EXEMPLE

- — c.os 0 •

Les nombres entiers/?, q sont premiers entre eux: l'un au moins diffère de i . Voyons d'abord si cette équation appcrtient à la première ou à la seconde catégorie. Pour un angle 0 les diverses valeurs de r répondent aux diverses déterminelions de cos^ (0 -H 2A:?t). L'équation appartiendra à la se-

558 ÀPPENDICB.

conde catégorie si, quel que soit 0, un de ces cosinus est égal et de signe contraire à cos - (0 4- it). On devra donc nvoir

^(O + tt) -{- {lh + l)7::rr^-(0-h2A-T:),

c'est-à-dire

Par conséquent,/? et 9, qui sont premiers entre eux,doiveol être tous deux impairs. Ainsi Véqiuition est de la première catégorie si lUin des nombres p, q est pair ; de la seconde, d ins le cas opposé.

Le nombre d est manifestement égal à q.

Aux valeurs déterminées de 9© ne répondent que des cycles I.

Les cycles répondant à X infiniment petit sont donnés ainsi :

zi-X' — X^ -hX

Ils appartiennent à la catégorie IV (i) si/? > y ; à la catégorie IV (2) si/> <C q. En posant )v= /^ et prenant r\ au lieu de

r, on a

Si /? et (jr sont tous deux impairs, ce développement donne une même valeur de rX pour deux valeurs égales et opposées de t. Ainsi, quand Téquation est de la seconde catégorie, le nombre p relatif au cycle considéré est égal à a.

En appliquant les formules (-8), (9) et (9 èw), les deux dernières donnant ensemble une vérification, on a ce résultat :

Si /? ou gr est pair, la classe delà courbe est 2(/?-f-y); son degré est le plus grand des deux nombres %p ou iq. Si p tl q sont tous deux impairs, le degré et la classe sont réduits dé moitié.

ÉTUDE 8UB LES POINTS SINGULIERS. SSq

Exemple 2.

r = V (A, COS58 -f- B, sin.vO).

Les divers nombres s sont supposés commensurables. En les réduisant à leur plus petit commun dénominateur q, el posant 6 = qtùj on mettra l'expression de r sous la forme /• = Acos/?w -+-B slnpiù -f- A'cos/>'(D -f- B'sin/>'(o-H ... =z/{ia), cm py p\ ... sont entiers et positifs. La lettre/? désignera le plus graod de ces nombres.

Le raisonnement employé dans le précédent exemple s'applique encore ici pour reconnaître la catégorie à laquelle appartient Inéquation. Ce sera la seconde catégorie si Ton peut avoir en même temps

(aA:— i)y? — (2^4-0 ç, (2X:— !)/>'=: (2/1' -h i)^, ...,

et ceci a lieu seulement quand tous les nombres q^ PiP', • • « sont impairs. On a aussi dz=iq.

Pour des valeurs déterminées de %qj nous avons des cycles I ou IIL Ces derniers interviennent seuls dans les formules que nous appliquons. Ils correspondent aux racines de /'(co) = o, dont la somme des ordres de multiplicité est égale à 2/>. Pour chacune de ces racIncS; le nombre désigné par b est Tunité, et le nombre désigné par a est Tordre de multiplicité. Ces racines sont, bien entendu, prises à des multiples près de 2ir. La caractéristique P"^sera égale au nombre de ces racines. Pour qu'il n'y ait aucun doute à cet égard, nous appellerons N le nombre des racines, distinctes entre elles et différentes de zéro, que possède l'équation

Nous aurons ainsi P"'=N, a'"= 2p. Le nombre N, on le voit aisément, est toujours pair quand les coefficients sont réels.

En remplaçant cos/xo, sin/>u>, . . . par leurs expressions

56o APPENDICE.

en Ay nous avons le développement de r suivant les puissances croissantes de A, sous la forme

C'est un cycle IV dans lequel a = — /?, P = y, si toulefob /> et ^ sont inégaux. Pour /?< y, c'est le cas IV (a); pour p> q^ c'est le cas IV (3). Enfin, pour j» = q^ nous avons un cycle V : le nombre a n'est pas rois en évidence, mais le nombre b est toujours égal kq.

Appliquant les formules (8), (g), (9 bis)j nous trouvons pour ces divers cas le résultat qui suit : la classe de la courbe es* le plus grand des deux nombres a/? + N ouaqr-hN; son degré est 2 (/?-+- gr). La classe et le degré se réduisent de moitié si tous les nombres q, p-^p^ • « • sont impairs.

Dans cet exemple encore, au cas où l'équation est de la seconde catégorie, le nombre p est égal à a pour les cycles répondant à X infiniment petit.

Exemple 3.

/•*- rosA-6.

\jà nombre k est commensurable, positif ou négatif. S'ilesl

positif, nous poserons A* = - ; s'il est négatif, A: = — -> 7 et

5 étant premiers entre eux.

Soit d'abord Ar = -» En écrivant l'équation sous la forme

on aperçoit immédiatement qu'elle est de seconde catégorie dans le cas seulement où s est impair. Pour abréger, traitons à la fois les deux cas en désignant par e le nombre i ou 3 suivant que s est pair ou impair.

Les cycles I correspondent aux valeurs de Oo qui n'annu-

ÉTUDE SUR LIS POINTS SINGULIERS. 56l

lent pas cosArOo* H n'y a pas de cycles II. Les cycles III répondent à cos/tOq = û. On les obtient donc en faisant

1 -f- X ' = o, ce qui donne, pour a, agr valeurs si s est impair, ^seulement si s est pair. D'après notre convention, ces valeurs de X sont en nombre tq. Pour chacune d'elles, on a un cycle III, dans lequel a = s,bz=zq. Donc a"^= tqs, P"'= tq^.

Pour X infiniment petit, nous avons des cycles V, dont chacun répond à une détermination différente de la puissance

- du binôme f i -H X * J. Le nombre de ces cycles est donc q.

On a d'ailleurs, pour chacun d'eux, a = 2q,b=^s si s est

impair; a=zq^ b= - si s est pair. C'est ce qu'on exprime à

s la fois ainsi :a=egr, 6 = e-- Nous avons donc

Les formules (8) et (9 bis), où nous remplacerons, conformément à la conclusion du n^ 15, [x et m par e[ji et em, nous donnent

£(1. = eçr* -f- tqs, em = ê^^ -f- sqs.

On voit que e disparaît et que le résultat est simplement celui-ci : Quand le nombre k est positif et égal à lajrac-

tion irréductible -> le degré de la courbe est 2qs, sa classe q{q-hs).

Soit, en second lieu, k = — -• La distinction des deux ' s

catégories se fait, comme précédemment, par la parité de s,

lAiS racines de cos/rO donnent ici des cyples I ou II suivant

que - est plus grand ou plus petit que l'unité. En raisonnant

comme dans le cas précédent, nous trouvons (xF=ztqs, P*^ = eq^ pour 5 < q- Au contraire, pour s'^q, les cycles II n'existent pas.

S. — CourbcM planes, 36

Suivant les puissances croissantes de X, on a

Les cycles apparliennent à la catégorie VI ou VII suivanlquc (] est inférieur ou supérieur à s.

ry>5, a=Ê(^-J5), 6 = le5, a- =.5^(7 -i 5), p^'^ije^^. C'est aussi pour q'^ s que nous venons de trouver

Nous avons ainsi

Êjj. rr: %q^ — zqSy

PouTq<s ^ em.:.e(

6{i - 2 {tqs — e<7'), E75.

Par conséquent, le nombre k étant négatif et égala la fraction irréductible — ^^ le degré de la courbe est qs; sa classe

est q{q — s)ou 2q{s — q), suivant que q est supérieur ou inférieur à s(^).

Cet exemple donne lieu à une vérification fort intéressante. Par rapport à un cercle de rayon 1, concentrique à l'origine, la courbe proposée a pour polaire réciproque une courbe de même équation, sauf changement de A" en A:' :

(*) En écrivant l'équation sous la former~*cosA:6 = i,on passe aux coorduanées rectangulaires ainsi : {x-h iy)~^ + (a? — i.v)""* = 2. Suivant une (iénomination empruntée à M. de la Gournerie, la courbe est triangulaire symétrique. Les résultats ci-dessus s'accordent avec ceux qu'a établis, d'unr autre manière, M. de la Gournerie, dans louvrage intitulé 5ur tes surfaces réglées étraédrales symétriques.

ÉTUDE SUB LCS POINTS singulibus. 563

lid connaissance du degré entraîne donc immédiatement (elle de la classe. En faisant le calcul par ce moyen, on retrouve les résultats ci-dessus.

17. Soit m un point quelconque d'une courbe C, et soit mm I la tangente de C au point m. En un point fixe O, on élève la perpendiculaire Om% au rayon vecteur Om, et Ton prend le point d^inlersection de Omi avec la tangente mirts^ Go point /Wi engendre une courbe C«, que nous appellerons la tangentielle de C, relative au point O.

Nous allons, comme seconde conséquence de Télude faite aux n°' 12 et 13, conclure les singularités de C|, connaissant celles de la courbe C. En appelant Ti et 6, les coordonnées polaires de m% par rapport à O, r et 6 étant celles de m, on a

Ainsi, sauf une rotation de 90^, la courbe C| se déduit de C par le changement de - en sa dérivée.

Examinons successivement les diverses catégories de cycles qui peuvent exister sur C, pour en conclure les cycles correspondants sur G|.

Parmi les cycles I, ceux dans lesquels le développement de

- ne contient aucun exposant fractionnaire donnent lieu pour

-;- à des cycles I présentant le même caractère. C'est notamment ce qui a lieu pour les valeurs tout à fait arbitraires de Oo-

En second lieu, ceux des cycles I, où le premier exposant fractionnaire est supérieur à a, donnent, pour C,, encore des cycles I.

Enfin ceux où le premier exposant est inférieurà 2 donnent;

564 APPEXDICE.

pour C« , des cjcles IL Soit i + ^ un quelconque de ces exposants. Conformément aux notations précédemment employées, nous poserons ai = Sai , ^i = 'Eb^.

Il y a ainsi, pour C|, de nouveaux cycles II, pour lesquels les éléments analogues à a" et ^''^sont a, et ^\.

Les cycles II de C donnent, pour C| , des cycles III, dont les éléments analogues à a'" et P"' sont P" — a' et p^.

Les cycles III de C conservent leur caractère pour C| ; mais les éléments sont a"^-|- P'" et P"^.

Les deux caractéristiques totales des cycles III de C| sonl donc a'" 4- ?"'+ P'- a"' et p^'^- p^

Pour l'étude des cycles qui répondent à X infiniment petil, transformons la formule (lo) en celle-ci :

Si - est développé suivant les puissances croissantes de \ on

en déduira le développement de — au moyen de cette formule. Il est visible que les coeilGcients seuls sont modifiés, les exposants restent inaltérés. Il n'y a d'exception que pour le tsrme indépendant de X, s'il existe : ce terme disparaît dans

le développement de — • D'après cette remarque, nous concluons immédiatem.ent que les cycles IV (i), IV (3), V et VII, relativement à r, donnent lieu respectivement à des cycles de même catégorie relativement à r|. En outre, pour les trois premiers cas, on aperçoit de suite que les nombres caractéristiques se conservent. Pour le cas des cycles VII, le même fait a lieu, comme nous allons le prouver.

Les nombres caractéristiques des cycles VII ont été définis ainsi : ayant

. r =:AX-+-BX»H-...,

ÉTUDE SUR LES POINTS SINGULIBUS. oG5

on forme la combinaison

dont le développement commence par un terme de degré supérieur à 2. Sott ^ + r cet exposant; on a par là le nombre €z, b étant déjà connu. Ceci revient à dire que les trois premiers termes du développement de - sont les suivanis :

on en conclut immédiatement r I B

i>, ~"AX " A*^

d'où la preuve du résultat annoncé.

Nous avons mis à part les cycles IV (2) et les cycles VI. Les premiers se conservent, avec leurs caractéristiques, sauf an cas a = o. Dans ce cas spécial, envisageons le second terme du développement de r :

on en conclura

rrr:A-f-BX''-f-.

De là, pour ri, un cycle qui appartient à la catégorie IV (3) si c> 6, à la catégorie V si c = 6, à la catégorie IV( 2)si c<ib. Mais, en ce dernier cas, le premier exposantderi, pour cenouveaucyc«eiy (2), n'est pas nul. Nous désignerons par yla somme

5CG APPK.NDici;.

des nombres, tels que c, relaliisaux divers cycles IV (9.), pour chacun desquels : i^ a est nul, 7^ cest inférieur à 6. Ou voit que, dans le passage de C à Co la caractéristique a!J se change en al,^ — y. Quant aux deux autres cas c>6, ils n'interviendront pas dans l'application que nous ferons des formules (vS), (9), (9 bis) à la courbe C| ; effectivement les cycles IV ( 2), IV(3), et V n'y figurent que par leurs caractéristiques p, cl cette dernière se conserve ici.

Les cycles VI sont caractérisés par le développement

{a<2by,

/•=7-AX-i-BX'**+.

on en tire

i I D —f /•~ AX A'

77r = -Âx + ('-ÂJÂi^

IjC cycle se conserve donc, avec ses caractéristiques, sauf au cas a = 6. Pour ce cas spécial, il convient de prendre un terme de plus dans les développements, et d'écrire

r = ÂX-A^-A'^ -^'" (^<^)'

ii\ AX

C'est, pour r< , un cycle VII si 5 > a 6 ; un cycle VI si 5 < a t. Mais, en ce dernier cas, la nouvelle caractéristique est 5, an Heu de a, et elle diffère de b. Si5[>i 6, les caractéristiques a*' et P""', quand on passe de C à C|, sont diminuées de la somme des nombres analogues fr, et p^" est augmentée de celte même somme. Au point de vue de l'application des formules (8),(9),(96^),cefaitintroduit,danslaformule(8)seulement, une diminution du dernier élément. Cette diminution est

ÉTUDE SUR LBS POINTS SINGULlBnS. 56y

égale à la somme des nombres 6. Si s<^2b, ^"^ n'est pas changée, et a^' est augmentée de la somme des nombres (s — 6). Ce fait produit aussi, dans la formule (8) seulement, une diminution Jl(s — 6) du terme — a"".

Nous réunirons ensemble ces deux diminutions, dont nous désignerons la somme par S.

En résumé, quand on passe de la courbe C àla courbe C|,

ol'j P' sont remplacés par «i» Pi

Quant à tous les autres éléments qui figurent dans les formules (S), (9), (9 6«), ils se conservent, saufune diminution y pour a'J et une diminution 8 pour a P"^' — a^'.

Le nombre d se conserve, comme on le reconnaît a priori et comme le prouve aussi la comparaison des formules (9) et (9 bis). Enfin les courbes C et d appartiennent toutes deux a une même catégorie. En désignant, comme nous Tavons déjà fait, par e celte catégorie, par /ni el {i.| le degré de la courbe C| , nous aurons

18. Nous venons d'admettre que les courbes Cet C| sont toutes deux de la même catégorie. Il y a cependant une exception à cette règle générale. Considérons un développement

de - suivant les puissances croissantes de X. La courbe C est

de la seconde catégorie si les numérateurs de tous les exposants, réduits à leurs plus simples expressions, sont impairs ; elle est de la première catégorie dans le cas opposé. Dans le

développement de — » tous les exposants se conservent, sauf

Tcxposant zéro. Les deux courbes sont donc de catégories

différentes dans un seul cas, celui où le développement de -

ne conlient que des exposants à numérateurs impairs, sauf un terme constant,

La courbe G est ainsi déduite d^une courbe C, apparlenanl

à la deuxième catégorie, par Taddîtion d^une constante à •

Les formules (i i) doivent être, pour ce cas, modifiées ainsi :

am, — /ii = p*'-hP''"-a'.

Voici un exemple : - = a-\- cosO. On trouve aisément r

p-'^r p'=: 01'= pi = «4 = 8 := o, Y=i; m = 2, ix=i.

Il en résulte [i,| = o, mi = i . Eflectivement C| est une ligne droite, directrice de la conique G, relative à Toriginc qui est un foyer,

19. Répétons la même transformation sur Gj, et considérons la courbe G2, tangentielle de G,. Il y a déjà une simplification consistant en ce que G| ne contient aucun de ces cycles IV (a) et VI, qui ont exigé un examen spécial, et introduit le terme — a (y + S) dans la première équation (i 1).

Parmi les cycles I, à exposants fractionnaires, qui existeni dans G, il nous faut maintenant distinguer ceux pour lesquels le premier exposant fractionnaire est compris entre a et 3. Soit ainsi

et faisons I!a2 = a2, llb'i=^%. Pour Inapplication des formules (11), relativement à G2 et G|, les caractéristiques 3"', p", cl", p,, a, vont être remplacées par p'"-|- p^ p,, a„ Pa, 0(3; et nous aurons

e(fx, - y.,) -^ p^H- pM- p, -H p,- a,, E(/n. — w, ) — p^-f- P'-h P, — «i.

ÉTUDI SDR LBS POINTS SKNGULIEHS. 669

D'une manière générale, disons qu'un cycle I de C, à exposants fractionnaires y est du rang n quand le premier exposant

fractionnaire du développement de - est compris entre n et

71 4- I . Dans le passage de C à C|, chaque cycle I de rang ai, pour C, donne un cycle I de rang n — i pour C|.

Le rang n n'est pas moindre que l'unité ; le rang zéro, par les définitions du n°12, constitue un cycle II; le rang négatif caractérise un cycle III.

Envisageons la série indéfinie des tangentîelles successives C, C|, Cj, ... et prenons celle qui a le rang Ar+i, C*. Les cycles I qui, pour C, ont les rangs A:-Hi, Ar-^-a, ... donnent pour Ga des cycles I ayant les rangs i, 2, .... Ceux qui, pour C, ont le rang k, donnent pour G* des cycles II; ceux enfin qui, pour G, ont des rangs moindres que Ar, donnent pour C* des cycles III.

D'une manière générale, soit

i = A -f- B(e — Oo)4- . . . -t- L(e - ôo)'*-f- M(o - Oo)""""*" -f- . . .

Téquation d'un cycle de G ayant le rang n, et faisons pour tous les cycles de ce même rang Sa = a/,, £6=^/2. Pour G^, les caractéristiques analogues à a'' et ^^ sont aj^ et ^a; et les caractéristiques analogues à 01!^ et ,6"^ sont

a^-a'-a,-a,...-a*,-hA-(?'-»-n^-(^--i)?*...-Hp*-„

Considérons à la fois Ca.i et Ga, et, distinguant leurs classes et leurs degrés par les lettres |x et m affectées des indices correspondants, nous aurons

30. Nous avons, par les formules (i^), acquis la connaissance du degré et de la classe de chacune des courbes

G, C|, Ca, .... Manifestement, il n'y a là aucune loi générale pour un rang déterminé; car on peut concevoir des exemples où la suite des nombres a^, ^k se prolongera si loin qu'on voudra^ et d'une manière tout à fait arbitraire. Mais, quel que soit cet exemple, l'équation choisie étant algébrique, cette suite (oL^y P*) sera toujours limitée. Soit (a^, p„) le dernier terme de cette suite. Les équations (i a) seront valables jusqu'à k = n inclusivement. En posant, pour abréger,

nous aurons ensuite

A partir d'un rang toujours limité, supérieur d^une unité au rang le plus élevé des cycles I de la courbe initiale^ les degrés et les classes des tangentielles successii^es d'une courbe algébrique quelconque forment deux progressions arithmétiques de même raison.

a . Nous prendrons pour exemples les trois courbes considérées au n** 16.

Exemple 1.

1= cos ^ 0.

A ce qui a été dit déjà (n^l6) nous devons ajouter que: 1* les cycles I sont tous sans exposants fractionnaires; 2^ les cycles IV (a) ne sont pas dans le cas exceptionnel ou le

tTDDB SUR LES POINTS SIRGtLIcnS. 671

premier exposant est zéro. Donc le rang à partir duquel s'applique la dernière proposition est zéro,, ainsi que la raison R. Les tangentielles successives sont du même degré et de la même classe que la courbe proposée. Effectivement, elles lui sont toutes semblables.

E1EESIPLE 2.

r = A cos^ 0 + B sin ^ 0 H- A'cos ^ 0 H- B' sin ^ 0 -h

Les cycles I sont sans exposants fractionnaires. Les cycles IV (2) ne répondent pas à l'exposant zéro; il n'y a aucun cycle VI ou IL Donc là aussi la loi régulière commence avec la courbe elle-même. La raison R coïncide alors avec la caractéristique ^'", Cette caractéristique est ici le nombre désigné au n^ 16 par N. On a donc

Le nombre e est, comme on l'a vu, égal à a si q^p^ p\ • . • sont tous impairs; à i dans le cas opposé.

Cet exemple fournit un moyen simple pour obtenir une raison ad libitum.

Exemple 3.

/•^'=cosA-0

Si k est positif et désigné par ~> la discussion faite au n® IC

montre que la loi régulière commence à la courbe elle-même. La raison R est égale à e^^. On a donc

mn — 2qs -f- hg*, ix^ = qs -f- (A -h \)q-.

Si Ar est négatif et désigné par — > > le développement de r suivant les puissances de X (n'' 16) montre que les cycles VI n'appartiennent pas au cas d'exception, sauf dans la seule hypothèse ^^1,5^2. Laissant de côté cette courbe spécial^.

nous voyons que le terme (y -h 8) de la formule (i i) est nul

Quant aux cycles qui répondent à des valeurs déterminées de Oo, leur caractère est révélé par la formule

Ils sont à exposants fractionnaires si q n*est pas égal à runité et si cos ^Oo est nul. Ce sont des cycles I ou II suivant

que - est supérieur ou inférieur à Tunité.

Si 9 = 1, alors on n'a que des cycles I sans exposants fractionnaires. La loi régulière commence avec la courbe, et la raison est nulle. Le degré et la classe se conservent donc les mêmes pour toutes les courbes successives. C'est un résultat dont la vérification directe est facile. Il y a exception seulement pour le cas particulier ç = i , 5 == a. C'est l'exerople que nous avons cité au n^ 18, pour le changement de catégorie entre C etC|.

Si q diffère de Tunité, nous pouvons réunir les deux cas s>q et s <iq dans un seul, en disant que les cycles correspondant à cos ^ 0« = o ont pour rang le plus petit entier

contenu dans -• Soit n cet entier; les caractéristiques a'", P"', • . . sont toutes nulles, sauf

On aura donc les résultats suivants :

'.'Vil — m -H <7- -4- g(5 — nq), |x^+, ~ fi-H ay'-f- ç(5 — /17), cl généralement -m^^.,,^ m -h qs ^ (h '- n)q^y [x^+a=î)x4- ^.»H-(/i-4- t — ")7''

22. Si, par rapport à un cercle de rayon 1 , ayant son centre à Torigine des coordonnées, on prend les polaires réciproques C et C\ des courbes C et C|, la courbe C\ est la rf^t'^loppée de C L'analyse qui précède nous apprend donc à trouver le degré, la classe, les singularités de la développée d'une courbe algébrique quelconque; la proposition du n^ 20 nous donne celle-ci :

A partir d'un rang toujours limité, les degrés et les classes des développées successives d'une courbe algébrique quelconque forment deux progressions arithmétiques de même raison.

Les exemples du n® 21 constituent des exemples pour cette nouvelle proposition. Â ce point de vue, le premier exemple se rapporte aux épicycloïdes algébriques.* Le troisième se rapporte encore aux courbes r^=cosArO, suivant une remarque faite à la fin du n^ 16, et d'après laquelle ces courbes ont pour polaires réciproques des courbes de même définition.

23. En considérant une équation entre r et 0 comme définissant la courbe C^ nous avons là les coordonnées qu'on peut appeler polaires tangentielles. L'angle 0 est celui que

fait la normale avec un axe fixe; - est la distance de l'origine

à la tangente. Â ce point de vue, la distinction des équations en deux catégories acquiert une importance beaucoup plus grande. Pour la courbe C, cette distinction est relative à rorigîne des coordonnées; quand on prend arbitrairement cette origine, toute courbe est de seconde catégorie ('). Mais, pour les coordonnées polaires tangentielles^ la distinction est

(*) L'équation d'une courbe est de la première catégorie quand l'origine a la propriété suivante : sa distance à un point quelconque, pris sur la courbe, est une fonction rationnelle des coordonnées rectilignes de ce dernier

fondamentale. En eOet, le changement d'origine, dans ce système de coordonnées, se fait par le changement de - en

- + acosQ + b sinO, ce qui ne modifie pas la catégorie. Les

courbes^ dont Téquation en coordonnées polaires tangenlielles appartient à la première catégorie, sont celles que M. Laguerrc a appelées courbes de direction ( ' ).

(') Sur les hypercycUs {Comptes rendus, t. XCIV, p. 778). — Sur la Géométrie de direction {Bulletin de la Société mathémaligueft. VHJ, p. 196).

fiTUDE SUR LES POINTS SINGULIERS. 5^5