DBS SYSTÈMES DE COURBES

courbe aux deux autres. Zeuthen montfe que chacun d'eux compte pour trois, en introduisant tout d^abord dans les formules un multiplicateur inconnu x et en le déterminant par un examen des cas élémentaires où la seconde et la troisième courbe se réduisent à des points ou à des droites. Si nous réunissons maintenant les nombres A' 4- 2 B' -f- 4 G' et si nous faisons les réductions, nous trouvons

jaz= n'n'^{n^-^6mn — Sn — lim h-x 4- 4^ 4- Sx)

-h 2{n' II" -+- ni" n' ) ( /i* -h 2 mn — /i — 4 ^^^ -+- "^ ) 4- 2m/ m" n(n — 1)

et il existe une expression correspondante pour \. Nous en déduirons les expressions de [x, v,

jj. — {jL*^ m' m* -h ia" ( m' n" -^- m" n! ) -^ ^' n' n\ ^ =z ^'^ m' m" -+- ^"{m'n" -^ m" n!) -+- v'n'/i'', où

fjL' = 2m(m-+-/t — 3) -HT,

fx'z=v'r=r2m(m4-2/l — 5)-+-2T,

jjL*' r= v' = 2 n ( 2 m -h n — 5 ) H- 2 0,

Ces quantités représentent le nombre des coniques déterminées par les conditions d'être deux fois tangentes à une courbe, et en même temps de passer par trois points, ou de passer par deux points et d'être tangentes à une droite, ou de passer par un point et d'être tangentes à deux droites, ou enfin d'être respectivement tangentes à trois droites.

Il n'est pas nécessaire de considérer séparément le cas (i, 1), (i, i) {voir n® 413), et les mêmes principes sont applicables aux cas (3), (1), (4)-

Nous renvoyons pour plus amples détails au Mémoire de Zeuthen qu'il est très profitable de consulter (Xous^'elles Annales, 1866) et aux Mémoires de M. Cayley (PInL

5si8 CHAPITRE IX.

Trans.f 1867). Noub donnons ici le Tableau dans lequel M. Cayley a résumé les résultats les plus simples, expriméâ en fonction de m, n et a {voir n^ 83).

(1,1,1) { — ^mn — n^—^m—^n

p' = J m* -h m* n -h 2/n/i'-h|/i' — fm*

(JL =^/n*H-}/n*/i -h/w'/i'-hjm/i*

— \¥'w* — 2 1 /n/i — Vv* '^^ -^- * 1^ ''^ H- ^r « -h a(— |/n' — 3m/i — |/i*-h ^m

— {/n* — 2/n'/i — 3m/i' — }/i' ^^»;n« — 21 /n/i — ifLn» 4-iîi/n h- «-{-^L/i -ha( — |/n'— 3/n/i— f/i*-h^/n

( p' =i2/n-hi2/i-ha(/n-+-2/i — i4).

jjL =27/71-1-24/1 — 20a -h {a*.

V zr 24 //l-h 27 /l — 20a -h ^a*.

/ fx' = 12/71 -t- 12/1- < v' =: 2.4/71 H- 24/1

DES STSTllXES DE COURBES. 529

[a'^ — 4'» — 3/i -h 3a, v' = — 8/n — 8/n-6x, p'izi — 3/n — 4'H-32,

1 V ir= — 3 /?i* — 12 ma — 8 /^* -h 53 m

(4) fX rz; — lO/W — 8/1 -+-6a, V 1= — 8/w — lO/l -h 6a.

420. Il reste encore à établir les formules qui donnent le nombre de coniques qui satisfont à cinq conditions inséparables, comme par exemple (5) le nombre de coniques ayant avec une courbe donnée un contact du cinquième ordre. Ces nombres se trouvent en étudiant le cas où une courbe à laquelle les coniques sont ta-gentes est un complexe de deux autres courbes : ainsi les coniques qui ont un contact du cinquième ordre avec un complexe de deux courbes se composent des coniques ayant un contact semblable avec les courbes séparées, et par conséquent l'expression pour (5) doit être une fonction de /w, n, a telle que

<ï>(/n -h ni\ n -{- n\ a -ha') = *(//i,/i,a) -f- <^ (//*', fi\ "j );

donc (5) est évidemment de la forme am + è/i + ca. D'après la symétrie, nous devons avoir a =6; et connaissant le nombre de coniques sextactiques quand m = 3, nous déterminons a et c et nous trouvons (5) = — i5m — iS/i-l-ga. De même aussi, les coniques (45O se composent des coniques ayant ce même contact avec courbe séparée et des coniques ayant le contact 4 avec une courbe et le contact i avec l'autre. Le nombre de ces dernières coniques se trouve au moyen des formules du numéro précédent, en sorte que

*(;n -h /«', n -h /*', a-ha') — * m, /^,a) — (*//?', //, a')

est fonction connue de m, n, a. C'est en suivant la marche que S. — Courbes pleines. 34

S3ft CHAPITRE IX.

nous indiquons ici que M. Cayley a établi la table suivante :

( = — 8/n» — aom/i — 8/i*H-io4(/n-h /i) ^^''^ I H-6a(m-h/i-ii).

(3,2) =i2o(m -h /i)-ha( — 4^^* — ^'i — 78)-+-3a«.

1= — I m* — lo m' /i — lo m/i' — | /i* -I- -4^ m' -h ii6 m/i -+- AAi ;i« — 434 m — 434 /* H-a(îm»-|-6m/ï-h|/i'— ^/n— ^/H-291) — |a'.

^^'^'^J I ^a( — 8m — 8/i-h327)-ha«(im + }/i — 12).

/ =r6/n'-t- 3om»/n-3om/i'-i-6ii*— i7/i(m -h/i)* 1 -M320(m-H/i)4- ix(}m'-f-m"/i-*-mn*H-{n' (2,1,1,1) j __j i^t a6m/i-V/i«4-^m+i|A/i-96o;

\ — iV C''** •+- 'i*) — I rnn{m} 4- /i' ) — 2 m* a* 1 ij t(m«-+-/i»)— ^/n/i(m-+.n)4-i-î-î^(m'+/î- (1,1,1,1,1) . ^i±3.f^j^^%iii^^^n)-^a{-^\m}-\m'n

\ -lfln-h486)4-aH^('« + '»)-'5].

MM. Zeuthen et Cayley ont aussi cherché les formules relatives aux cas où les conditions impliquent le contact avec une courbe en un point donné. Le Mémoire de M. Cayley contient des recherches sur une formule de M. de Jonquières, qui donne le nombre de courbes de Tordre r ayant, avec une courbe donnée de Tordre /n, t contacts de Tordre a, 6, c, ... ei passant en outre par p points de la courbe. Mais le sujet esl trop étendu pour être traité en détail ici.