COBRESPONDANCE DB POINTS SUR UNS COURBE DONNÉE

par conséquent,

Les points unis proprement dits b sont ici les points de contact des tangentes doubles, dont le nombre est 2t; mais nous avons aussi comme points unis spéciaux les rebroussements comptés chacun n — 3 fois {on doit admettre qu^il en est ainsi), et le résultat est

Les différentes équations (i), (2), (3) qui donnent respectivement la classe, le nombre de points d'inflexion et le nombre des bitangentes d'une courbe de Tordre m avec S nœuds et x rebroussements s'accordent avec les équations de Pliicker; on les vérifie de la manière la plus facile au moyen des expressions données (n** 83) pour les diverses quantités en fonction de m, /i et a = 3 /i -f- x.

375. Si, sur une courbe quelconque, les points P, P ont une correspondance (i , 1), les points (P', P*^) une correspondance (1, 1) et ainsi de suite jusqu'aux points P^"-*), P^"', il est clair que les points P, V^"^ ont une correspondance (i, i). Et réciproquement les points P, P^"^ qui ont une correspondance (i, i) peuvent être regardés comme liés l'un à l'autre par la série des points intermédiaires P', P, . . . , Pf«~^).

Dans le cas d'une courbe unicursale , la correspondance ( i , i ) des points P, F implique une correspondance semblable des paramètresO, 6' ; c'est-à-dire qu'elle est de la forme(0, i)(0', i)=o ou, ce qui revient au même, aW+ é6 -h c6'-H rf= o, c'està-dire que les paramètres Q, O'sont liés homographiquement. La transformation dépend de trois paramètres arbitraires.

En prenant pour courbe donnée une conique, si les points P, P ont une correspondance (i, i), on sait que la droite PF enveloppe une conique qui a un double contact avec laconique donnée; une pareille conique, devant satis-.

470 CHAPITRE YIII.

faire à la condition du double contact,. dépend de trois paramètres. Mais si nous choisissons les points A, B à volonté et si nous prenons sur la conique P,Q collinéaires avec A (^^. Sg), etFcollinéaire avec B, Q, les points P, Sauront une correspon-

Flg. 59.

dance (i» i) qui dépend , comme on le voit, de quatre paramètres ; et il en résulte que les points A, B peuvent, sans qu^on perde rien en généralité, être soumis à une condition unique. Supposons, par exemple, que la correspondance F, F soit définie par le moyen de la conique enveloppée par ladroite FF; si sur la corde de contact nous prenons à volonté le point Â. si nous menons PA qui rencontre la conique enQ, et QF qui rencontre la corde en A, la correspondance ( i, 1) est aussi donnée au moyen des points A, B; mais ici A peut être regardé comme un point déterminé de la corde de contact (comme l'intersection de celle-ci avec une droite fixe); on détermine alors B comme plus haut et la correspondance se trouve définie au moyen de ces deux points, aussi bien que si A avait été pris à volonté sur la corde de contact.

Un cas qui se trouve réellement compris dans le précédent est celui où la correspondance de P, F est telle que la droite P, F passe par un point fixe C (J^g-^o), La conique enveloppée, regardée comme courbe en coordonnées tangentîelles, est ici le point C compté deux fois ; quand on la considère comme courbe ponctuelle, c'est le couple de tangentes menées de C à la conique donnée. Ceci revient à dire que la corde de con-

corbespondànce m points sur uxb courbe donnée. 471 tact esl la polaire du point C; la construclion est la même que plus haut et les points A, B, C forment, comme on le voit facilement, un système de points conjugués par rapport à la conique; la correspondance primitive de P, F regardés

Kîg. 60.

comme coliinéaires avec le point C est ici remplacée par une correspondance définie au moyen des deux points A, B qui forment avec C un système de points conjugués.

Lies propriétés qui précèdent se rapportent au problème de rinscription dans une conique d*un polygone dont les côtés passent par des points donnés ou sont tangents à des coniques ayant chacune un double contact avec la conique donnée.

376. Sur une cubique (D = i ) nous avons une correspondance (1,1 ), elle dépend d'un seul paramètre; mais il y a deux espèces de correspondances, qui sont les suivantes: i^les points P, P sont coliinéaires avec un point A de la cubique ; 2° les |>oints P, Psont tels que P, Q sont coliinéaires avec un point A de la cubique et Q, F coliinéaires avec un point B de la cubique. Cette relation paraît dépendre de deux paramètres ^ mais elle ne dépend réellement que d^un seul; prenons un point déterminé C sur la cubique (Jig* 61 ) ; menons AC, qui rencontre la cubique en O et BO qui la rencontre en D ; on obtiendra le même point correspondant F en prenant P, R

coUinéaire avccD, etEfFcollinéaires avec C, c'esl-à-dire aa moyen du seul point D. Par le fait, il est évident que, si nous partons de P et si nous construisons P^ considéré comme Tintersection des droites QB, RC, la cubique passant par A,

Fig. 6i.

B, C, D, O, P; Q, R passera aussi par P*, en sorte que les points A, B et les points C, D conduiront au même point P. Le théorème renfermé dans la construction précédente peut s'énoncer comme il suit : Si, sur une cubique, les points A, B, C, D sont tels que les droites AC, BD se coupent en un point O de la cubique, nous avons inscrit de cette manière une infinité de quadrilatères P Q P' R, dont les côtés passent respectivement par A, B, G, D, c'est-à-dire qu'un point quelconque P de la cubique peut être pris comme sommet d'an pareil quadrilatère.

377. Plus généralement, imaginons que nous ayons inscrit dans une cubique un polygone non fermé PQ. . . X de in— i côtés, dont les côtés passent par des points fixes de la cubique; les points P,X auront alors une correspondance (i,i) de première espèce, c'est-à-dire que le côté XP qui ferme le polygone rencontrera la cubique en un point fixe; en d'autres termes, nous aurons inscrit dans la cubique une infinité de polygones à 2/i côtés dont les côtés passent par des points fixes de la cubique. Et parmi ces points, tous sont arbitraires excepté un, qui est déterminé par la construction de l'un de ces polygones.

COBRBSPONDANCE DE POINTS StR LNE COURBE DONNÉE. 473

378. Comme application de celle théorie on peut exprimer les coordonnées de deux poinls d'une cubique au moyen de paramètres (n° 366). Une correspondance (i,i) entre deux points d'une cubique implique une expression rationnelle pour les paramètres sinamr/', cosamu', A ami/ en fonction de sinami/, cosam£/,Aamu; et ceci implique encore Tune ou l'autre des formes m -|- «' = const. , u — w'=: const. Mais , quand irois points P, P', A sont coUinéaires, nous avons en général une relation a -|- £^' -|- w = A, où A est une constante qui dépend de rinvariant absolu de la cubique. Une relation de la forme m -|- m' = const. implique donc que P, F sont coUinéaires avec un point fixe Â. Si la relation est de la forme u — a' = const., par exemple =6 — a, nous pouvons écrire // -h i' 4- a = A, i' -h 6 -h i^' = A, et cela signifie géométriquement que P, Q sont coUinéaires avec un point fixe A, et Q, P avec un point fixe B. Aux points A, B nous pouvons évidemment substituer deux autres poinls D, G, pourvu que nous ayons b — a = c — rfou a-|-c = 6-|-rf, c'est-à-dire pourvu ({ue les droites AC, BD se coupent sur In cubique. Nous retombons ainsi sur les résultats déjà obtenus.

379. Pour une quartique binodale (D = i ), nous avons une théorie semblable de la correspondance (i, i); pour une quartique nodale (D = a), il y a une correspondance ( i, i ) qui ne dépend d'aucun paramètre arbitraire, car les points P, P' sont coUinéaires avec le nœud.

Il existe une théorie intéressante delà correspondance (2,2) sur une courbe unicursale, et en particulier sur une conique. Les paramètres qui déterminent la position des deux points P, 1^ sont liés ici par une relation (6, O^C^^i 1)^ = 0. Pour ce qui regarde les coniques, nous avons les théorèmes de Poncelet sur les polygones inscrits et circonscrits.

380. Dans ce Chapitre, nous reprenons la théorie générale des courbes pour faire suite au Chapitre II et nous commençons par la théorie des bi tangentes à une courbe d'ordre n, théorie que nous avons laissée de côté à partir du n? 78. Nous donnerons deux méthodes par le moyen desquelles on peut former Féquation d'une courbe dont les intersections avec une courbe donnée détermineront les points de contact de ses bitangentes.

La théorie des tangentes à une courbe a été étudiée (n® 64) au moyen de l'équation A = o, ou

X^U'4- X»-» {lA U' -h { X«-V* A'U'-h . . . = o,

qui détermine les coordonnées des points où la droite qui joint deux points donnés rencontre la courbe. Nous avons vu qn cet endroit que si le point x^ y d est sur la courbe et si xyz est situé quelque part sur la tangente, nous devons a\oir U'= o, AU'= o, et que si la tangente rencontre la courbe en trois points consécutifs, nous devons avoir en outre AU'=o; que po\ir quatre points consécutifs nous aurions de même A'U'= o, et ainsi de suite. Si la tangente en a^ y J est tangente à la courbe en un autre point, en faisant U' =o, All'= « (Jans l'équation A = o, l'équation réduite au degré (^ — ^; doit avoir des racines égales, et par conséquent, si le discriminantde cette équation est Y = o, cette relation doit être satisfaite par les coordonnées x' y^ z\ xyz. Dans le cas de points

THÉORIE GÉNÉRALE DES GOURDES. ^yo

d^inflcxion où nous avons les deux conditions A^U' = o, A* U' = o, l'une du premier et l'autre du second degré en xyz^ et toutes deux vérifiées pour un point quelconque de la tangente, il est évident, comme on l'a établi (n® 74), que AU' = o est l'équation de la tangente et que A^U'=o doit contenir AU'= o comme facteur. De la même manière, dans le cas d'une bitangente, Y = o doit contenir A U'=o comme facteur, et, en cherchant la condition pour qu*il en soit ainsi, nous trouverons la condition pour que a/yz' soit un point de contact d'une bitangente. La méthode particulière employée n<* 74 n'étant pas applicable au cas général, nous aurons recours à la méthode suivante, due à M. Cayley; et il convient de commencer par établir le lemme qui suit.

381 . Supposons que les équations de deux courbes contiennent les \BT\dhlesxyz a^ax degrés aet b respectivement, et x'yz^ aux degrés a^^l/. Supposons que les ab points d'intersection des deux courbes coïncident avec^'^'z'; on demande de trouver l'ordre de la condition qui doit en outre être vérifiée pour qu'elles aient d'autres points communs, ce qui ne peut arriver que lorsqu'il y a un -facteur commun à U et V. S'il en est ainsi, une droite arbitraire quelconque

«aura certainement un point commun avec U et V; ce sera le point, ou les points, où la droite arbitraire rencontre la courbe représentée parle facteur commun. Il s'ensuit que le résultat de l'élimination entre U =o, V = o et l'équation de la droite arbitraire doit, dans ce cas, être nul. Ce résultat contient atpyau degré aô, a/yz' au degré a6'+ ba! et les coefficients de U, V aux degrés b, a respectivement. Mais, comme le résultat de l'élimination s'obtient en multipliant les résultats de la substitution dans ax -^ ^y -\- yz des coordonnées de chacune des intersections de U, V et comme, par hypothèse,

47^ chàpitrb IX.

toutes ces intersections coïncident avec cd y z\ le résultai doit être de la forme II (a;r'-|- py-|- y^')***. La condition aa/+ p^'-f- Y5' = o indique seulement que la droite arbitraire passe par x^y z\ et dans ce cas elle passe par un point commun à U et V, que ces courbes aient ou niaient pas de facteur commun. En mettant ce facteur de côté, la condition restante II = o est la condition cherchée pour que U et ¥ aient un facteur commun, et nous voyons qu'elle ne renferme pas a^v, qu'elle est de l'ordre ab* + a'b — ab en x^y^ et des ordres 6, a respectivement en fonction des coefficients de UetV.

382. Si nous appliquons cette méthode à la recherche des points d'inflexion, c'est-à-dire à la détermination de la condition pourque AU', A^U' aient un facteur commun, nousavons a = i,a' = /i — i,b= 2y b' = n — a, et la formule qu'on vient d'obtenir donne 3(/i — a) pour l'ordre de II en fonction de x'yzf; c'est Tordre de la Hessienne, comme on l'a déjà trouve. On voit aussi que II est du second degré par rapport aux coefficients de AU', et du premier pour ceux de A'U'; et, comme chacun d'eux renferme les coefficients de l'équation originale au premier degré, II contient ces coefficients au troisième degré, ce qui s'accorde aussi avec les résultats antérieurs.

Revenons maintenant au cas des tangentes doubles; comme Téquation A = o se réduit à la forme

iA'U'X^-^-h ... -hU|x«-«=o,

un terme type de son discriminant est, par exemple,

ce qui nous montre que Y est de l'ordre (n -h a) (/i — 3) en jy^js, de l'ordre (/i — 2)(/i — 3) en ^'j^'V, et de l'ordre ^(n — - 3) par rapport aux coefficients de l'équation primitive.

THÉORIE GÉNÉRALE DES COURRES. ^"^y

Nous pouvons, en second lieu, montrer que toutes les intersections de Y et AU' coïncident avec x'y z*\ en eflel, Téqualion du système des n^ — n — 2 tangentes issues du point {jfyy-jZ') et qu'on trouve par la méthode du n** 78, est de la (orme AAU'-h Y(A*U')*= o, et ce système ne peut évidemment être coupé par AU' en aucun autre point différent de (jr',j^,5'); si donc nous faisons AU'= o dans la dernière équation que nous venons d'écrire, nous voyons que AU' ne peut rencontrer Y ou A'U' qu'au point xfyz\ Nous pouvons alors appliquer la méthode du n® 381 , en posant a = i , a'= /i — i , b={n -h 2)(« — 3), b'=i{n — a)(n — 3); d'où

Nous trouvons ainsi que l'ordre de II en x'y z' est

Cette quantité est de l'ordre (/i -h 'i)(/i — 3) par rapport aux coefficients de AU', du premier par rapport à ceux de Y et en conséquence de l'ordre (/i-f-4)(/i — 3) en fonction des coefficients de l'équation primitive. La courbe bitangentielle II = o rencontre la courbe primitive U = o en /i(/i-f- 3)(n — 2)(/i — 3) points; et., comme il y a deux de ces points sur chaque bitangente, le nombre de ces dernières est ^n[n — a)(/i^ — 9), comme nous l'avons trouvé d'une autre manière, n° 82.

383. La méthode du n** 381 nous permet non seulement de déterminer l'ordre de la condition cherchée II = o, mais encore de trouver celte condition elle-même en effectuant réellement les opérations indiquées. Ainsi supposons que x\y^ z' soient, comme plus haut, les coordonnées du point sur la courbe; dans le cas des points d'inflexion, nous avons à effectuer l'élimination entre olx 4- ?JK4- y^ = o, AU'= o, A* U'= o.

478 CHAPITKE IX.

et ces deux dernières équations, écrites tout au long, soni

L.r -h M r 4- N 5 = o, ax^ 4- by^ 4- cz^ 4- ifyz 4- igzx 4- 2 /ij^v = o,

11 conviendra, pour éviter les facteurs numériques, de supposer que l'équation originale a été écrite avec les coeiBcients du binôme, et que les coefficients numériques communs odI été supprimés après la dilTérentiation, en sorte que L, M, ^ représenteront les dérivées premières de U' divisées par a; a, 6, c, . . • les dérivées secondes de U 'divisées par n(^n — 1) et que les équations ordinaires des fonctions homogènes seront \ax 4- My -h Nz = U', ax' 4- Ay 4- 5^^ = L,

La condition pour que deux droites se coupent sur une conique peut se mettre sous la forme du déterminant

a h g \a fi h b f M ^

On peut en effet vérifier que ce déterminant développé est le même que le résultat de la substitution dans Téquation de la conique des coordonnées de Tintersection des deux droites, coordonnées qui sont My — Np, Na — Ly, L,3 — Ma. Mais, en vertu des équations des fonctions homogènes, le déterminant ci-dessus peut se réduire, en multipliant successivement les trois premières lignes et colonnes respectivement par j/, y\ z' et en les retranchant de la quatrième. Si donc nous représentons oLx' 4- P^ 4- Y^' par R, il devient

OU

bien

If

oe

Nous eœplojrons, d'après Clebsch, Tabréviation ( j pour

désigner le délermiaanl qui multiplie U', dans lequel la matrice du Hessien est bordée horizontalement et verticalement para, p, y. De la même manière, le déterminant dont nous sommes parti et où la matrice est bordée par a, ^, y et

parles dérivéesdeU s'écrirait ( ^ ' j; etTéquationquenous

avons établie est

Si xf y z' renà U'égal àzéro,réquation y' \ =ose réduit à H = o, comme cela doit être.

384. Afin d'arriver par la même méthode à trouver Téquation de la courbe bitangentielle, nous avons à chercher le résultat qu'on obtient en remplaçant respectivement x^ y, z par My — N P, Na — Ly, L p — Ma dans le discriminant de Téquation A = o (n^ 380), et notre marche nous conduira tout d'abord à chercher le résultat de cette substitution dans les difierents coeiïicients de cette équation, à savoir dans A^ U^ A^ U', . . . , ou, comme nous écrirons pour abréger, dans A^, A^, . . . . Le résultat de la substitution dans A^ a été calculé (n^ 383) et Hesse a démontré de la manière suivante que le résultat de la substitution dans A* est delà forme

qui se réduit à QA(a^'-i- py-i-y^')^, quand a:'^^' est sur la

'48o CHAPITRE IX.

courbe. Sa méthode consiste à prouver que, si celle expression est vraie pour deux quantités consécutives A*"*, A*, elle le sera encore pour A*+', et elle nous permet d'exprimer Pj^^^ Qk+i en fonction des coefBcients correspondants qui précèdent. On se rappelle que, par définition, nous avons la relation

dans laquelle A représente l'opération

du' " dv dz'

mais on y suppose que xyz^ x'y z^ sont des quantités indépendantes. Dans le cas que nous considérons maintenant, où l'on suppose que a; a la valeur My — N p, et où par conséquent il est. une fonction Implicite de od y z\ il faut entendre que, dans l'opération A, la différentiation affecte seulement a^ y z' en tant que ces coordonnées apparaissentexplicitement, mais non en tant qu'elles sont contenues implicitement dans

X}'z, Représentons par V l'opération x -r— 7 -\- y --r-p + ^ 37'

sans cette restriction ; si nous appliquons alors la règle générale qui permet d'obtenir les différentielles par rapport à x!y z' dans l'hypothèse où xyz sont variables, au moyen des différentielles calculées en supposant ces dernières quantités constantes, nous avons, en opérant sur une (onction quelconque S,

^c *c ^S d^ ^ dS

do: dy -^ dz

38S. Nous avons maintenant à calculer les valeurs de Tx. V >', V5. Il est facile de voir que le résultat obtenu en opérant avec V sur une fonction quelconque S est

S| Sj Sj L M N P Y

et par conséquent, quand la fonction est x ou My — N ^, le résultat est

/lY-^P ôY-yp /ï~cP L M N

Ici le coefficient (/i — i) provient de la condition que nous avons introduite, et suivant laquelle les difTérentielles de

L, . . . sont (/i — i) a, Le déterminant qu'on vient d'écrire

se réduit alors de la manière suivante :

Tf g o L

R — ao;' — a^'

p h -(?/-!- ïx') ax'

b f hx' gxf

Si nous représentons ( j par S, elles moitiés de ses diverses

dérivées par rapport à a, p, y par S|, Sa, S3, ces dernières ne diflereront que par leurs signes des déterminants qui multiplient R dans les valeurs de Vx, V^, V^, et nous avons

.(S) = A(S)-(«-OR(ï,^-HX,|-^s.g

Supposons en particulier S = A*(V), où V est une fonction S. — Courbée planes» 3i

483 CUAPITRE IX.

quelconque de l'ordre n' en a! y' z' ; comme -r- = f<-r-, A**' iV).

nous avons

Comme A**(V) est une fonclion homogène en sff:! du degré n' — A: -f- 1 , le dernier terme se réduit à

386. Il sera commode d'employer l'abréviation ^ pour représenter l'opération

^ d V' ^ V ^ As? "^^,5P "^ -2*, S?

et Ton remarquera aussi que

Le résùllat obtenu en opérant sur x avec i( est nul, comme on peut facilement s'en assurer en remplaçant dans la dernièrt' colonne du déterminant les quantités V^, Vi, Vt, o par

les valeurs Ay — g^y tY"~/P> /ï — ^P' PT — yPî ^' ^^ décompose alors en deux déterminants qui sont nuls chacun, comme ayant deux colonnes identiques. Pur conséquenli le résultat qu'on obtient en opérant avec ^ sur une fonctiou quelconque contenant x^y^ z est le même, qu'on regarde ou non ces quantités comme constantes. Donc l'équation du dernier article, appliquée aux quantités A*. . . , que nous désirons calculer, est

ou

TIlÉOmB GÉNÉRALE DBS COURBES. 4^3

387. Au moyen de Texpresslon que nous venons de trouver, nous pouvons démontrer que, si nous avons

Texpression de A*"*"* sera de même forme. En effet, nous n^avons qu*à substituer ces valeurs de A*~^, A* dans Téquation du numéro précédent et nous devons observer que V(U) et A(R) sont tous deux nuls, comme on le voit, du reste, immédiatement en remplaçant S|, S2, S3 par L, M, N ou a, ^, y

(.lans

Donc

Si Sj Sj L M N

Si nous remplaçons respectivement Sj, S^, S3 dans ( j par /iL, /iM, N/i et par a, 8, y? nous avons

i;(U)=-nHR, 'KR) = (]|) cl, par conséquent,

^(A*-') = U4/(PA.-,) + R«4'(Q*-,)-/iP*-,HR + aRlQ*,;

En réunissant maintenant les termes de l'expression donnée pour A*+' (n" 386), nous avons