JA [X V

dans lesquelles p, p', p", ou y'A, ^B, yJÎZ représentent les distances de trois foyers au point supposé donné sur la courbe.

Deux quartiques

/VT-+-mv/B-h/iV^=o, /'v/A4-m'v/B -H/i'v^=o

seront homofocales si

QUARTIQUES BIKODALBS £T BICIRCULÀIRES. 349

cooime on le voit immédiatement en éliminant X, p., v entre les trois équations

XjJiv A{JivA{Jiv

Afin de trouver ensuite la condition pour que les quartiques se coupent à angle droite nous devons admettre, et le lecteur le vérifiera sans difficulté, que si A, B, C sont des poiDts-cercles et si a, 6, c ont la même signification que cidessus, la condition pourque)iA4-(AB-+-vC, X'A + [A'B-i-v'C se coupent à angle droit est

•' a«(jjLv'-MA'v)-f-^>»(vX'-hv'X)-+-c»(Xji'-+-X»=:o.

Nous observerons de plus, comme dans les Sections coniques, jo? 130, qu'en tout point pour lequel les valeurs de V^A, y/B, y/C sont respectivement p, p', p", la quartique /y^ -f- m y/B 4- /* y/G sera tangente au cercle

-Ah-— , B-h-^Cmo.

La condition pour que ce cercle coupe orthogonalement le cercle tangent à /'y/Â -f- m'y/B -+- /l'y/C est

.mn'-hm/n .^ ni' -\- ri' I ^Ini'-hf'm

p p p p pp

mais, en résolvant les deux équations

/p-f- mp' -h np'=o, /' p -+- m' p' -h /î'p' = o,

nous trouvons que p, p', p" sont respectivement proportionnels à mn! — m' riy nC — n'I^ Ini — ?m. Portons ces valeurs dans Téquation précédente et nous verrons que la condition pour que les cercles se coupent orthogonalement est

û»(/n«/i'«— /n'«/i«)4-^>*(/i«/'*— /i'«/*)-hc«(/*/w'*-/'«m') = o.

C*est la condition qu'on a déjà obtenue pour que les coniques

35o CHAPITRE VI.

soient homofocales; le théorème énoncé est donc démontré. Il ne parait pas nécessaire, pour Texactitude de la démonstratibn, que G soit réel; il est donc prouvé que les quartiques homofocales se coupent à angle droit, même quand les quatre fojers réels ne sont pas situés sur un même cercle.

278. Le théorème du n^ 277 a été originairement obtenu par le D*^ Hart à Faide de considérations géométriques pour le cas de la cubique circulaire. Si nous cherchons le lieu d'un point dont les distances à trois points fixes donnés soient liées par la relation /p -h /np'+ nf= o, nous trouverons que le coefficient de {x^ + J'^)* est égal à *

{l-^m-hn){m-\' n-- l)(n-h l-^m)(l-hm — n).

En conséquence, le lieu qui est une quartique bicirculairc en général se réduit à une cubique circulaire sil±m±n = o, et les théorèmes déjà démontrés ici pour les quartiques bicirculaires sont vrais pour les cubiques circulaires ; ces courbes ont aussi seize foyers, qui en général sont situés sur quatre cercles. La démonstration du D' Hart, qui a été donnée tout au long dans l'édition précédente, montre que, si O, P, Qsont les centres du quadrangle formé par les quatre foyers A, B, G, D, la cubique doit passer par ces points; la tangente en l'un d'eux est l'une des bissectrices de l'angle formé par les droites d'intersection AG, BD, et cette droite est aussi parallèle à l'asymptote réelle de la cubique ; elle établit aussi que la cubique passe par R^ centre du cercle focal, la tangente en ce point étant aussi parallèle à la même asymptote ( * ). Comme O, P, Q, R sont alors les points de contact de tangentes issues d'un même point de la courbe, le point où OP rencontre QR (ou le pied de la perpendiculaire abaissée de O

(') Ainsi les centres des quatre cercles focaux d'uae cubique circulaire sont les points de contact des tangentes parallèles à Tasymptote.'

QVARTIQUB8 BIIfODALBS BT BICIRCCLAIRBS. 35l

sur QR) est aussi un point de la courbe (n^ 150). Il en est de même pour les points où OQ rencontre PR et où OR rencontre PQ. On peut démontrer aussi que les tangentes en ces

Fig. 47-

points aux deux cubiques qui y passent se coupent à angle droit. Ainsi les sept points communs aux deux cubiques qui ont A, B, C, Dpour foyers sont déterminés par des construclionssimples, etnous pouvons arrîverparprojection à des théorèmes dont quelques-uns ont déjà été énoncés; par exemple (n° 1S3), si des tangentes correspondantes prises en ordre quelconque et issues de deux points I, J se coupent mutuellement aux points A, B, C, Dy les centres du quadrangle formé par ces points seront aussi des points de la cubique ; et ils ont pour point tangentiel commun le point où IJ rencontre de nouveau la courbe; le point de contact de la quatrième tan-

35a CHAPITRE YI.

gente menée par ce point sera le pôle de IJ par rapport à la conique passant par les points A, B, G, D, I, J.

279. La méthode par laquelle le D*^ Hart a démontré ces théorèmes consistait à montrer que, les foyers étant donnés, les relations établies dans le d? 276, combinées avec la condition / -4- /i = m suffisent pour déterminer /, m, n et qu^en représentant par a, 6, c, d les distances de O aux quatre foyers la courbe doit jouir de la propriété exprimée par la

relation

(6-+-c)p±(a^6)p'=±(a-4-c)p' ou

Chaque coefficient est affecté d'un double signe, parce que Téquation Ip -h mp' -^ np" = Oj débarrassée de radicaux, ne contient que les carrés de /, m, n. Les deux équations correspondent à deux cubiques différentes ayant pour foyers les points donnés ; les signes différents se rapportent aux branches différentes de la même cubique. Le signe supérieur s'applique à une branche qui s'étend à l'infmi ; en effet, Téquation est alors satisfaite par les valeurs p = p' = p'', qui sont vraies pour un point infiniment éloigné. Le centre du cercle focal est évidemment situé sur cette branche. Les signes inférieurs correspondent à un ovale, car les équations ne sont plus satisfaites alors par p = p' = p". Comme ces équations sont vérifiées par les valeurs a, 6, c, attribuées à p, p', p^', nous voyons que O est un point de la cubique.

Nous avons de même les relations

(c-^)p±(a4-ûf)p'=:±(a4-c)p' ou

(c-hd)p±{a^d)p'=i±{a-i'C)p',

et, en combinant les équations, il vient

P -h?" ?'■+- p'^ a -hc b -r- d

QLARTIQUES BINOOALES ET BICIRGULAIRES. 353

Autrement dit, les deux cubiques constituent le lieu de l intersection de deux coniques semblables dont les foyers sont respectivement A et C, Bet D. Les coniques semblables, qui se coupent en O, ont évidemment pour tangente (ommone une des bissectrices des angles en O; cellf^s-ci sint donc, comme on Ta énoncé, les tangentes aux deux cubiques qui constituent le lieu et qui par conséquent se coupent à angle droit.

280. Les quartiques bicuspidales peuvent être considérées comoie un cas limite de quartiques binodales. Dans le cas où les deux rebroussements sont les points circulaires I, J, à i*infini, la courbe s'appelle une Cartésienne. Descartes a étudié cette courbe (connue diaprés cela sous le nom d*ovale de Descartes) en la considérant comme lieu d'un point O, dont les distances à deux points fixes A, B sont liées par la relation /: ± /wp' = c. M. Chasies a démontré, et on peut le vérifier sans difficulté, que, tant que cette relation subsiste, on peut trouver sur la ligne AB un troisième point C dont la distance à 0 satisfait à une relation de la forme /p d= np''^ = c' ; en d'autres termes, outre les foyers considérés par Des- ( arles, l'ovale possède encore un troisième foyer jouissant de la même propriété. Nous employons ici le mot de Cartésienne dans un sens un peu plus étendu. Nous montrerons que, lorsqu'une quartique a deux points de rebroussement en I et J, elle a trois foyers situés sur une ligne droite. Quand ces foyers sont réels, la courbe est la même que celle qu'a étudiée Descartes; quand deux d'entre eux sont imaginaires, nous appellerons encore la courbe une Cartésienne, quoique le mode de génération de Descartes ne lui soit plus applicable.

L'équation de la Cartésienne peut d'une manière générale

se mettre sous la forme S^ = A:'L, dans laquelle S représente

un cercle, L une droite et k une constante ( ou, ce qui revient

au même, Ar = o est la droite de l'infini). Sous cette forme,

S. — Courbet planes. 23

354 CIIAIMTIIE VI.

îl est évident que les intersections de S et /: sopt des rebroussements, les tangentes cuspidales se rencontrant an centre de S, qui est par conséquent le foyer triple de la Cartésienne, tandis que L est évidemment une bitangente de la courbe ( * ) Il est clair alors que cette courbe est l'enveloppe du cercle variable X^^L -+- aXS -f-Xr^ = o, dont le centre se meut le longd*une droite perpendiculaire à L; en égalant le discriminant à zéro, on trouve facilement qu'il y a trois valeurs de\ pour lesquelles le cercle se réduit à un point, et par conséi[uentil existe trois foyers. D'après la théorie déjà donnée, si A, B, G sont trois des cercles variables, l'équation de Tenveloppe peut être écrite sous la forme /y/Â-f-my/B -+- /iy/C = o, et conséquemment nous avons ici la propriété exprimée par la relation /p + m p' 4- np'' = o, dans laquelle p, p', p" représentent les distances d'un point de la courbe aux trois foyers: ou bien encore, puisque k^ est un cercle du système correspondant à la valeur X = o, nous avons /p 4- /np'= nk.

Une Cartésienne peut aussi être engendrée comme Ucu du sommet d'un triangle, dont les angles de base se meuvent sur deux cercles fixes, tandis que les deux côtés passent par les centres des cercles, et la base par un point fixe sur la droite qui les joint.

Si une corde quelconque rencontre une Cartésienne en quatre points, la somme de leurs distances à un foyer est constante. Car, en prenant le foyer pour pôle, l'équation polaire est, comme on le voit facilement, de la forme

ç>' — 2 (a -H 6 cos oi ) p H- c'^ irz o ;

et, si nous éliminons (o entre cette équation et celle d'une droite arbitraire, nous obtenons pour p une équation du quatrième degré dont le second terme a pour coefficient — 4^-

(') Cette équation a été étudiée par M. Cayley sous la forme

QUARTIQL'eS BINODALKS ET BICIRC t LAIR ES. 355

Quand c est égal à zéro dans l'équation qui précède, celleci devient p = a -H 6cos(t>, et en outre des deux rebroussements I, J, Téquation a Torigine pour point double. Cette courbe est appelée le limaçon de Pascal; elle peut évidemment être engendrée en portant une longueur constante sur les rayons vecteurs issus d'un point d'un cercle, et à partir dos points où ils rencontrent ce cercle. Si de plus a= b, la courbe devient tricuspidale et est appelée cardioïde. Elle est engendrée comme la précédente, mais en ajoutant ou retranchant au!( rayons vecteurs une longueur égale au diamètre. L'équa-

lion peut s'écrire sous la forme p^ = m^cos^ co.

!28i. Les propriétés focales que nous avons discutées peuvent être étudiées par la méthode d'inversion (n^ 122). Il est facile de voir qu'à un foyer d'une courbe correspond un foyer de la courbe inverse et que l'origine ou centre d'inversion sera un foyer si les points I, J à l'infini sont des rebroussements. Ainsi, pour la Cartésienne qui a trois loyers coUinéaires, la couche inverse par rapport à un point quelconque est une quarlique bicirculaire ayant trois foyers sur un cercle passant par l'origine qui est aussi un foyer. En faisant l'inversion, sIO esl l'origine, A , B deuK points et a, b les points inverses, nous devons remplacer une distance AB par rr — tt— . Donc aune relation quelconque de la forme XAP -h jjl BP = C correspondra une relation de la formeX'a/? -i- [x' . 6/> = c' . O/; ; et si nous considérons une quartique bicirculaire comme l'inverse d'une Cartésienne, nous arrivons de cette manière à la propriété fondamentale des quartiques bicirculaires. D'une relation de la forme X. AP-h jjlBP -i- vCP= o on peut de même déduira une relation X' . ap -+- [x' . 6/> -|- v' . c/>. L'inverse d'une quartique bicirculaire, quand le centre d'inversion est situé surlacourbe, est une cubique circulaire qui possède par conséquent les mêmes propriétés focales. Une cubique circulaire, ou une quartique

356 CHAPITRE YI.

bicîrculaire, est sa propre inverse par rapport à un des points O, P, Q, R (n? 278). L'angle suivant lequel deux courbes se coupent n'est pas altéré par Tinversion, et par conséquent le théorème qui nous apprend que les courbes homofocales se coupent à angle droit est démontré pour les quartiques quand il Test pour les cubiques. L'inverse d'une conique est une quai^ tique bicîrculaire ayant l'origine pour point double additionnel ; et de la propriété focale des coniques on peut déduire que les quartiques de ce genre jouissent de la propriété exprimée par la relation

ap hp

ici a et 6 sont deux foyers et O le point double. De la même manière, en appliquant l'inversion à la propriété du foyer el de la directrice dans les coniques, nous arrivons à une autre méthode donnée par le D' Hart pour engendrer ce genre de quartique. Si le rayon vecteur mené d'un point fixe C à P rencontre en E un cercle fixe passant par C, et si A est un autre point fixe, la quartique est le lieu d'un point P jpour lequel PA = PE.

282. Il existe pour la quartique binodale ( * ) une théorie de l'inscription des polygones, analogue à la théorie que Poncclet a donnée pour les coniques. Soient A, B les nœuds; partons d'un point P de la courbe et joignons-le à A, la droite Al* rencontrera la courbe en un autre point, Q par exemple; joignons Qà B, la droite BQ coupera à nouveau la courbe en un autre point R ; joignons ce point à A, la droite AR rencontre la courbe en S, et ainsi de suite. Nous avons ainsi en généml un polygone ouvert PQRS . . . dont les côtés alternatifs PQ, RS,. . . passent par A, tandis que les autres côtés altematii's

C) Steimib, Geometrische Lehrsàize (Journal de Crelle, t. 32 p. i84; i^^)-

QLARTIQUES UNICURSÀLBS. 357

passent par B. Pour une quartîque binodale prise au hasard, il n'est pas possible de trouver un point P tel qu'il existe un polygone fermé d'un nombre pair donné de côtés; par exemple, un quadrilatère PQRSP, dont les côtés PQ, RS passent par A et les côtés QR, SP par B. Mais la quartique peut (Hre telle qu'il existe un polygone de l'espèce que nous considérons (pour ce qui regarde le quadrilatère, c'est évidemment le cas, puisque, en considérant un quadrilatère construit à volonté, PQRSP, et en prenant A à l'intersection de PQ, RS et B à celle de QR, SP, nous pouvons décrire une quartique passant par les points P, Q, R, S et ayant les points A et B pour points doubles) et quand il en est ainsi, c'est-à-dire quand il existe un de ces polygones, il y en a une infinité ; on peut prendre pour premier sommet un point arbitraire P situé d'une manière quelconque sur la courbe, et le polygone construit comme on l'a dit ci-dessus se fermera de luimême.

QUARTIQUES UNICURSALES.

283. Si nous prenons les points doubles pour sommets du tnangle de référence, l'équation de la courbe doit se présenter sous la forme

ay-z^ -+■ />w*x' -+- Côc^y^ ~h 2 fx-yz -h 2^'"/' zr -j- 2 /t z*-XY =■ o,

que nous pouvons écrire

«ay.Kj.)*-<0'-/i

Iff I-2A =:: O.

^ zr XY

Nous voyons ainsi que la cpiar tique peut être engendrée au moyen d'une conique, dans l'équation de laquelle nous remplacerons chaque coordonnée par son inverse ; on peut donner à cette opération le nom à* inversion, en entendant ce mot dans un sens plus large que celui où nous l'avons employé

jusqu'ici. Il est facile de représenter cette transformation par une construction géométrique. Supposons que les coordonnées d'un point soient proportionnelles aux perpendiculaires abaissées de ce point sur les côtés du triangle de référence, et soient P, P deux points dont les coordonnées sont liées par les relations réciproques

nous avons vu {Sections coniques, n® 55) que les droites r|ui unissent P, P aux sommets du triangle font des angles égaux avec les côtés; ou, en d'autres termes [Sections ceniques y n® 384) que, si P est un foyer d'une conique tangente à a:, ^, z, F sera l'autre foyer. En général, dans cette méthode, à une position quelconque de P correspond une position unique, bien définie de P'. Si cependant nous avons a/ = o, c'esl-à-dire si P' est situé quelque part sur la droite BC,/ et z sont tous deux égaux à zéro, P coïncide avec A et récipro- (|uementÂa pour correspondant un point quelconque de BC. 11 faut toutefois remarquer que, lorsque x'=o, les valeurs de^ et ^ qui sont respectivement égales à z^a/^yx' ont un rapport défini z' :y', bien qu'elles s'annulent, et que par conséquent à un point quelconque P' de BC correspond un élément passant par A et dont la direction est bien définie. Par le fait, P se trouve bien infiniment près de A, mais ilesl situé sur une direction donnée, qui est telle que (comme dans le cas général) AP, AF font des angles égaux avec le^ côtés. Si maintenant P décrit un lieu quelconque, l'autre point V décrira un lieu correspondant; ainsi, si le lieu décrit par P est la ligne droite ax -4- 6y + c^ = o, celui que décrit P sera laconique aj^'^'-f-fcy^-f-cx'y'sso et réciproquement (voir Sections coniques^ n° 297). Si a = o, c'est-à-dire si la droite passe par A, la conique se réduit à x'(bx'-\- cy)^ o et, en laissant de côté la droite x'= o ou BC, nous pouvons dire qu'à la droite bj^ -+- cz correspond la droite bz'-\-C}'l

Ql-ARTIQtES UKICURSALES. SSg

et, comme on Ta déjà dit, si Tun des lieux est une conique, I autre sera une quartique trinodale.

284. Éludions en détail la correspondance de la conique et de la quartique; la conique rencontre chaque côté du triangle, BC par exemple, en deux points; nous avons comme correspondants en A deux éléments de direction, qui sont les tangentes de la quartique en son nœud ou point double en A.. Par conséquent, suivant que la conique rencontrera BC en deux points imaginaires, lui sera tangente ou la coupera en deux points réels, la quartique aura en A un point acno- (ial, cuspidal ou crunodal; il en sera de même pour les autres côtés. Ainsi, si la conique est une ellipse ou, par exemple, un cercle situé tout entier à Tintérieur du triangle, la quartique

Fig. 48,

Fig. 49.

Fig. So.

Fig. 5i.

sera une courbe triacnodale composée d*une figure à trois côtés située dans Tintérieur du triangle et des trois sommets comme points conjugués (y?^. 48). Si Tellipse est inscrite dans le

triangle, la quartique sera tricuspidale {fig^ 49)« Si l'eilipse coupe chaque côté en deux points réels, la quartique sera tricrunodale^ si sur chaque côté les intersections sont internes, nous aurons \à fig. 5o, tandis que, pour les intersections externes, nous obtiendrons \9ifig. 5i.

Remarquons que, dans le passage d'une forme à une autre, l'ellipse doit passer successivement parles sommets du triangle et que, quand l*ellipse passe par un sommet, la quartique correspondante se décompose en une droite et une cubique. La transition ne peut se faire par une quartique ayant un point triple (à première vue, il semblerait pourtant qu'il en est ainsi).

La discussion complète des différentes formes serait intéressante et peu difficile; mais elle prendrait beaucoup de place; il serait nécessaire (dans le cas présent, où il s'agit d«: courbes planes) de considérer les coniques qui, dans chaque figure, correspondent à la droite de l'infini de l'autre figure. Pour la théorie analogue, dans le cas de figures sphériques, il n'y a pas de coniques de ce genre et la théorie se simplifie considérablement.

285. Le mode de génération des quartiques trinodales que nous venons d'indiquer conduit immédiatement à diverses propriétés de la courbe. On sait que, si une conique coupe les côtés BC, CA, ÂB d'un triangle et que de chaque sommet on mène des droites qui réunissent ces sommets aux points d'intersection situés sur les côtés opposés, ces six droites sont tangentes à une conique ; et il est facile de montrer de plus que si, au lieu des deux droites issues de chaque sommet, nou> considérons les deux droites inverses, celles-ci rencontreront les côtés opposés en six points situés sur une conique et que, conséquemment, les six droites inverses sont aussi tangentes à une conique. En effet, si les droites (j:=:aj^,jj = a'/), {jr = f^x^ y = ^z)^ (-S =-7^, z = '^ x) rencontrent les côtés

Ql'ARTIQl'BS IXirURSALB^. 36l

j: = o, y=o, 2 = 0 en six points situés sur une conique, il est facile de voir que aL7!^^'^=z i est une relation (jui ne change pas quand on remplace a, p, y, a', P', •/ par leurs inverses. Mais, si une conique est transformée en une quartique trinodale, il résulte de ce qui précède que les tanfientes en un point double de la quartîque sont les inverses (le droites menées de A aux points d'intersection de BC et de la conique. Les tangentes aux nœuds A, B, G sont donc tangentes à une seule et même conique. On aurait pu aussi déduire directement ce théorème de Téquation de laquartique.

286. D'une manière analogue, si des points A, B, C nous menons des tangentes à une conique, il est facile de démontrer que les six droites inverses sont aussi tangentes à une même conique. Mais, en transformant la conique en une quartique trinodale, les tangentes menées de A à la conique deviennent (les tangentes menées du nœud A à la quartique (pour une courbe de classe /i, le nombre des tangentes menées par um nœud est n — 4 ^^ P^^ suite, pour une quartique trinodale, il est 6 — 4 = ^) ^^ nous avons ainsi le théorème suivant : Les six tangentes menées des trois nœuds à la quartique sont tangentes à une seule et même conique,

287. Aux bitangentes de la quartique correspondent des coniques passant par A, B, C qui ont un double contact avec laconique ; et aux tangentes stationnaires de la quartique correspondent des coniques passant par A, B, C et ayant un contact stationnaire avec la conique. On peut démontrer que les nombres de ces coniques sont respectivement 4 et 6, ce qui correspond à t = 46^^=6* Mais pour les bitangentes le résultat peut se déduire immédiatement de Péquation de la courbe, qu'on peut écrire sous la forme

{^yz\la -\- zxsfh-^ xy\^Y

— ixyz [[^/bc — /)^ -h(v/câ — g)y^\sj'^ — h)z].

36a CHAPITRE VI.

Dans celle équalion le fadeur qui multiplie ^xyz représente évidemment une bitangente, et, si nous changeons les signes des radicaux, nous aurons en tout quatre Litangenles. Posons pour un moment Jx 4- ffy -+- As = 5, x ^bc = /, y\fca = m, Zyjab = /i ; si 0 représente Téquation des quatre hitangentes, il vient

e --: (f — /— m — w ) (5— /-hm-h/i) (5 -h /— m -h n) (5 4- /-hm— /i) r- (5' — /* — m* — /i*)* — - ^('w^/i'-t- w» ^ -h /*m* -H 2 //n«5)

-^: (5» - /î ;„« ;i« )« 4a6cU.

En d'autres termes, Téquation de la courbe peut sVcrire [ (/-^ -^ gy -^ h^Y— bcjc* — cay* — abz^y — e = o,

ce qui montre que les huit points de contact des bitangcnlcs

sont situés sur une conique.

SI nous représentons les quatre bitangentes par ty u, t', (p,

nous pourrons mettre Téquation de la quartique sous la

forme

i 1 .1 I /* -f- II* 4- (^' -+- iv' z=z o,

(/* 4- M* -h (^* -h ^v* — 2 iM — 2 Cv

— 2tW — 2ÇiV — 2 WU — 2UVy =164 tUVW.

Sous cette forme, il est évident que t, m, p, w sont des bitangentes dont les points de contact sont situés sur une même conique et l'on peut vérifier sans grande difficulté que

{t — w, V — (v), {t — r, u — w)y {t — iv, H — v) sont des points doubles.

288. Nous venons de montrer comment on peut d'une cc^ laine manière ramener l'équation de la quartique à la forme UW =: V^. En général, si w, tv et ç représentent res- ])ectivement deux tangentes quelconques de la conique et leur corde de contact, comme l'équation de la conique peut

QUABTIQUES UNICUBSALES. 363

s'écrire sous la forme uw = v^f celle de la qaarlique est immédiatement donnée sous la forme UW = V^, dans laquelle U, V, W sont des fonctions linéaires àevz, zx, xv.

En reliant ainsi, comme ci-dessus, la quartique trinodale avec une conique, nous avons aussi vérifié que la courbe est unicursale. Comme les coordonnées a/, ^, z' d'un point de la conique peuvent s'exprimer par des fonctions quadratiques d'un paramètre 0, les coordonnées yz'y z'x', x'y du point correspondant de la quartique sont immédiatement données comme fonctions biquadratiques du même paramètre.

La théorie des quarliques trinodales qui précède s'étend

bU cas où quelques-uns des points singuliers ou tous ces

points sont des rebroussements. S'ils sont tous des points de

rebrousscment, l'équation de la courbe peut être ramenée à

lit la forme ar'-Hj^'H- -5*= o; les tangentes aux points de

lebroussèment sonla:=^ = ^, et elles se coupent en un

même point. Nous pourrions le voir par voie de réciprocité,

car la réciproque est une cubique dont l'équation peut être

écrite sous la forme x^ -{-y^ -\- z^= o. Quand la courbe a deux points de rebrousscment et un nœud, la droite qui joint les deux points d'inflexion, celle qui joint les deux points de rebrousscment et la bitangente passent toutes par le même point. Les cas de singularité plus élevée, dont nous avons parlé n^ 243, demandent à être traités séparément.