COURBES TRANSCENDANTES

qu^à faire d = ± b^ ce qui nous donne

j=:^(/nsin<p ±1 sinm<p), x= b{m cosç ±: cosmç);

le signe inférieur correspond au cas où Taxe des x passe par le point générateur quand il est sur le cercle fixe; le signe supérieur, quand il en est à la plus grande distance.

306. Les coordonnées pour le cas de Thypocycloïde et de l'hypotrochoïde s'obtiennent, comme le lecteur le vérifiera aisément^ en changeant le signe de b dans les équations données ci-dessus. Elles se trouveront comprises dans les équations dont nous ferons usage, si nous donnons à m des valeurs

négatives, ou si nous supposons m = — n,ou n= — j- — •

Si, dans les équations ci-dessus, nous changeons b en mb

cl m en — > elles deviennent

y =1 mb ( — sin © -h sin — ? ) > *^ \fn * m^ J

X = mb ( — CCS ç -h CCS — ç ) 3 \/;i ^ m^ )

et, en posant ^ = m<{^, lious voyons que les équations appartiennent au même lieu que les précédentes. Nous pouvons ainsi démontrer qu'on engendre la même hypocycloïde en I)renanté=^(cd:a) [Euler; Deduplicigenesiepicycloidum [Acta Petrop.j i'j%é^^. Quand le rayon du cercle générateur est plus grand que celui du cercle fixe, l'hypocycloïde peut aussi être engendrée comme épicycloïde ; car alors

/ a-'bX ...

/ni = — \ est positH.

307. On peut facilement mener les tangentes à ces courbes ; car le même raisonnement que celui du n" 30 i montre que la droite NQ est normale à la courbe. Nous pouvons aussi

voir de cette manière que, quand une courbe est engendrée par un point de la circonférence d'une figure roulant sur une autre figure, il doit y avoir un rebroussement en tout poinl où le point générateur rencontre la courbe fi&e. En efiet, d'après cette construction, en chaque point de cette espèce, le point générateur s'approche de la courbe fixe suivant la direction de la normale et s*en éloigne dans la même direction ; il j a donc là un point stationnaire.Uneépicycloïde se compose d'un nombre de portions similaires, dont chacune est réunie à la suivante par un rebroussement; et les rayons menés du centre aux extrémités de l'une de ces parties sont inclinés

l'un sur Tautre d'un angle égal à Quand les rayons des

cercles sont commensurables et par suite quand la courbe esl algébrique, le nombre des rebroussements est fini ; mais, quand la courbe est transcendante, le nombre des rebroussemeots est infini. Tout point de la base devient à son tour un point de rebroussement, et par conséquent cette base peut être dite le lieu des points de rebroussement de la courbe; il est clair toutefois que deux points consécutifs de la base ne sont pas des points consécutifs du lieu.

308. Ces courbes, de même que les épitrochoïdes en général, ont en outre un certain nombre de points doubles crunodaax ou acnodaux ; ce nombre est fini pour les courbes algébriques, infini pour les courbes transcendantes, et tous les points doubles sont rangés sur des lieux circulaires. Considérons les équations (n"* 305)

j'^zimôsin© — ds'inm^, x z=i mb cosf^ — dcosm^^

où f = o correspond à ce que nous pouvons regarder comme la position initiale du point générateur, c'est-à-dire celle où il est sur la droite qui réunit les centres; nous supposons que cette droite ait été prise pour axe des x et que la. distance initiale de l'origine au point générateur soit mb — d. Mais il

COUBDES TRAXSCBNDANTRS. 3g^

y a d'autres positions du cercle mobile pour lesquelles le point générateur se trouve sur Taxe ; les valeurs de f correspondant à ces positions s'obtiennent en résolvant l'équation nb sin<p = dsinmf. En mettant de côté la racine f = o, les autres racines peuvent évidemment se partager en couples (^gaux et de signe contraire, et pour chaque couple la valeur de X, ou mb costf — dcosmfy est la même. Les points correspondants sont donc des points doubles du lieu. On peut, aa moyen delà condition mfrsincp = ûfsin m cp, écrire la valeur de mb cos(f — cfcos misons la forme jjsiny = dsin{m — i)y. Toutes les fois que ce point générateur revient aune position similaire par rapport aux deux centres, nous avons une droite sur laquelle sont situés des points doubles ; le nombre de ces droites est, comme nous l'avons dit, fini pour les courbes algébriques, et infini pour les courbes transcendantes.

309. Les équations des tangentes aux épi- ou hypocycloïdes peuvent être écrites sous une forme très simple. En eOTet,

dy cos<p zt cosm<p cos J(m -+- i)<p

{Lo — (sincp db sin/n«p sin^(/H 4- i)ç ou

cos^(//i 4-1)?

Si l'on a égard à ce que la tangente doit passer par le point dont les coordonnées ont été données (n° 305), l'équation de la tangente devient

xco&\{m -h i)<p4-/sin}(m 4- i)«p = (m-h i)^cos{(m — i)ç

quand l'axe passe par le point générateur à sa plus grande distance du centre fixe ; et

xs\n\{m 4- i)<p — /cosj (m 4- i)<p = ('W4- i)bsin\{m — i)?,

quand l'axe des x passe par le point générateur à sa plus petite distance du centre du cercle fixe.

On voit, de la même manière, que, dans ce dernier cas, Téquation delà normale est

j7Cosi(m-h i)îp-|-^sinj(/n-|- i)<p = (m— i)^COs J(m — i)<p.

En comparant cette valeur à la première forme de Péquation de la tangente, on reconnaît que la développée (Tune épicycloïde est une épicycloïde- semblable; les rayons des

cercles générateurs sont entre eux dans le rapport de >

et le point générateur de la développée est à sa plus grande distance du centre du cercle fixe quand le point générateur de la courbe primitive est sur le même diamètre à sa plus petite distance du même centre.

Les mêmes remarques s'appliquent également à Phypocycloïde.

L'équation de la tangente à une épitrochoïde est de même

(&cos(p — rfcosm<p)jî-h(6sin«p — dûnm^)y = [m^*4-rf* — (m -h i)Mcos(m — i)<p].

310. Nous donnons ici des exemples de quelques-uns des cas les plus simples où les équations de ces courbes sont algé- I bnques et où Ton peut les former facilement. Ces cas se pré-

sentent {a) quand l'équation de la tangente est de la forme

acosaO 4- 6sina6 -|-ccos6 -f- rfsinO -+-e = o,

dont l'enveloppe a été trouvée (n** 85, Ex. III); (6) quand l'équation de la tangente est comprise dans la forme

acos36-+- ^sin36-f-3ccos6 4- 3rfsin6 = o;

quand on procède de la même manière que celle qu'on vient de rappeler, l'enveloppe de cette droite s'obtient en formant le discriminant d'une équation du troisième degré; le résultat est

(flt ^ ^î)î ^ 8(ûrç3 „ ^^4) 24 cd{ad ~ bc) == 3(c« -t- d^Y -H 6 (a» H- ^*) (c» -H d^);

COURBES TRANSCENDANTES. SgS

(c) quand m est une fraction dont le numérateur et le dénominateur diffèrent d'une unité. Si nous élevons au carré et ajoutons les équations

x^=zmbco%nf^ — é/cos(/i+ i)^, ^ = m6sin/i<p — rfsin(n-f-i)<p

nous avons

^t ~^- y* :=. m* b* -h d^ — 2mWco9<p.

En déduisant coscp de cette équalion et le portant dans la valeur de x, l'élimination se trouve effectuée.

Exemple I. — Trouver Vépitrochoïde en général pour rf= mb. Les équations sont alors réductibles à la forme

ar=aûfsinl(m — i)«psini(m-+-i)îp, ^=a Jsini(m — i ) îpcosl (/«-+- i)îp; il est donc évident que 1 ( /n -+- i)<p est l'angle w que le rayon vecteur fait avec Taxe des j^; et Téquation polaire est p = a^/sin o).

Exemple II. — - Trouver les équations de Vépitrochoïde et de l'épicycloïde quand les rayons des cercles sont égaux et par conséquent m = 2. En opérant comme dans (c) avec les équations

jr = 2Ô cos^ — dcos2fff y = 26sin«p — £? sinsç,

nous trouvons

(x^^y^ —2 6« — rf«)« = 46«(^' -f- 2d*—^dx),

équation d'une Cartésienne ayant or = o, x ^d pour points doubles^ comme on peut facilement le vérifier; c'est donc un limaçon. Nous voyons, d'après la théorie déjà exposée, que ce point correspond à la

valeur coscp = -^» Quand donc d est plus grand que 6, c'est-à-dire

quand le point générateur est en dehors du cercle mobile, le nœud correspond à deux positions réelles du cercle mobile et par suite est cranodal ; mais si le point est intérieur au cercle mobile, le nœud ne correspond à aucune position réelle de ce cercle et la courbe est aciiodale.

Le cas de l'épicycloïde s'obtient en posant rf= 6, ce qui donne

(ar«-4-j^«— 36«)«=46»(3fr — 2ir).

Le point double devient maintenant un rebroussement, et la courbe est une cardioïde. D'après ce qu'on a dit, il est évident que la développée d'une cardioïde est une cardioïde.

Exemple III. — Trouver V équation de Vépicycloïde quand le rayon du cercle mobile est la moitié de celui du cercle fixe. L'équation de la tangente est

rrcosaO -hy sinaô = 46cos6,

équation dont l'enveloppe est

(:rî-H7« — 46»)» = loSi'^ar».

Exemple IV. — Trouver l'hypotrochoïde et Vhypocycloîde quand le rayon du cercle mobile est la moitié du cercle fixe. Nous avons m = — I ; les équations sont

a: = 6cosîp -hrfcoscp, ^=ôsin<p — dsin(ff

et rhypotrochoïde est l'ellipse

qui se réduit au diamètre j^ dans le cas de l'hypocycloïde, où b = d.

Exemple V. — Trouver V hypocycloïde quand le rayon du cercle fixe est égal à trois fois celui du cercle mobile. Ici m = —2; Fcquation de la tangente est de la forme

arcosîp — -j^sinçp = 6cos3^

et, d'après la forme (6), l'enveloppe est

(ar* -+-/')»-+- 8 bx^ — 24 bory^ -h i86«(a:« +7*) = a; 6*

équation d'une quartique tricuspidale, les tangentes aux rebroussements se rencontrant au centre du cercle fixe.

Cette courbe a été étudiée par Steiner comme enveloppe de la (iroite qui joint les pieds des perpendiculaires abaissées sur les côtés d'un triangle, d'un point quelconque du cercle circonscrit. En effet, en prenant le centre de ce cercle comme origine, et rcosaa, rsin la ... pour les coordonnées des sommets si le point d'où l'on abaisse les perpendiculaires est rcosî®, rsinacp, l'équation de la droite qui joint leurs pieds est

xsin(a-h P-h Y — <p)— /cos(a-l-pH- y — ?)

= Jr[sin(a-i-p-i-Y — 3îp)-+-sin(P-f-Y~"*"~?)

COUBBES TBANSCBNDANTBS. 897

Cette forme se ramène aisément à celle qu'on a consideiée dans cet exemple.

Exemple VI. — Trouver Vhypocycloide quand le rayon du cercle fixe est égal à quatre fois celui du cercle mobile. Nous avons /n = — 3. L'équation de la tangente est

arsino-4-^cos<p = ibsinit^^

et celle de Fenveloppe

1^11. Il est facile de former Téquation de la réciproque d'une épicycloïde. En effet, Téquation de la tangente étaut

xcos-J(m-hi)ç4-/sin{(m-hi)(p =(m -+- \)bco%\{m— i)cp,

il est évident que la perpendiculaire à cette tangente fait un angle j(/w4- i)f avec Taxe des x et que sa longueur est [m 4- i)6cos^(/n — i)çp; par conséquent, le lieu du pied de cette perpendiculaire est

i? = (/nH- i)^cos( w),

^ \ni H- 1 /

et la courbe réciproque est p cos i a>j=(m-j-i)6.

dp

Le. rayon de courbure est donné par la formule R = ^ •

Dans la courbe primitive, nous avons

p* = x'-+-/' = ^'[m'-f- 1 -f- 2 m cos (m — i)^]

p»=^'(/n~- i)'-+-4'w^'cos'î(m— i)(p,

p.= a«+,-^/>« donc R=-A^;, («).

( ') L'IoYcntion des épicycloldes est attribuée à l'astronoine danois Rœmcr qui, en 1674» fut condait à étudier ces courbes en cherchant la meilleure forme à donner aux dents d'engrenages. La rectîGcation de ces courbes a été donnée par Newton {Principia, Liv. I, prop. 49)-

398 CHAPITRB Yll.

312. On peut de la manière suivante trouver une autre expression générale pour le rayon de courbure des roulettes (ou courbes engendrées par un point situé dans le plan d'une courbe qui roule). Soient P, P deux points consécutifs de la courbe, M le point de contact de la courbe roulante avec celle qui est fixe, et R le centre de courbure. Alors PP, Télément

de Tare de la roulette, est égal àMP.PMP^ mais, si nous considérons les courbes comme des polygones d'un nombre infini de côtés, nous pouvons voir que PMP, l'angle dont tourne PM, est égal à la somme (ou à la différence ) des angles compris entre deux tangentes consécutives à la courbe fixe et à la courbe mobile. Donc, si ^a- est l'élément d'arc de la roulette, ds l'élément commun d'arc pour la courbe fixe et la mobile, p et p' les rayons de courbure de chacune d'elles, nous avons

Mais cet élément d^ est aussi égal à PR, rayon de courbure, multiplié par l'angle compris entre deux normales consécutives; et si nous appelons f l'angle OMP entre les normales à la roulette et à la courbe fixe, l'angle de deux normales con-

secutives de la roulette est -.' > d ou

MK

MPh-MR__^/. A '^^(? + f)

MPxMR-cos,^,p-^p'; -Mp(i-Hl)-cos,

(\o\t Journal de Liouville, t. X, p. i5o).

313. On obtient une classe étendue de courbes transcendantes en prenant pour l'ordonnée une fonction trigonoroétrique de l'abscisse. Il n'y a pas de difficulté à déduire la forme de ces courbes de leur équation. Par exemple, y = sin-r a

COUUBES TRANSCENDANTES. Sq)

des ordonnées positives et constamment croissantes jusqu'ù

i* = - : les ordonnées décroissent ensuite de la même manière 2'

jusqu^à a; = 7c, où la courbe coupe Taxe des x sous un angle Je 45** et présente une portion négative semblable comprise entre a; = Tcet j: = ait. La courbe se compose donc d'une infinité de portions semblables qui alternent de chaque côté de Taxe des x.

De même, j^= tango: représente une courbe dont les ordonnées croissent régulièrement depuis ^ = o jusqu^à x=i-\

pour cette valeur, y devient infini et la droite x =• -est une

asymptote. Pour des valeurs plus grandes àex^y devient négatif et croît de Tinfini négatif à zéro, pour a? == tc. La courbe se compose donc d'une infinité de branches infinies, ayant une

infinité d'asymptotes x=. -, :c = |7c,^ = |7r, ... et, comme

on le voit facilement, une infinité de points d'inflexion en

De même, le lecteurpourra discuter la figure de y sécx qui se compose aussi d'un nombre infini de branches infinies; seulement chaque branche, au lieu de couper l'axe, comme dans le dernier cas, est tout entière d'un même côté de cet axe. Les branches sont alternativement du côté positif et négatif de l'axe des x. A la même famille appartient une courbe appelée la compagne de la cycloi'de. Elle est engendrée en prolongeant les ordonnées d'un cercle, non pas comme dans le cas de la cycloïde, jusqu'à ce que \di partie prolongée soit égale à l'arc, mais jusqu'à ce que l'ordonnée tout entière soit égale à l'arc. Si le centre est l'origine, la courbe est représentée par les équations

a:=acosO, jrniaô, orrrra cos (- ); c'est une courbe de la même famille que la sinusoïde.

4oO CHAPITRE VII.

314. Après les courbes qui dépendent des fonctions trigonométriques, nous pouvons citer celles qui dépendent des exponentielles. La courbe logarithmique est caractérisée par cette propriété, que son abscisse est proportionnelle au logarithme de son ordonnée ; son équation est donc

xz=.m \o^y ou y ^=z a',

La courbe a Taxe des x pour asymptote, puisque, pour xz=z — QO yOTidiy:=iO\ cUc coupc l'axc des ky une distance égale à Tunité de longueur et croit ensuite jusqu'à Tinfini positif.

La sous-tangente de la logarithmique est constante; car sa

V dxTC valeur, qui est, en général, • .' > devient égale à m pour la

courbe.

[1 y a eu un peu de controverse au sujet de l'interprétation propre de l'équation de cette courbe y = e'. On a d*abord seulement considéré la branche de la courbe qui est située du côté positif de Taxe des x, et qu'on obtient en prenant la seule valeur positive et réelle de e' qui corresponde à chaque valeur de X. Euler, dans son Analysis injinitorum, t. II, p. 290, a insisté sur la nécessité de prendre en considération la multiplicité des valeurs qu'admet la fonction; et le même sujet a été plus longuement développé par M. Vincent {Annales de Gergonne, vol. XV, p. 1 ). Par exemple, si x est une fraction à dénominateur pair, e' a une valeur réelle négative aussi bien qu'une valeur positive, et par conséquent il doit y avoir, du côté négatif de l'axe, un point qui corresponde à cette valeur négative; mais il n'y a pas de branche continue dans cette région, car, lorsque x est une fraction à dénominateur impair, e' ne peut avoir qu'une seule valeur réelle et positive. L'expression générale, qui renferme toutes les valeurs de l'ordonnée, s'obtient en multipliant les expressions numériques de e' par les racines imaginaires de l'unité dont l'expression générale est cos 2ma:7c-|- zsin2/nj:ic, m devant recevoir successivement toutes les valeurs entières et

COURBES TnAXSCBNDAXTES. 4oi

I représenlaot, comme d^babitude, la quantité y/ — i. Ceci revient à dire que Téquation ^ = c^ doit être considérée comme représentant non seulement une branche réelle, mais encore une infinité de branches imaginaires comprises dans la formule y = e'^*"^*'"*"'. Une quelconque de ces branches imaginaires contient un nombre de points réels : ce sont ceux où elle rencontre la branche g' î< +«'»"«) et qui doivent être considérés comme des points conjugués sur la courbe. Il y a une infinité de ces points qui se trouvent tous sur la branche réelle de la courbe ou sur la branche similaire du côté négatif de l'axe des x. Cette dernière branche est curieuse; car, bien que chacun de ses points puisse être considéré comme appartenant à la courbe logarithmique, il n'y a pas deux points qui soient consécutifs, puisque deux points consécutifs appartiennent à des branches différentes. On aicicequeM. Vincent appeUe une courbe pointillée. Cependant M. Vincent me paraît être tombé dans une grosse erreur sur un point. Il dit que les points de cette branche doivent être soigneusement distingués des points conjugués; car, en un point conjugué, lescoefficientsdifférentielsontdes valeurs imaginaires, tandis qu'en un de ces points, du côté négatif de l'axe, les quotients différentiels, étant tous égaux à e-^, sont tous réels et diffèrent seulement par le signe des points correspondants situés du côté positif de Taxe. Il est vraiment étonnant que M. Vincent n'ait pas observé que, si les coefficients différentiels étaient tous réels, il résulterait du théorème de Taylor que le point immédiatement consécutif serait un point réel de la courbe, et que la branche négative serait une branche ordinaire de la même courbe. Mais, parle fait, un quelconque de ces points doit être considéré comme appartenant à une branche dont I équation est ^ = c'^'"*"*""^~*^ et le quotient différentiel correspondant sera j^(i + 2rmz^ — i). Si donc on considère un point acnodal en général comme l'intersection de branches imaginaires, de même cfu'un point crunodal est l'intersection S. — Courbes planes, a6

4oa CHAPITRE Vil.

de branches réelles, les points dont il esl ici question, étant les points d^intersection de branches imaginaires, semblent devoir, avec juste raison, être regardés comme acnodaui. Nous avons déjà vu qu'une courbe transcendante peut avoir une infinité de points doubles ou conjugués, et, dans le cas des épitrochoïdes, que ces points peuvent être rangés d'une manière discontinue sur certains lieux (*).

315. La chaînette est la forme que prend une chaîne non élastique, de densité uniforme quand elle est au repos. Des considérations mécaniques très simples conduisent à la propriété que nous prendrons pour définition mathématique de cette courbe, à savoir que Tare mesuré à partir du point le plas bas est proportionnel à la tangente trigonométrique deTangle que la tangente à l'extrémité supérieure de l'arc fait avec la tangente horizontale. Si donc les axes sont une verticale et une ligne horizontale passant par le point le plus bas, nous avons

dy s^^c-j-' Mais, en coordonnées rectangulaires, l'élément d'arc

est la base d'un triangle rectangle dont dx et dy sont les côtés et ds^ = dx^ + dy^. L'équation de la courbe nous donnera donc

• • • ds^ , cds

5* -h c» t= c» j— , , dx — ,, - — >

dx- sjs^^c^

^ 1 s -{-Js c "" c

(*) L'exemple employé ici esl dû au D» Hart. Quelques objections aux vue? de M. Vincent, et qui méritent l'attention, se trouvent dans un Mémoire de M. Gregory {Cambridge Journal^ I, p. aSi, a64). M. Cayley considères' (qu'il écriL de préférence exp. x) comme une véritable fonction à uoc seule valeur; il admet qu'il n'y a rien autre chose que la branche réelle et que les valeurs à considérer sont celles de la fonction

COURBES TBÀNSCENDÀNTES. 4o3

la constante étant prise de manière que 5 et x s'annulent en même temps. Il en résulte que

Mais Téquation de la courbe donne, de la même manière,

ds' , s ds

sfs-

Donc y^ =s^ -l-c*, pourvu qu'on suppose les axes pris de manière que, pour a: ou 5 = o, on ait j^ = c- Cette valeur dey donne immédiatement l'équation de la courbe, à savoir :

L'ne notation très commode est la suivante :

-(^^4-^""') = cosh^, -(e^ — e-*) = sinha;

(lisez sinus et cosinus hyperboliques). Nous a^'ons alors pour la chaînette