PREMIÈRE PARTIE

1. Le fondement de la théorie qui va être exposée ici réside dans une proposition d'Algèbre, dont voici l'énoncé:

Soit y une fonction algébrique de la variable x^ et soit x^ une valeur de cette variable pour laquelle diverses déterminations de y prennent une valeur commune y%. Pour les valeurs de x — Xq, ayant leurs modules inférieurs à une limite finie et déterminée, ces dii^erses déterminations dey se répartissent en des groupes entièrement distincts entre eux. Toutes celles qui composent un même groupe se représentent simultanément, leur nombre étant égal à n, sous la forme suivante

( 1 ) .r — a^o t= f«, y — Vç — ai i 4- «1 <• -h a, <* . . . .

Nous admettrons cette proposition comme bien connue, en ajoutant les observations suivantes : i^ Le nombre des groupes, constitués parles déterminations àe y diC(\^éT^xii\vi valeur jKo pour x = Xq^ peut se réduire à l'unité. Le nombre n peut aussi se réduire à l'unité. Ces deux circonstances ont lieu à la fois si l'on prend x^ arbitrairement. 2** Quand le nombre n dilFère de l'unité, il peut arriver que quelques-uns des coefficients a^ ^2v manquent. Mais la totalité des indices des coefficients qui subsistent ne peut avoir, avec le nombre n, d'autre diviseur commun que l'unité; sans quoi les formules ( i ) ne fourniraient pas n valeurs de j, différentes entre elles, pour chaque valeur de x. 3** Au lieu des formules (i), on peut écrire cette formule unique

«TUDE SUR LES POINTS SINGULIERS. 54l

et dire que y est développable en série convergente, procédant suivant les puissances à exposants croissants et fractionnaires de a; — j^o- Le plus petit dénominateur commun de ces exposants est limité; c'est le nombre des déterminations de^ représentées à la fois par la formule (a). Il faut avoir soin d'observer toutefois que, ce dénominateur étant appelé /?, ou doit prendre, à chaque terme, une même détermination

de (^x — 5^0)"- Le groupe des déterminations àty, obtenues en changeant la racine /i'*"' de (^x — a:©), et dont le nombre est /i, sera désigné par le nom de cycle.

2. Nous aurons fréquemment à considérer des séries procédant, comme la série de Maclaurin, suivant les puissances, à exposants entiers et croissants, d'une variable, sans qu'il soit besoin de préciser les coefficients de ces séries. Pour abréger, il sera utile d'employer un symbole représentant de telles séries. Nous adopterons donc la notation

[^] z= «0 -H ûTi ^ H- a, ^2 -h flfj i' • . . .

as;ec Vexpresse cons^ention que le premier coefficient a© sera toujours supposé différent de zéro.

Dans un même calcul, le même symbole pourra, sans inconvénient, représenter plusieurs séries différentes.

3. Après ces préliminaires, entrons dans la théorie des courbes algébriques.

Les variables x, y seront maintenant les coordonnées d'un point du plan. Ces coordonnées seront cartésiennes ou, mieux et plus généralement, les rapports de deux coordonnées homogènes à la troisième.

La proposition du n** 1 revêt alors cette forme : Soient Xo, j'o l^s coordonnées d^un point sur une courbe algébrique. Aux environs de ce points les diverses branches de

54a APPENDICE.

la courbe sont représentées par un ou plusieurs systèmes d'équations analogues au système ( i ).

La portion de courbe représentée par des équations telles que ( I ) sera appelée un cycle. Le point x^^y^ sera dit V origine de ce cycle.

En employant la notation expliquée au n® % nous sommes obligés de mettre en évidence le premier exposant du développement de j' — y^j et de représenter un cycle ou bien par le système

(3) a;-^o=^«, 7-jo=^'"[«]

ou bien par la formule unique

En intervertissant x^ y^ nous aurons une autre représentation du même cycle, sous forme du développement de a; — Xo en y — y^. Ce développement pourra être obtenu par le retour de la suite (4). U aura donc la forme

Des deux formules (4) et (4 &w), prenons celle où l'exposant mis en évidence n'est pas inférieur à l'unité. Admettons que ce soit, par exemple, la formule (4). Sous cette hypothèse — ^i, le nombre n sera dit l'ordre du cycle. Il est

essentiel de rappeler la deuxième observation faite au n^ 1 ; ks exposants, dans le développement {^)^ sont supposés réduits à leur plus petit commun dénominateur n.

4. Uordre d'un cycle, tel que nous venons de le définir, est indépendant du cboix des coordonnées. C'est ce qui va être immédiatement prouvé.

Soient X, Y de nouvelles coordonnées, devenant Xo, Y© à

IWigine du cycle. Leur liaisou avec les précédentes a la forme générale

'~"H-«U-^o)+?(7~Jo)'

Substituant dans ces relations les expressions (3) et obser* vant rhypothèse m^n, nous obtenons deux développements dont la forme est rappelée ainsi :

pourvu que a' et a' ne soient pas nuls. D'autre part, le cycle devant être susceptible, avec les coordonnées X, Y, d'une représentation analogue à (4)} nous aurons cette représentalion en éliminant t entre les deux dernières égalités. Le résultat a cette forme

Y-Yo--(X-Xo)[(X-Xor].

On peut seulement craindre qu'un choix particulier des coefficients a, a', ... permette de réduire le nombre n dans cette dernière formule. Mais il n'en est rien, car si le dénominateur commun aux exposants du développement ne peut s'élever par un changement de coordonnées, il ne peut non plus s'abaisser. La proposition énoncée est donc établie.

S. Par un choix convenable du rapport et" : P" on fait disparaître le terme du degré n dans le développement de Y — Yq suivant les puissances de t. Si, dans les formules initiales (3), m est supérieur à n, le rapport oc* ; P' devra être pris, pour ce but, égal à zéro. Le premier exposant de Y — Yq sera alors égal à m. Si^ au contraire, /n est égal à /i, alors, le rapport a': prêtant convenablement choisi, le premier exposant du développement de Y — Yq sera supérieur à n. Je désignerai dorénavant ce premier exposant par n + v; la droite, bien

544 APPENDIfB.

(lélerminée , dont réquation est Y — Y© = o, sera dite la tangente du cycle. Le nombre v sera dit la classe. Ainsi, en prenant pour origine des coordonnées (j; == j' = o) Torigine d'un cycle, et pour axe des x (^ = o) la tangente, od a pour ce cycle la représentation

ou, sous une autre forme,

(5) x — i'', j=zr-^*[/].

Les nombres /i, v sont Tordre et la classe du cycle.

6. Pour justifier l'introduction du nombre v et le nom qui lui a été affecté, nous allons montrer que ce nombre v correspond à Tordre /i, au point de vue de la dualité.

Mettons en évidence trois coordonnées homogènes en

posant

Prenons maintenant des coordonnées tangentielles homogènes, en faisant v

Xr^YdZ-ZdY, Y, = Z ^X - X ^, Z, — \ J / - Y d\ .

Substituant les expressiors (5), nous aurons

X, m - Z^dy z=. - 'jJJt.l'"^^-' [/],

Z,= Z^x'^di^^ Z*é/^^"-^^-^[«].

Prenons maintenant les rapports de deux de ces coordonnées à la troisième

et déduisons deux développements pour S et t] :

fiTUDB SUR LES POINTS SINGULIERS. 545

Ijq développement de t) en Ç se déduira de là et aura cette forme

Ceci est Téquation d'un cycle d'ordre v et de classe /i, à moins toutefois que le dénominateur commun des exposants puisse être réduit à un diviseur de v. Mais, à cause de la dualité, celte réduction est impossible. Donc, dans le passage des coordonnées ponctuelles aux coordonnées tangentielles, l'ordre et la classe d'un même cycle s'échangent entre eux. Si l'on complète ce résultat par l'examen des coordonnées, on peut l'énoncer ainsi : Dans deux courbes corrélatives, à un cycle de l'une correspond un cycle de l'autre courbe. La tangente de chacun de ces cycles est corrélative de l'origine de l'autre cycle; Vordre de chaque cycle est égal à la classe de l'autre,

7. L'interprétation géométrique de l'ordre et de la classe, pour un cycle, se tire bien aisément du mode d'exposition employé. Revenons aux équations qui ont servi de point de départ

Si l'on prend pour variable indépendante x — x^^ à chaque valeur infiniment petite de cette variable répondent N déterminations infiniment petites pour t^ et aussi pour y — y^. Le nombre N, pour un même cycle, est susceptible de deux valeurs différentes : i® si la droite ;r = Xq n'est pas la tangente du cycle, alors N = /i; a° si j: = x© est la tangente, alors N = /i -h V. De là cette proposition :

Si une droite mobile est infiniment voisine de l'origine d*un cycle ^ il y a, parmi les intersections de la droite et de la courbe^ des points infiniment voisins de cette origine et appartenant à ce cycle : leur nombre est Vordre du cycle si la droite fait un angle fini avec la tangente; au con- S. — Courbes planes^ 35

5^6 APPi:ifDIGB.

traire^ il est égal à la somme de l^ ordre et de la classe, si la droite diffère infiniment peu de la tangente.

D*après la dualité, envisagée au n® 6, nous avons en même temps cette autre proposition :

Si un point mobile est infiniment voisin de la tangente d*un cycle, il y a, parmi les tangentes menées du point à la courbe, des droites infiniment peu différentes de la tangente du cycle, et lui appartenant ; leur nombre est la classe du cycle si le point est à distance finie de V origine; au contraire^ il est égal à la somme de Vordre et de la classe si le point mobile est infiniment voisin de l'origine.

Si Ton prend les positions limites de cette droite ou de ce point mobile, on a ces conséquences : dans le nombre total des intersections d^une droite et d'une courbe, chaque point commun compte pour un nombre égal à la somme des ordres des cycles dont il est l'origine, augmentée de la somme des classes de ceux de ces cycles auxquels la droite est tangente. Comme on sait, ce nombre total est indépendant de la droite envisagée : c'est le degré de la courbe.

Dans le nombre total des tangentes à une courbe, issites d'un point, chaque tangente compte pour un nombre égal à la somme des classes des cycles auxquels elle appartient, augmentée de la somme des ordres de ceux de ces cycles dont le point considéré est l'origine.

Cç nombre total, indépendant du point envisagé, est la classe de la courbe.

D'après ravant-dernière proposition, la somme des ordres des cycles ayant une commune origine est ce qu'on appelle habituellement Vordre de multiplicité de ce point sur la courbe. Ainsi un point est multiple ou singulier quand il csl l'origine de plusieurs C}xles, ou bien encore d'un seul cycle, d'ordre supérieur à l'unité. Un point non singulier est l'origine d'un seul cycle, dont l'ordre est égal à l'unité. Une dernière observation,presquesuper(lue: ayant employé des coordonnées

fiTUDB SUR LKS POINTS SINGULIERS. o\y

iiomogènes, nous n^avons pas à parler de points à Tinfini, Ils sont compris dans Pexposé général qui précède.

8. Les deux nombres n, v donnent immédiatement Taspect graphique d'un cvcle réeL En nous bornant au cas où l'origine n'est pas à l'infini, nous voyons par les équations (5) que la courbe traverse ou non l'axe des ^ et l'axe des x, suivant que /i et n + V sont impairs ou pairs. Par conséquent, les quatre cas que peut ofTrir un trait continu et sans jarret aux environs d'un point se rencontrent eOectivement comme il suit :

i^ /i et y impairs. L'aspect est celui d'un point ordinaire. Une branche ordinaire correspond d'ailleurs au cas /i = v = i . Cette forme est sa propre corrélative.

a® n impair et y pair. L'aspect est celui d'une inflexion. L'in/lexion proprement dite ou ordinaire répond au cas

3*^ npairei v impair. L'aspectest celui d'un rebroussement de première espèce. Le rebroussement ordinaire correspond à/i=a, V = I ; il est corrélatif de l'inflexion ordinaire.

Les formes 2 et 3 sont corrélatives l'une de l'autre.

4° n et V pairs» L'aspect est celui d'un rebroussement de deuxième espèce. Cette forme est sa propre corrélative.

9. Quand une courbe est donnée par son équation en coordonnées rectilîgnes, l'étude de chaque point singulier se fait naturellement par la recherche des développements de r en x^ suivant une méthode bien connue, qui remonte à Newton. Mais, dans les applications, les données revêtent des formes diverses dont il faut savoir tirer parti directement. Arrêtons-nous un instant sur l'étude des cycles d'après Jes expressions des coordonnées en fonction d'un paramètre.

Supposons que^ pour des valeurs de ^ à module limité, les coordonnées d'un point mobile soient données ainsi :

(G) x — x.^-t^lt], V ^y,-r.r\:].

Suivant la convention du n® 2, les égalités expriment simplement que ;r et ^ sont développables en série procédant à la manière de la série deMaclaurin. On a seulement mis en évidence les valeurs x^^y^ de x, y pour ^= o, et le prenier exposant de t dans les développements. Cet exposant peul être supposé le même dans les deux développements sans restreindre la généralité.

Si Ton sait d'ailleurs que la courbe, lieu du point mobile, est algébrique, on pourra développer^ — y^ suivant les puissances de X — Xo» Ce développement pourra se tirer des précédents, et il aura la forme

7 — jo — (^ -- .ro)[ {x — XoY']'

On ne peut pas afGrmer que cette égalité représente un cycle d'ordre n.

Il peut arriver, en effet, que le dénominateur commun des exposants, le plus petit possible, soit un diviseur de /z. Soit /i| ce dénominateur. La dernière égalité peut donc être réduite ainsi

r — 7o ^ ( J^ — •2:o)[(a: — a'o)*']* Si l'on fait

ti est un paramètre correspondant uniformément aux points du cycle; c'est-à-dire qu'à chaque point du cycle correspond une seule valeur de ^1, et en même temps à chaque valeur de tt correspond un seul point.

La comparaison des deux expressions dex — Xo donne

D'ailleurs /i| est un diviseur de n ; soit donc n = pn^. ^^ • tirera de là successivement

On voit par là qu'à chaque valeur de ii correspondent

z valeurs de t. Ainsi la variable t ne correspond pas uniformément aux points du cycle ^ dès que p n'est pas Tunité. A chaque valeur de t correspond un point , mais à chaque point du cycle correspondent p valeurs de /.

En résumé : Si les développements (6) cons^iennent à une courbe algébrique, et qu^à chaque point représenté par ces développements correspondent des valeurs de t en nombre p ;

\^ Ce nombre p est un diviseur de n\

a® Les développements (6) représentent un cycle dont

V ordre est -•

Ce n'est pas, d'ordinaire, sur les développements (6) euxmêmes que le nombre p sera reconnaissable ; mais, le plus souvent, il sera connu d'avance par la nature du problème. C est ainsi que déjà dans deux cas, aux n*** 4 et 6, nous avons rencontré des exemples où il est certain d'avance qu'on a p = i Dans ces deux cas, d'ailleurs, la question même nous a fourir. le moyen d'éviter la considération de ce nombre.

Toutes les fois donc qu'un cycle nous sera donné par les développements de deux coordonnées en fonction d'un paramètre t^ le nombre p étant connu d'avance, nous aurons l'ordre de ce cycle en écrivant les développements sous la forme (6), c'est-à-dire en cherchant le premier exposant de t. Nous aurons la classe d'une manière analogue.

Comme il peut arriver que les développements contiennent des termes à exposants négatifs, il conviendra d'envisager le changement de coordonnées le plus général. Voici, en résumé, ce qu'on peut dire : Les trois coordonnées homogènes du point mobile étant développées suivant les puissances à exposants entiers et croissants d'un même paramètre, on cherchera trois combinaisons linéaires et homogènesHj Y, Z de ces coordonnées de telle sorte que les développements de X, Y, Z commencent par des termes à exposants, tous les

JOO APPENDICE.

trois différents. Soient alors a^ b^cces trois exposants dans

V ordre croissant : V ordre du cycle est > et sa classe est

• La lettre p indique le nombre des valeurs du paramètre qui correspondent à chaque point du cycle. Cet énoncé est efieclivement conforme à ce qui précède ; car, d'après les hypothèses, on aura, X, Y, Z étant supposés correspondre k a, by c respectivement,

10. Nous allons appliquer les notions précédentes à Tétudc des points singuliers en coordonnées polaires. Les lettres r, 8 désigneront le rayon vecteur et Tangle polaire; il y aura avantage, pour cette élude, à considérer, en même temps que 6, la variable X ci-après :

À "- c'' ~: rosO -H tsin 6.

Les droites isotropes^ c'est-à-dire les asymptotes de cercles, sont celles dont la direction est définie par X = o ou X = oo . Une courbe algébrique est définie par une équation algébrique entre r et \, Mais il faut observer qu'à un même point du plan correspondent les deux systèmes (r, 6) cl ( — r, 9 -i-ir), ou, ce quirevient aumême, (r, X)et( — r, — a^. A cause de cette circonstance, les équations en coordonnées polaires se partagent en deux catégories : dans la première nous rangerons les équations qui, mises sous forme entière par rapport à r, et irréductibles, sont changées par le changement de r, X en — r, — \. Tel est le cas pour Téqualion d'une conique, l'origine étant un foyer. Sur une telle courbe, à chaque point correspond un seul système (r, V). Dans la

seconde catégorie se placeront les équations qui ne peuvent être mises sous forme entière sans jouir de la propriété de rester inaltérées par le changement de r,X en — r, — a. C'est le cas le plus ordinaire.

11. Soit déduit de Féquation polaire, pour 6 voisin de Oo, un cjcle de déterminations de la variable r. Désignons par N le dénominateur commun aux exposants de (0 — Oq) dans le développement de r. En faisant 0 — ^o = ^") ^^ substituant le développement de r en / dans

a:=:rcos6, j=zrsinO,

on aura x tly développés suivant les puissances de t, comme il a été supposé au n'* 9. Pour appliquer le procédé expliqué dans ce n** 9, il suffira donc de connaître le nombre p.

Quand 8o est déterminé, c'est-à-dire quand \ n'est ni nul ni infini, le nombre p est l'unité. Effectivement, pour les équations de la seconde catégorie, les deux couples (r, A) et ( — r, — \) qui correspondent à un même point ne peuvent appartenir à un même cycle, puisque les valeurs origines sont différentes, au moins pour X, à savoir X© et — \,

C'est donc seulement pour X infiniment petit ou infiniment grand que p peut différer de l'unité ; et ceci ne peut avoir lieu évidemment que pour les équations de la seconde catégorie. Nous placerons l'examen de ce cas plus loin, et raisonnerons d'abord sur les équations de la première catégorie.

12. Nous examinerons d'abord les cycles correspondant à des valeurs déterminées de 8o? et, pour éviter une transformation évidente, nous prendrons immédiatement les deux coordonnées

X — /-cos^O — Oo), j'==:/-sin(0 — Oo).

Il y a plusieurs cas à. distinguer. La discussion gagne en! simplicité si l'on considère, au lieu der, son inverse.

55l APPBNDICR,

I. L^ développement de - ne contient pas de terme à exposant négatif, et le premier exposant fractionnaire, s'il en existe, est supérieur à l'unité :

ir:::AH-B(Ô-eo)....

Nous adjoindrons, pour ce cas, à ;r et j^, la troisième coordonnée z suivante :

D'après les hypothèses, ( - ) ^M ~ ) ne sont pas infinies;

ce sont précisément les coefficients A et B, qui d'ailleurs peuvent être nuls. Les trois droites x = o^y = o, « =o ne | sont donc pas concourantes^ et l'on peut envisagera:,^, ^ comme des coordonnées homogènes. En écrivant

£=(l)^cos(e e.)H-(i);sinC-o.)--;,

et substituant le développement de -^9 on voit que le développement de - commence par un terme de degré supérieur à

l'unité. Soit i -|- t le degré de ce terme, b étant d'ailleurs le dénominateur commun des exposants dans le développement de -• Nous aurons

Donc, sur la courbe, nous avons un cycle dont l'origine est ^' = û, 2 = o ; la tangente js = o ; l'ordre 6, la classe a.

On voit par laque rorigine du cycle est à l'infini quand [ - ] est Duly et que sa tangente est aussi à l'infini quand, en outre, ( - ) est nul aussi. Dans les autres cas, l'origine du cycle est à distance finie, et la tangente ne passe pas au points = j^ = o.

II. Le développement de - ne contient pas de terme à exposant négatif; mais le premier exposant fractionnaire est inférieur à l'unité :

(-) i^A-hB(e-6p)^..., a<b.

La lettre b désigne d'ailleurs le dénominateur commun des exposants.

En prenant la troisième coordonnée,

noas aurons

7=[0. -,^-nt], •J='*[o-

Le cycle a pour tangente la droite^ = o, pour ordre a, pour classe b — a. Son origine est à distance finie si A n'est pas nul, à l'infini si A est nul.

III. Le développement de - commence par un terme à exposant négatif.

i = A(0-0or^4-..., 6-60 = /*,

L'origine du cycle est ;r=.r = o; la tangente ^=o; Tordre a, la classe b.

554 ArPENDICB.

13. Examinons maintenant les cycles qui répondent aux directions isotropes. Supposant qu^il s'agisse de courbes réelles, nous nous bornerons à considérer Tune des directions, l'autre donnant des cycles conjugués. Nous prendrons donc seulement X infiniment petit.

Les coordonnées appropriées sont

Xi—sr — iy — ry

IV. Le développement de r suivant les puissances croissantes de \ commence par un terme dont le degré n'est ni i , ni — I.

Soit b le plus petit dénominateur commun des exposants dans le développement de r; nous aurons

D'après Thypothèse, aucun des deux exposants a — b^a-^-b n'est nul.

En complétant par la troisième coordonnée 2=r i, nous aurons trois résultats difTérenls suivant les grandeurs de a, b. Le nombre b est pris positivement; a est positif ou négatiT.

( I ) a — 6 > o < ^"^'"® ^1 = ri = o; tangente v, = o; ' ( ordre a — 6, classe a 6.

, , , ,1 Oriffine à rinfini; tangente y.mo;

( ordre b— a, classe b -\- a.

.^ , jTangenle à l'infini; origine sur /i :=o;

* I ordre a 6; classe — {b -{- a).