V. Le développement de r commence par un terme de

degré — i .

r = AX-» 4-BÀ "4-..., l = i\ .v,^t-^^[il j,-A = ^*[:l.

Origine à l^mfini; tangente ^'i = A; ordre ai, classe a.

VI. Le développement de r commence par un terme du premier degré, et le terme suivant est de degré moindre que 3.

Origine à distance finie; tangente ^i = o, ordre a, classe 26 — a,

VIL Le développement de r commence par un terme du premier degré, et le terme suivant est de degré au moins égal à 3 :

le coefBcient B pouvant d'ailleurs manquer. Envisageons la combinaison

BrX - A (Ç - a") rrrCX'"^ -f-. . .,

dont le premier terme est de degré supérieur à 2. On aura

X = £^ y,^.i^^[t], Bj, -A(x,-A)--=^'^^«[/].

Origine à distance finie; tangente B^, =A(jC| — A); ordre 2 fc, classe a,

14. Ayant passé en revue tous les cas, nous pouvons en tirer des conséquences. La première sera le calcul du degré et de la classe d'une courbe définie en coordonnées polaires.

Les lettres a et p, affectées d'accents, représenteront les sommes de nombres a ou 6 pour les divers cycles distingués par les chiffres romains correspondant à ces accents Par exemple, ^" — a^ désigne la somme de tous les nombres tels que b — a pour les divers cycles II, en d'autres termes pour tous les développements, delà forme (7), tirés de 1 équation entre r et 0.

556 APPF.NDICR

Calcul de la classe. — Appliquons la dernière proposition du n^ 7, en considérant les diverses tangentes issues du point x=^y=^ o.

Les cycles I n'en fournissent aucune ;

Les cycles II en fournissent P" — a'', nombre égala la somme des classes, puisque le point considéré n*est pas l'origine de ces cycles ;

Les cycles III en fournissent P'"-f- a"', nombre égal à la somme des ordres et des classes, le point considéré étant l'origine de ces cycles.

Nous avons ensuite, en tenant compte de chaque cycle IV, V, YI et de son conjugué, les nombres suivants :

Ainsi, laélasse de la courbe étant désignée par (x, on a

(8) fx = p"— a'^-f- ^'-V- a"' -h 2 [p7- -h «7 H- Pî 4- a? -+- a^' 4- 2 ?^' — »^' ]•

Calcul du degré. — Nous pouvons le faire de deux manières :

1° En prenant le nombre total des points delà courbe sur une droite arbitraire menée par l'origine. Les points variables avec cette droite ont pour nombre le double du degré, par rapport à r, de l'équation de la courbe, mise sous forme entière par rapport à r et à X. Désignons par d ce degré. Les points fixes sont à Torigine des coordonnées ; leur nombre est (n® 7) la somme des ordres des cycles ayant cette origine. Soit donc m le degré de la courbe, on aura

(g) m=: 2r/-f- a^'-t- sa^— 2 P7

2** Nous pouvons évaluer le degré en prenant les intersections avec la droite isotrope ^i = o. Ceci nous conduit à la formule

(q bis) m = a^-i- 2a7 -f- 2 3'/ .+- 2?;+ 2?'-+- 2?" -h 2?' '.

On remarquera que les formules (8) et (9 bis) n'exigent pas la connaissance du nombre d,

15. L'analyse qui précède se rapporte aux courbes appartenant à la seconde catégorie (n*'* 10 et 11). Examinons maintenant les modifications pour les courbes de la première catégorie. Les résultats du n^ 12 s'appliquent encore sans modification. Mais il faut observer qu'à chaque cycle de la courbe correspondent deux cycles différents pour r, 6. Par conséquent, dans les formules (8), (9) et (9 bis), les nombres afTectés des doubles ou triples accents doivent être divisés par 2.

Pour chaque cycle répondant à \ infiniment petit ou infiniment grand, deuxcas peuvent se présenter : ou bien deux cycles (r,^) différents correspondent encore à un seul cycle de la courbe; alors, dans les formules, les nombres correspondant*-* doivent être divisés par a ; ou bien un seul cycle {r,\) contien I à la fois r, ^ et — r, — X. En ce cas, le nombre p (n" 9) est éga.* à 2. Les nombres a, jî correspondants doivent donc être encore divisés par 2. Enfin le nombre des points de la courbe, mobiles sur une sécante variable issue de l'origine, n'est plus 2^/, mais seulement d. Donc enfin, pour les courbes de la première catégorie, les formules (8), (9), (9 bis) donnent te double de la classe et le double du degré.