De l'équation de la courbe nous déduisons

dx 2 ce

iNous sommes ainsi conduits à la construction suivante. Du pied de l'ordonnée M {fig* 55), menons la tangente MT au cercle décrit du point G comme centre avec c pour rayon. Alors

iMC -- y, CT =r c, MT = vV— c>, lang MCT ir-. lang MTL = Virluf!.

/|o4 CHAPITRE VII.

Donc la tangente PS est parallèle à MT. Les mêmes valeurs démontrent aussi que PS = MT = Tare compris entre P cl le point le plus bas. Le lieu du point S est donc la dévelop-

pante de la chatnette et SN, parallèle à TC, en est la tangente, puisque PS doit être normal au lieu de S, comme tangente à sa développée. La développante de la chaînette est donc une courbe telle que le segment SN intercepié sur sa tangente entre le point de contact et une ligne fixe est constant ('). Une courbe de ce genre est appelée une traclrice,

317. L^équation de la tractrice peut s'obtenir sans grande difficulté; car la longueur comprise entre le pied de Tordonnée de S et le point N esty/c- — k^; mais, en faisant/ = o

dans Téquation, elle est aussi -- '—^ — • Donc Téquation difl'érentielle de la courbe est

ydx p

(') La forme d'équilibre d'une clialne flexible a été étudiée la première fois par GaliK-e, qui la crut une parabole. Son erreur a été décourerte expérimentalement en 1669 par Joachim Jungius, géomètre allemand; la Téritable forme de la courbe a été obtenue par Jacques Bernoulli, en 1691. Crcgory {Ex.^ p. aS^) renvoie à un Mémoire de M. Wallace sur cette courbo, qui parail intéressant {fùlinburgh Transactions, t. XIV, p. ^aS).

COURBES TRANSCENDANTES. 4oî

On la rend rationnelle en posant z^ = c* — j^^, ce qui donne

dx = -1 — dz ;

nous avons ainsi

a: = clog î^- ■■ S/C'—J'.

On verra facilement que la courbe se compose de quatre portions semblables, comme dans la courbe ponctuée de l^Jig- 55 ; el la construction géométrique du numéro précédent montre immédiatement comment on peut mener géométriquement une tangente à la courbe.

La syntractrice est le lieu d'un point Q situé sur la tangente à la tractrice et qui divise en segments de longueur donnée la droite constante SN. Soient x\y les coordonnées du point de la tractrice, x^y celles du point du lieu cherché; soii QN = d\ nous aurons alors

yd =yc et sjc- — /'* — \Jd* — y^ :=z X — x'] et comme, d'après l'équation de la tractrice,

x' -+- y/c* — /'■ =^ c log Téquation de la syntractrice sera

/:33 i 1 d-\-sJd' — Y^