CORRESPONDANCE DE POINTS SUR UNE COURBE DONNÉE

dance ( i , i ). Il en résuite immédiatement que, si le point P a a positions, son paramètre doit être donné par une équation de Tordre a; si donc, comme ci-dessus, les points P, F ont aussi une correspondance (a, a'), la relation entre leurs paramètres doit être déterminée par une équation de la forme (6, 1 )«(6', i)«'= o, c'est-à-dire que, 6 étant donné, Téquation sera de Tordre a' en 6'; mais, 6' étant donné, elle sera de Tordre a en 6.

372. Un point peut se correspondre à lui-même; on dit alors que c'est un point uni: ainsi, quand les points P, P'sonl collinéatres avec un point fixe O, il est clair que le point de contact d'une tangente menée par O à la courbe est un point uni; et si ce sont les seuls points unis, leur nombre est égal à n.

Les seuls autres points qui, à première vue, pourraient sembler des points unis sont les points doubles et les points de rebroussement de la courbe. En effet, si nous supposons P situé en un nœud ou en un point de rebroussement, la droite OP rencontrera la courbe au point P, qui compte comme une des m — I intersections et en m — 2 autres points ; ou ce qui revient au même, la droite menée de O au nœud ou au rebroussement rencontrera la courbe au nœud ou rebroussement compté deux fois et en (m — 2) autres points. Mais dans le cas du nœud, les deux intersections en ce point appartiennent à des branches de courbes différentes; en d'autres termes, nous pouvons dire qu'elles sont coïncidentes, mais qu'elles ne sont pas consécutives; la distinction se voit bien quand il s'agit d'une courbe unicursale ; pour ce point double, nous avons alors deux valeurs distinctes de 6, pour chacune desquelles les coordonnées ont les mêmes valeurs ; dans le cas d'un point de rebroussement, ces deux valeurs de 0 deviennent identiques; ou, ce qui revient au même, la droite menée de O au point de rebroussement (quoique n'étant pas S. — Courbes planes. 3»

466 CHAPITBI Tlll.

uQe tangente à la courbe dans le sens propre de ce mot) est une tangente dans un certain sens, alors que la droite menée de O à un ppint double n'est pas une tangente à la courbe. Nous en concluons qu*un noeud n'est pas un point uni; dans une acception spéciale , un rebroussement est un point uni et nous avons en outre les points unis proprement dits, qui sont les points de contact des tangentes menées de O à la courbe. Revenons à la courbe unicursale et à l'équation

en un point uni nous avons 0 = 0' et pour trouver ces points nous avons une équation (6, i)«'*^'= o; c'est-à-dire que si les points P, F ont une correspondance (a, a'), Je nombre des points unis est égal à a + a'. Appliquons le théorème au cas où P, F sont colHnéaires avec le point fixe O : la correspondance est (m — I, m — i), c'est-à-dire que le nombre de points unis serait égal à 2(m — i). Le nombre des points de contact ou points unis proprement dits est égal à /i; celui des rebroussements ou points unis particuliers est égal à x et nous devons avoir

ce qui a lieu en effet pour une courbe unicursale ayant x rebroussements.

Dans le cas où P' est un tangentiel de P, on a vu que la correspondance est (/i — a, m — 2) et le nombre des points unis devrait être égal à m -+• n — 4* Nous avons ici coroon* points unis proprement dits les points d'inflexion et comme points unis spéciaux les rebroussements; leur nombre total est égal à 1 4- X ; le théorème donne donc i4-x = m-i-/i — 4 ou, ce qui revient au même, 1= 3(m — a) — 2x: c'est ce qu» a lieu réellement pour une courbe unicursale à x rebroussements.