CORRESPONDANCE DE POINTS SUR UNE COURBE DONNÉE

369. Ce que nous avons dit jusqu'ici suffit pour faire comprendre la théorie de la correspondance rationnelle ; dans ce qui suit, nous considérons la correspondance générale de deux points P, F situés sur une même courbe et tels que l'un d'eux détermine l'autre. Supposons qu'à une position donnée de P correspondent a' positions de P', et à une position donnée de F, a positions de P; on dit que la correspondance est une correspondance (a, a'). Quand a= a'= i, elle est appelée rationnelle.

Comme exemple simple de correspondance sur une courbe donnée de m*^"* ordre, supposons que les points P, P' soient coUinéaires avec un point fixe O (c'est-à-dire que la droite PF passe par O); siP est donné, il y a m — i positions de F, et si P' est donné, il y a m — i positions de P; en d'autres termes, ceci constitue une correspondance (m — i, m — i). Nous avons déjà indiqué ce genre particulier de correspondance dans le cas du cercle {voir n^ 347). Cette correspondance est évidemment rationnelle dans le cas de la conique, ou quand m = a.

464 CHAPITRE TIII.

Si le point O est sur la courbe donnée, à une position donnée de l'un des points correspondent m — a positions de l'autre^ ou plus généralement, si O est un point multiple d'ordre a de la courbe, à une position donnée de Tun des points correspondent m — a — i positions de l'autre point, c'est-à-dire que la correspondance est une correspondance {m — a — I, m — a — i). Remarquons que nous aurons de cette manière une correspondance (i, i) de points sur une cubique (en prenant le point O à volonté sur la courbe) ou sur une quartique nodale (en prenant O au point double), mais que nous ne pourrons pas obtenir une correspondance (i, i) de points sur une quartique générale.

370. Dans ce qui précède, la correspondance a été symétrique, ce qui revient à dire qu'en partant d'un des poinL» Fautre s'obtient par la même construction et que a = oc'. Mais, comme exemple de correspondance non symétrique, supposons que V soit défini comme le tangentiel de P; ici, P étant donné, P' est l'une des intersections de la tangente en P avec la courbe (et par suite à une position donnée de P correspondent m — 2 positions de P). Mais, P' étant donné, P est un des points de contact des tangentes menées par P' à la courbe (et conséquemment à une position donnée de P' coi^ respondent n — 2 positions de P, si n est la classe de la courbe) ; nous avons ainsi une correspondance (m — 2, n— a). Il esta peine nécessaire de remarquer que nous pouvons avoir oL^fx! sans que la correspondance soit symétrique.

37i. Dans le cas d'une courbe unicursale, à un point donné sur la courbe correspond une seule valeur du paramètre 6 ; et une valeur donnée de 0 détermine un seul point sur la courbe (en d'autres termes, si nous généralisons la notion de correspondance, nous pourrions dire qu'un point de la courbe et le paramètre de ce point ont une correspon-