COKIESPOMDANCB DE POINTS 8UB UNE COURBE DONNÉE

l^ëométrîque à eflecluer pour déterminer P revient en général à ceci : c'est que nous avons une certaine courbe 6, dépendante de P, qui, par ses intersections avec la courbe donnée, détermine les points F. Dans quelques cas, F est Tune quelconque des intersections en question ; mais, dans d^autres cas, un certain nombre d'entre elles coïncideront en général avec P et doivent être mises de côté. Ainsi, dans le cas où P, V sont coUinéaires avec O, la courbe 6 est la droite OP qui rencontre la courbe donnée au point P compte une fois (qui doit être exclu) et en m — i autres points. De même , quand F est un tangentiel de P, la courbe 8 est la tangente en P qui rencontre la courbe donnée au point P compté deux fois (à exclure) et en m — a autres points.

Il y a plus, la courbe 8 peut rencontrer la courbe donnée en des points qui forment deux ou plusieurs classes distinctes, de telle manière que les points de Tune des classes seulement soient des positions du point P. Ainsi, dans 1^ dernier exemple, en échangeant entre eux les points P, F el considérant maintenant F comme le point de contact d'un^ tangente menée à la courbe par le point P, la courbe 0 est le système des n — a tangentes menées de P à la courbe; chacune d'elles rencontre la courbe au point P compté une Cois, au point de contact F compté deux fois et en m — ii autres points F^ (qui sont les cotangentiels de P, c'est-à-dire que PF' est tangent à la courbe en un point P' différent de P ou F ). Ou, ce qui revient au même, la courbe© de l'ordre n — 2 coupe la courbe au point P compté n — 2 fois, en n — a points F comptés chacun deux fois et en (n — 2) (m — 3) points F comptant chacun une fois. La correspondance (P, P') csi, comme on Ta vu, (/n — 2, n — 2) ; la correspondance ;P, F) est évidemment (n — 2. m — 3, n — 2. m — 3).

374. Le théorème relatif à une courbe unicursale conduit par induction à ce théorème que, pour une courbe en général,

468 chàpitbe viil

le nombre des points unis devrait être égal à a + a' augmenté d'un multiple du genre, ou bien égal à a 4- a' + A/. aD ; mais, si nous admettons que la courbe 6 intervienne d'elle-même dans le problème, le dernier exemple montre qu'il est nécessaire de considérer le cas où la courbe 0 présente des classes distinctes de points d'intersection avec la courbe. Le théorème général est le suivant :

Si pour une courbe donnée du genreT> les points correspondants de P sont F, P*, ... ; si P, P' ont une correspondance (a, oc') et si le nombre de points unis est égal à a; si P, F' ont une correspondance (P, P') avec h points unis, etc.; et si la courbe 0 gui, par ses intersections avec là courbe donnée^ détermine les points F, P, . . . , coupe ladite courbe au point P qui soit compté k fois, en chacun des points V qui soit compté p Jois, des points P qui soit compté q fois et ainsi de suite, nous avons

dans cette relation^ il faut évidemment tenir compte, dans chacune des différentes correspondances, des points unis spéciaux {s' il y en a).

Ainsi, dans les exemples considérés ci-dessus, pour une courbe unicursale, si, en premier lieu, P, P sont coilinéaires avec O, nous avons

(1) /ï -h xrzr 2(m — I )4- 2D.

Ensuite, si P' est un tangentiel de P,

(2) n-xm m -h /i — 4 -H 4r>

cl, dans le cas où P est un tangentiel de P, et où b, p, P' se rapportent à la correspondance des cotangentiels P, P,

et; d'après l'exemple immédiatement précédent,

a -^ a' — a" = ./ -h y. - (m 4- /« — 4) = 4IJ;