ÉCHANGE ENTRE LES COORDONNÉES DE DROITE ET DE POINT

premier syslème et quel est celui qui fait partie du second système.

Comme deux coniques qui ont un double contact peuvent toujours être projetées suivant deux coniques semblables et concentriques, nous allons prendre deux coniques de ce

genre pour rendre la figure plus simple.

Soient A, B les deux pôles d'une tangente quelconque à la conique polaire ; parmi les deux pôles A', B' d'une autre tangente, A' appartiendra au premier système, puisque, si AB se mouvait de manière à venir coïncider avec A'B', A coïnciderait avec A' et B avec B'. La distinction entre les points peut se faire facilement au moyen du théorème suivant : A'B et AB' 'Sont parallèles dans le cas de deux coniques concentriques, et, d'après la méthode de projection, elles se coupent sur la corde de contact, dans le cas général.

Réciproquement, si de deux points de la conique pôle nous menons des tangentes à la conique polaire, nous devons les numéroter ainsi o^i, oflj, /?6o /?6a, de manière que la droite qui joint l'intersection de oa, et pb^ à celle de oa^ <^i pbx puisse passer par le pôle de la corde de contact des coniques.

339. Comme le nombre des constantes qui entrent dans les formules de transformation dans le cas des réciproques .gauches ne dépasse que de trois unités celui des constantes dans le cas des réciproqnes prises par rapport à une conique, il est naturel de chercher si ce dernier cas ne diffère pas du premier seulement par un déplacement de la figure. Il est

évident, en tous cas, que la réciproque gauche considérée ici n'est qu'une transformation homographique de la réciproque par rapport à une conique, et que par conséquent l'emploi des réciproques gauches ne peut conduire à aucun théorème géométrique qu'on ne puisse obtenir en combinant l'emploi des réciproques ordinaires avec la méthode des projections. Il est très facile de voir quel doit être le premier pas à faire si l'on nous demande de déplacer les deux figures pour les amener dans une position telle qu'un point quelconque ail la même polaire, quel que soit le système auquel le point soit considéré comme appartenant* En effet, puisque la position de la droite de l'infini ne change pas dans le déplacement de la figure, nous devrons commencer par chercher son pôle dans chaque système ; puis nous devrons déplacer les systèmes de manière à amener ces points à coïncider. Les coniques pôle et polaire deviendront concentriques et semblables et ce point sera leur centre commun.

3iO. Nous disons maintenant de plus que, si, en faisant tourner les figures autour de leur centre commun O, nous pouvons leur donner une position telle que la polaire d'un point à l'infini A soit la même droite OB pour les deux systèmes, et que si alors la polaire d'un autre point C, à l'infini, est la droite OD pour le premier système, elle sera aussi cette même droite pour le second. En effet, le rapport anharmonique des quatre points du premier système ABCD est égal à celui du faisceau correspondant du second, OB, OA, OD, OX; et, comme trois rayons sont les mêmes dans les deux faisceaux, OX doit coïncider avec OC; autrement dit, la polaire du point D doit être la même, qu'elle appartienne au premier ou au second système; il doit donc en être de même de la polaire de C.

Mais, comme les points circulaires à l'infini ne bougent pas quand on fait tourner la figure, nous n'avons qu'à prendre les