A*^' = UP*^,-)-R'Q

OU

lW, = V(P*)-A:(/i-i)(/i-A:-i-i)2:P^,-hA:(/i-i)R4;(P,..,), Q*^, = v(Qit)-A:(/i~i)(/i-A:-Hi)£Q^.,

-^k{n- I) R4^(Q*-i) - n(,n - i) AP,.» H.

388. Au moyen de ces formules, nous pouvons former une Table des valeurs de P3, Q3, .... Ainsi, pour commencer, il est évident que P, = 0, Q, =: o et (n** 383)

P, = — S, Qa= — H. Donc P»= -A(S), Q,= — A(H). Quand la courbe est une cubique, A' n'est rien autre que la fonction cubique elle-même, et la valeur que nous venons de donner pour Q3 peut s'interpréter géométriquement comme il suit: si une droite quelconque olx+ ^y -h y-' rencontre une cubique et que de chacun des points de rencontre on mène quatre tangentes à la courbe, les douze points de contact sont situés sur la quartique

car cette condition, comme nous Tavons vu, doit être vérifiée pour un point quelconque de la courbe, dont la tangente coupe ajc-4-P^ + Y5 sur la courbe. Ce résultat découle immédiatement aus^si du d? 183.

'Passons maintenant à Q4; nous avons (n° 387)

. Q,=: — V(AlI)4-3(n — l)(/l — 4)2H

— 3(/i — i)RiKH)H-3/i(/i — i)2H = — v(aH)4-6(/î — i)(/i— 2)2H — 3(/i— i)R^(lI).

Mais, conformément au résultat de la fin du n° 385, si nous posons A- = I , et si nous représentons par n' le degré de la llessienne, ou 3(n — 2),

T(AH)ir:AMI-(/^^— i)R^;(H)+.(n— l)/l'2H, d'où

Q,=: — A«H4-(/l— O/l'SH — 2(/l — l)R4;(H).

389. Nous avons maintenant les matériaux nécessaires pour calculer Téqualion de la courbe bitangentielle d'une quartique. Suivant la méthode indiquée (n® 384), nous devons d'abord former le discriminant de A = o ou de

-i-An« + — ^ A»Xix + — ^-tAV*; : . i.a 1.2.3 "^ 1 .îi.3.4

THÉORIE GÉNÉtlÀLfe DES COURBES. 4^5

puis, après avoir remplacé x, par My — N p, . . ., nous devrons faire disparaître a, p, y, au moyen de Téquation de la courbe. En effectuant la substitution avant de former le discriminant, Téquation devient

T^Q^^'^rb^'^^-

dont le discriminant ne diffère que par un facteur numérique de QJ — 3QaQ4; cette fonction renferme encore a, p, y au second degré et par conséquent a encore besoin d'être réduite. La formule suivante va nous être utile pour cet objet.

390. Si nous bordons la matrice du Hessien horizontalement et verticalement avec trois rangées et trois colonnes, le déterminant résultant est évidemment égal au produit changé de signe des deux déterminants qu'on a ajoutés horizontalement et verticalement. Si en particulier V, W sont des (onctions des ordres n\ n'', nous avons

-n'VV

ou bien

A(V)l(W)=/»'«''VW('')-rt'VRPJ)

-«•wK!)-'-(wHiw>

et, quand a^y J satisfait à Téquation U = o, le dernier terme est Dul. Ainsi, en particulier,

486 CIIAMTRfi IX.

OU, dans la notation que nous avons employée plus haut,

Q; = (AH)«==/»'«IP2-a/i'HR4/(H)4-R«^[[y

Ce dernier ternie représente le résultat obtenu en remplaçant dans S les quantités a, p, y P^^ ^^^ coeflicients différentiels de H.

Nousobtenonsprécisémenlde la même manière une formule de réduction pour A^V en écrivant dans le déterminant précédent^)^-» ^^^^ placede V|, Va, Vjetde W|, W^, Wj,

et en supposant Topération effectuée sur V. Alors, dans la réduction, au lieu de /l'V et de/i'V, nous avons

""di'-^yiy-^'dz'

et la formule devient

A» V = «'(«'-. )v(^)-2(«'-.)rQ + R'(^^^)v.

Dans cette relation, le dernier symbole représente le résultai obtenu en remplaçant dans S les quantités a, ^, y P^'' '*'^ symboles de différentiation et en opérant sur V.

Introduisons la valeur ainsi trouvée pour A* H dans la valeur donnée .pour Q4 (n** 388), il vient

Q,.r^ - /i'(/i'-- /i)2II H- 2(n'-- /i)R4.(H)-- R*/' j'jll el, comme Q2 ^ — H, nous avons en général

(«'-«)Q«-«'Q,Q,=:.R'[(n'- «)(,")- «'h(^^^)ii]; clans le cas de la quartique, pour laquelle n = 4» /i' ~^ 6, Q5-3Q.Q...R.[(«)-3h(J)ii].

THÉORIE GA?(ÊRALB DBS COURBES. 4^

Cl en conséquence l'équation de la courbe bitangentteUe est

c'est-à-dire que si S, écrit tout au long, est égal à

A«« + B ?« H- C y' H- îïFpY -+- î»Gy« H- aHap, celle équalion est

, dW ^dW ^dlî* ^dH dH

^ d\l d\l „ rfH dn

dz dx dx dy

niF

dx^ dy^ dz^ dy,dz

aG-ï — F- 4- 2 H <•

dz,dx dxdyy

c'est une courbe du quatorzième ordre.

391 . L'équation qu'on vient d'obtenir peut être transformée au moyen de l'expression donnée {Sect. coniques, n^ 381, Eicemple i) et qui exprime la condition pour que la droite polaire d'un point par rapport à une conique soit tangente à une autre conique. Nous avons vu que, si ax*+..., 0^0;' + . . • sont les deux coniques, nous obtenons

(6c-/«)(a'^-hA'7-h^5)«-r-...

où F représente un covariant conique des deux coniques; et nous avons trouvé de la même manière que

= [a(6V -/«)-+-... ](aa7« 4-...)- F.

Si maintenant a^ b, c, ... ont la même signification que cidessus, et si a! y 6', . . . représentent les dérivées secondes ae la Hessienne, sondegréélant/t\ les quantités(a'x-i-A'/4-^z),. . .

sont égales à (^ — i) fois les dérivées premières et (bc — /*) (a'x-h h! y + g^^Y + • • • est égal à( /i' — i)' fois le covariant <|ue nous avons appelé © (n** 231). Nous pouvons représenter |)ar S' le covariant correspondant dans lequel les dérivées de la courbe et de la Hessienne ont été échangées entre elles, et dont Tannulation exprime la condition pour que la droite polaire d*un point par rapport à la courbe soit tangente à la conique polaire du même point par rapport à la Hessienne. De la même manière, af[bc — /^)4-... est égal à 4» et a'x^ 4-. - . à n\n! — i)H. Nous avons alors les identités

(,i' — ,)2e = /i'(n' — i)H* — F, e'=U4>' — F, (^'i)îe — Ai'(/i' — i)H*=ie' — U*' cl, dans le cas particulier de la quartique où /i'= 6, 25 e — 3oII* = e' — U*'.

Ainsi les points de contact des bi tangentes sont donc les intersections avec la courbe, non seulement de © — 3H4> <;omme on Ta déjà obtenu, mais aussi de i50 — 0' ou de O' — 45H<Ï>; les courbes bitangentielles pourraient aussi s'exprimer en fonction du covariant F.