PAR G.-H. HALPHEN
Dans celte étude se trouvent rassemblées les principales questions résolues de Géométrie plane, où les points singuliers des courbes algébriques jouent un rôle. La première Partie contient VExposé des fondements de la théorie, immédiatement suivi d'applications concernant Vemploi des coordonnées polaires, ordinaires et tangentielles. Ces applications ouvrent une voie facile à Tétude des développées successives et à la démonstration de la singulière loi suivie par les degrés et les classes de ces courbes.
La seconde Partie est consacrée à ce problème : Trouver le nombre des points en chacun desquels, sur une courbe algébrique donnée, a lieu 'une relation donnée entre les éléments infinitésimaux de la courbe • La solution est accompagnée d'exemples assez nombreux, parmi lesquels on remarquera, sans doute, ceux qui se rapportent au cas où les éléments infinitésimaux considérés s'élèvent jusqu'au troisième ordre.
Dans la troisième Partie sont exposées les théories con-
cernant la correspondance entre les points de deux courbes et concernant le genre.
Enfin^ une quatrième Partie, très courte, contient la solution de deux problèmes de Géométrie analytique : Trouvala classe d^ une courbe, connaissant le degré et les points singuliers. — Parifii/les intersections de deux courbes^ calculer le nombre de celles qui sont confondues en un point singulier commun.
Pour les lecteurs désireux de compléter cette étude, voici la liste des Mémoires originaux qui pourront être consultés :
Brill. — Ueber Singularitàten ehener algebraischer Curven
(Math. AnnaUn, t. XVI, p. 348).
GiTLEY. — On the higher singularities of a plane curve ( Quar-
terly Journal, VII, p. a 12, et Journal de Crelle, t. LXI V, p. 369). De la GouRNEBiE. — Notes sur les singularités élevées des courbes
planes {Journal de Mathématiques, a* série, t. XIV, p. 4^5, cl
t. XV, p. I).
— Note sur le nombre des points d'intersection que représente un
point multiple commun à deux courbes planes {Comptes rendus, t. LXXVII, p. 673).
Halphen. — Sur les points singuliers des courbes algébriques planes {Mémoires présentés par divers savants à V Académie des Sciences, t. XXVI).
— Sur une série de courbes, analogues aux développées {Jour-
nal de Mathématiques, 3* série, t. II, p. 87).
— Sur la recherche des points d'une courbe algébrique plane,
qui satisfont à une condition exprimée par une équation différentielle algébrique {ibid., t. II, p. 267 et 371).
— Sur une question d élimination,^ ou sur V intersection de deux
courbes en un point singulier {Bulletin de la Société mathématique, t. III, p. 76).
— Sur le contact des 'caurbes planes avec les coniques et les
courbes du troisième degré {ibid., t. IV, p. 69).
— Sur la conservation du genre dans les transformations uni- * formes {ibid., t. IV, p. ag).
— Sur les correspondances entre les points de deux courbes
{ibid., t. V, p. 7).
Halphen. — Sur le genre des courbes algébriques (Association française. Compte rendu de la 4* session, Nantes, p. 137).
N(3ther. — Ueber die algebraischen Functionen {Gôttinger Nachrichten, 1871, pp. 217 et 267).
— Ueber die singulàren Werthsysteme einer algebraischen Func-
tion, und die singulàren Punkte einer algebraischen Curve {Mathematische Annalen, t. IX, p. 166).
Painvin. — Sur l'abaissement de la classe d'une courbe produit par la présence d'un point de rebroussement (Bulletin des Sciences mathématiques et astronomiques, t. IV, p. i3i).
— Note sur l'intersection de deux courbes {ibid.,i, V, p. i38). SuiTH. — On the higher singularities of plane curves (Procee-
dings 0/ the London mathematical Society, t. YI^ p. i53). Stolz. — Ueber die singulàren Punkte der algebraischen Functionen und Curçen (Mathematische Annalen, t. VIII, p. 4i^)*
— Die Multiplicitàt der Schnittpunkte zweier algebraischen Cur-
ven(ibid,, t. XV, p. 122).
Z::UTHEN. — Nouvelle démonstration de théorèmes sur des séries de points correspondants sur deux courbes (Mathematische Annalen, t. III, p. i5o).
— Note sur les singularités des courbes planes (ibid.t t. X, p. aïo),
— Sur un groupe de théorèmes et formules de la Géométrie énu-
mérative (Acta mathematica, t. I, p. 171).
54o APPENDICE.
