite qui joint les points. Parmi les six valeurs de X, il n'y en a que deux qui correspondent au cas des bitangentes proprement dites. Car si L est la corde commune à U, V, W, V et W seront respectivement alors de la forme aU H- LM, 6U + LN; et X^U-l-aXV H- W aura L pour facteur, si X est une des racines de Téquation X* -j- aXa -f- 6 = o. Ainsi, dans le cas de quartiques bicirculaires, quand U, V, W représentent des cercles, îl 7 ^ évidemment deux valeurs de \ pour lesquelles le coefficient de x^ H-^» s'annule dansX^U -+- aXV4- W = o et, pour chacune de ces valeurs, l'équation représente une droite bitangente à la quartique UW = V*. Nous pouvons déduire géométriquement ce même résultat de la construction du n*» 273. Si le cercle X»U + 2>.V -4- W devient une ligne droite, son centre passe à Pinfini et doit par conséquent être le point à l'infini sur une des deux asymptotes de la conique F; les deux bitangentes sont les deux perpendiculaires abaissées du centre de la Jacobienne sur ces asymptotes.

Dans chacun des quatre autres cas où le discriminant de X*Uh- 2XV + W= o est nul, l'équation représente un couple de tangentes à la quartique, qui passent chacune par un des points circulaires à Tinfini et dont l'intersection est par conséquent un foyer de la quartique; ou bien, ce qui revient au même, X=*U -j- aXV -|- W est un cercle infiniment petit dont le centre est le foyer et qui a un double contact avec la quartique. Si l'un des deux cercles orthogonaux se

346 CBAPITRE VI.

réduit à un point, ce point doit être situé sur Tautre cercle; si donc X*U + 2XV + W se réduit à un point, celui-ci doit être sur le cercle Jacobien de U, V, W. Nous avons par conséquent quatre foyers : ce sont les intersections de ce cercle Jacobien avec la conique F qui est elle-même le lieu des centres des cercles contenus dans l'équation

X«UH-2XV-hW = o,

et qui peut par conséquent s'appeler une conique focale.

Les quatre points où le cercle Jacobien rencontre la quartique seront les points où les cercles du système X^U -|- aXV -+- W coupent la quartique en quatre points consécutifs (n^SSl).

Il y a quatre manières de ramener l'équation d'une quartique bicirculaire donnée à la forme UW = V^. A chacune d'elles correspondent quatre foyers, deux bi tangentes ei quatre points cycliques ou points de la courbe où quatre point^ consécutifs sont situés sur un cercle (voir n** 114); la quartique a en tout seize foyers, huit bitangentes et seize points cycliques.

276. Si l'on prend pour origine un des foyers de la quartique, l'équation de cette courbe peut se mettre sous la forme (a:^ -hjK*) W = V^, dans laquelle V et W représentent des cercles, et la quartique est l'enveloppe de

ar»H- V* H- aX V H- X»W m o.

En outre de la valeur X = o, il y a trois autres valeurs de X pour lesquelles ce cercle variable se réduit à un point; et une de ces valeurs doit être réelle. Nous pourrons alors écrire l'équation sous la forme

ou bien, en d'autres termes, quand nous avons un foyer, nous pouvons de suite mettre l'équation de la quartique sous

QUARTIQUBS BINODALBS ET BICIRCULAIRBS. 347

la forme AB == V, A et B étant des points-cercles. Les quartiques blcirculaires peuvent se diviser en deux classes, suivant que les deux autres valeurs de X pour lesquelles A-+-2).V-+-X^W* se réduit à un point-cercle sont réelles ou imaginaires, ou, en d*autres termes, suivant que les quatre foyers réels sont ou ne sont pas sur un même cercle. Dans le premier cas, soit C un des deux points-cercles, et, comme dans le n** 257, éliminons V entre les équations AB = V* el A -f- 2)xV -i- X*B = C ; nous voyons que Téquation de la quartique peut être écrite sous la forme

c'est-à-dire que cette courbe est le lieu d'un point tel que ses distances à trois points fixes sont liées par la relation

La condition pour que I^Al-\- m ^ -+• n sjiZ soit tangente

à XA+[jlB-+-vC est {Sect. coniques, vP 130) y ^ 1 = o,

et, si A, B, C sont des points-cercles et a, 6, c les longueurs des droites qui joignent ces points, il est facile de vérifier que

lediscriminantdeXA-i- uB-f- vC s'annulera si -.-H h - = o.'

A |Ji V

IjCS deux équations qu'on vient de donner déterminent A, |a, v et par conséquent le quatrième foyer.

Nous avons vu (Sect, coniques , n® 94) que, si A, B, G, D sont quatre points-cercles, nous avons identiquement

bcd.A -h cda,B -h dab,C -h abcD =zo,

abc étant l'aire du triangle dont les sommets sont a, 6, c. Donc X, |JL, V sont proportionnels aux aires des triangles formés par le quatrième foyer et chaque couple de deux des trois «utres foyers. Dans le cas où les trois points a, 6, c sont en ligne droite, on peut facilement démontrer que les carrés des

348 CDAPITRB TI.

distances d'un point quelconque à quatre points en ligne droite sont liés par Téquation

aô.ac.ad ba.bcdb ca,cb,cd da,db,dc~~

Nous voyons ainsi que les inverses de \ [x, v sont proportionnels à a6.ac.ac/, ba.bc.bd^ ca.cb.cd, et que nous avons Téquation

P.ab.ac.ad-hm^y ba.bc.bd~h ri*ca.cb,cd = o.

Si nous avions

P.ab.ac -h m}, ba, bc -{- n*.ca,cb^= Of

le quatrième foyer serait à Tinfîni et la courbe serait une Cartésienne.

277. Étant donnés quatre foyers concycUquesd^ une quartique bicirculaire, on peut mener deux de ces quar tiques par un point quelconque, et ces courbes se coupent à angle droit. Si Ton nous donne le quatrième foyer, nous connaîtrons ainsi les valeurs deX, }a,v pour lesquelles X A 4- jxB-i-vC, se réduit à un point ; et nous pouvons évidemment trouver deux systèmes de valeurs de /, m, n qui satisfassent aux équations

— I 1 =0, lu -4-7np'-H/îp' = o,