La valeur de la Hessienne, dans ce cas, est

aghaa* -+- bh/y^ -+■ c/gz^-hiabg -h ahf— 3^A*) j:*j*

-h {ach -^a/g'-3g*h)x^z*'{' \abf -4- bgh — 3/h^)y^ x^ -^-ibch^ bfg — 3/«A)7*^« ^ {caf-\-chg'^Zfg^)z^x^ H- ( ftc^ 4- cfh — ZPg) z^y* -^{abc — Zap—^bg^ — 3c/i* -h i%Jgh)x^y^z^.

On a aussi énoncé (n" 92) qu'une quartique a également un contravariant du sixième degré dont le symbole est («ia)*(aa3)*(a3i)^. Dans le cas que nous considérons, sa

38o GUAPITRE VI.

valeur est

-^{bcg -h 6c/% — 3/»^)a*p» H-(6c/i ^^bjg — 3y»A)ot*Y' -\-{acf-^^cgh — 3^*/)?*a* 4-(acA -h 6a/^ — 3^»^)?*f -+-(«&/ -h 6^^/j— 3/A«) Y* a' -+- {abg -h 6a/A — ^gh})f^' -h [a6c — 3 (a/* -h 6^* 4- cA« ) — 48/^A] «* p* y'-

Si nous introduisons des symboles différentiels dans Tune de ces deux formes et si nous opérons sur Tautre, le résultat est A^ 4- 576B. Sinous opérons sur la Hessienne avec le contravariant a*, nous obtenons un covariant quadratique du cinquième ordre par rapport aux coefficients, et si nous opérons sur le contravariant du sixième ordre avec la quartique elle-même, nous obtenons un contravariant quadratique du quatrième ordre par rapport aux coefficients. Leurs valeurs sont respectivement

(afx- -»- bgy^ -h chz^)(L 4- 3 P 4- 3oR)

-^{ghx^ 4- /i/r* 4-/^^«)( 10 L — 6P — laR)

— 4(a*/»a:» 4- b^g*y^ 4- c* A»-8*) ; (/(x«4-^P*4-AY')(3L-h5P4-2R)

- 8 ( a/ a» 4- bg* p* 4- cA» Y*) -t- 4 ( bcgh a» 4- cû///p» 4- abfgfy

Si nous introduisons des symboles différentiels dans Tun quelconque de ces deux concomitants et si nous opérons sur Tautre, le résultat est un nouvel invariant

C,=(8oL - 32P 4- 448R)Q 4- 3P« — 6P»L - i34P*R 4- 3PL' -h 128PLR — 6oPR« 4- io2L»R 4- 408 LR* — yaR».

Il ne semble pas qu'il y ait pour la quartique que nous considérons d'autre invariant indépendant du neuvième ordre. Si, par exemple, nous opérons avec le contravariant conique sur la quartique elle-même, le résultat peut s'exprimer en fonction des invariants déjà trouvés; il est égal à