X -I- sjar — y^-=^c log

•/ La tractrice est un cas particulier du problème général des courbes équitangentielles, où l'on demande de trouver une courbe telle que le segment de la tangente compris entre la courbe et une directrice fixe soit constant.

318. Le problème des courbes de poursuite a été présenté pour la première fois sous cette forme : Trouver la piste d'un chien qui court pour atteindre son maître. Ma-

thématiquement, il s'énonce comme il suit : Le point A décrit une courbe connue ; on demande la courbe décrite par un point B, dont le mouvement est toujours dirigé vers A. Nous supposons que les deux mouvements s'effectuent d'une manière uniforme et que A se déplace sur une droite que nous prendrons pour axe des y (*). Le segment déterminé par la

dy tangente sur cet axe des^ est^ — x ;T-et par hypothèse sod

accroissement infiniment petit est proportionnel à celui de

dv l'arc; ou bien, en posant^— ==/>>

logo:^

La courbe sera donc algébrique, excepté dans le cas où A = i , OÙ nous aurons à remplacer — -y parlogx.

— xdpz=.

:hs/T

-hp*dx,

7»)-f-iog

— Ax'^,

/pA-i-l .

-h-hl.

319. La développante de cercle est une autre courbe transcendante dont l'équation peut être formée sans beaucoup

Fig. 56.

(') Voir DocGccR» Mémoires de V Académie, 173a. Correspondance sur l'École Polytechnique, t. H, p. 276; SAi?iT-L.vuaE!(T, Annales de Gergonne, t. XIII, p. lYo.

COUKBES TRANSCENDANTES. (\0-]

de difiicultë. La question se ramène à la solution du problème suivant : Si, sur la tangente en un point P d'un cercle^ on prend une longueur PQ telle qu'elle soit égale à Varc PQ mesuré à partir d un point fixe A, trouver le lieu du point Q. Soit a le rayon du cercle, le centre étant G, et soit p le rajon vecteur CQ; soit PCA = (p, QCA = 6; alors,

mais il est aussi égal à af par hypothèse ; et comme

arc ces

Téquation polaire du lieu est

= 0-4- arc CCS -•

La développante de cercle est le lieu des intersections des tangentes menées aux points où une ordonnée quelconque rencontre un cercle et la cycloïde correspondante dont le sommet est en A.

320. Nous allons terminer ce Chapitre par quelques mois sur les spirales. Quand ces courbes sont rapportées à des coordonnées polaires, le rayon vecteur est une fonction non périodique de Tangle qui donne une infinité de valeurs dtflTérentes quand nous faisons co = 8, w = au + 8, w = 4^^ + ô? • • • • La même droite rencontre donc la courbe en un nombre infini de points et cette dernière est transcendante. Prenons d'abord \^ spirale d^ jirchimède qui est le lieu décrit par un point qui s'éloigne de l'origine d'un mouvement uniforme, tandis que le rayon qui le porte tourne autour de l'origine d'un mouvement uniforme. L'équation polaire de la courbe est donc

p r:z: a CD.

La spirale est le lieu des pieds des perpendiculaires abaissées

4o8 CHAPITRE VII.

sur la tangente de la développante discutéedansleprécédentnuméro. En efiet, d'après la nature des développantes, la tangent< en Q est perpendiculaire à PQ ; et la longueur de la perpendiculaire abaissée de C sur cette tangente est égale à PQ = a^^ et ^ est Tangle que cette perpendiculaire fait avec une droite fixe. Donc aussi Tinverse de la développante est la spirale hyperbolique pco = a, que nous discuterons dans le numéro suivant. La spirale d'Archimède appartient à une famille comprise dans l'équation générale p = aw"; dans toutes ces courbes, la tangente approche d'autant plus d'être perpendiculaire au rayon vecteur que le point est plus éloigné de

l'origine, car S—îiî =- • donc (n** 95) la tangente de l'angle

l'ait par le rayon vecteur avec la tangente croît avec w et ne devient infinie que quand (o est infini.

321. Nous venons de parler de l'équation de la spirale hyperbolique pco = a. Cette courbe a une asymptote parallèle à la droite à partir de laquelle on mesure Tangle (i>. Car la perpendiculaire abaissée d'un point quelconque de la spirale sur cette droite est p sîn eu = a > qui a la valeur finie a

quand u) est nul et quand p devient infini. Nous pourrions encore calculer la longueur de la perpendiculaire abaissée de

Fig. ^7.

l'origine sur la tangente. La tangente trîgonométrique de l'angle que le rayon vecteur fait avec la tangente est p -7- =— w;

COURBES TRANSCB.NDANTES. ^OÇ)

donc la perpendiculaire est— ===== qui est égale à a quand p

devient infini. La forme de la courbe est celle que nous indiquons ci-contre (/i^. 5j). La sous-tangente polaire est constante. L'arc AB du cercle décrit avec le rayon vecteur OA, en un point quelconque de la courbe, est évidemment constant. Une autre spirale digne de remarque est celle dont Téqualion est p^co = a^; elle a aussi une asymptote : c'est la droite à partir de laquelle on mesure co.En eflet, la distance d'un point

quclcjonque de la courbe à cette droite, psin(o= >

décroît indéfiniment quand p augmente et quand, par conséquent, (0 diminue.

322. Nous mentionnerons en dernier lieu la spirale logarithmique p = a^. Dans cette courbe, p croît indéfiniment avec 0) ; quand to = o, p = i ; il diminue ensuite pour des valeurs négatives de ci) et ne devient nul que pour co = — oo - La courbe fait donc une infinité de tours avant d'atteindre le pôle. Une des propriétés fondamentales de cette courbe, c'est qu'elle coupe tous les rayons vecteurs sous un angle constant;

carp-7- devient le module du système de logarithmes qui

a a pour base; donc l'angle que fait le rayon vecteur avec la tangente a toujours ce module pour tangente trigonoméirique. Cette propriété conduit immédiatement à la rectification delà courbe; car, si nous considérons le triangle élémentaire qui a pour hypoténuse l'élément d'arc et pour côté l'accroissement infinitésimal du rayon vecteur, nous voyons que l'élément d'arc est égal à l'accroissement infinitésimal du rayon vecteur multiplié par la sécante de cet angle constant, et par conséquent un arc quelconque est égal à la différence des rayons vecteurs extrêmes, multipliée par la sécante du même angle. La longueur entière, mesurée d'un point quelconque P jusqu'au pôle, étant p sécO, on la construit en éle-

4lO CHAPITRE YII.

vaut au pôle la droite OQ perpendiculaire à OP jusqu^à la rencontre en Q de la tangente en P; PQ est alors la longueur cherchée. Le lieu de Q sera évidemment une développante de la courbe; mais les angles du triangle OPQ étant constants, OQ est proportionnel à OP; il fait un angle droit avec OP; le lieu de Q est donc une spirale logarithmique, construite en faisant tourner tous les rayons vecteurs d'un angle droit et les changeant suivant un rapport donné. Réciproquement, la développée d'une spirale logarithmique est une spirale logarithmique. Le lieu du pied de la perpendiculaire abaissée sur la tangente est aussi une spirale logarithmique ; car cetle longueur est dans un rapport constant avec le rayon vecteur ei fait avec lui un angle constant. Les caustiques par réflexion ei réfraction, dans Thypothèse où la lumière émane du pôle, sont de même des spirales logarithmiques (*).

(') Cette coarbe a été imaginée par Descartes, qui reconnut quelques-uoes de ses propriétés. La propriété de se reproduire elle-même de diverses manières, comme on l'a montré ci-dessus, a été découverte par Bcrnoulli et excita sa vive admiration.

TRANSFORMATION DES COURRES. ^^

323. Dans les parties précédentes de cet Ouvrage, nous avons exposé les méthodes particulières au moyen desquelles on peut déduire les propriétés d'une courbe de celles d'une autre courbe; telles sont les méthodes de la projection, des polaires réciproques, de Tinversion .... Nous nous proposons dans ce Chapitre d'étudier la' théorie générale qui leur sert de base. Dans toutes ces méthodes, nous avons en général à considérer la correspondance de deux points P, f qui peuvent être situés dans le même plan ou dans des plans difTérents. Dans ce dernier cas, les deux plans peuvent être regardés comme coexistant dans un espace commun et les deux points P, F peuvent être liés l'un à l'autre dans cet espace par des relations géométriques. Par exemple, dans la méthode de projection, la droite qui joint les points P, F est assujettie à la condition de passer toujours par un point fixe O. D'une manière analogue, nous aurions un autre système de transformation, si la droite PP était soumise à la condition de rencontrer toujours deux droites fixes, et ainsi de suite. Le développement de ces théories, en général, appartient à la Géométrie de l'espace ; ici nous considérerons les deux plans comme existant, indépendamment de tout espace commun. Pour prendre l'exemple le plus simple, supposons que nous ayons un couple d'axes dans l'un des plans et un autre couple d'axes dans l'autre plan ; et admettons que les coordonnées de P rapporté au premier système doivent toujours

4l2 CHAPITRE VIII.

ôire respectivement égales aux coordonnées de V rapporté au second couple d'axes ; nous obtiendrons évidemment ainsi un système dans lequel un point quelconque P du premier plan correspondra à un point F du second, et réciproquement.

Nous pouvons supposer les deux plans appliqués Tun sur l'autre, de manière à former un plan unique. Si nous concevons cette opération effectuée, il y aura des théorèmes qui dépendront de la superposition des deux plans ; mais, en outre de ceux-ci, il en subsistera d'autres qui existaient quand les deux plans étaient distincts, et leur théorie ne sera réellement pas altérée. En d'autres termes, au lieu de deux figures situées dans des plans différents, nous avons deux figures contenues dans le même plan ; et par le mot de figure, nous entendons désigner un système quelconque de points, de droites ou de courbes ; ou bien encore, nous pourrons employer ce mot pour désigner tous les points du plan. Le genre de transformation qu'on a surtout étudié est la transformation rationnelle^ c'est-à-dire celle où une position donnée de V correspond en général à une position unique de P, et une seule position de P à une seule position de P'. L'exemple le plus simple de ce genre est la transformation linéaire ou homographique; nous allons l'étudier en détail.