DEUXIÈME PARTIE

24. Soit ^(j?,^) une fonction rationnelle pouvant contenir, non seulement x et ^, mais encore les dérivées de y par i*apport à X. Envisageons, d'autre part, un cycle défîni par les développements de x et ^suivant les puissances ascendantes, ù exposants entiers, d'une variable t. De ces développements

Cl Y C* Y

on en peut tirer d'analogues pour ~-> -,\y ••.• Faisons la

substitution dans ^, et ordonnons. suivant les puissances croissantes de t. Le degré du premier terme sera appelé ici l^ ordre de la fonction ^ relativement au cycle. Cet ordre est indépendant du choix de t, pourvu que cette variable corresponde uniformément aux points du cycle (n^ 9).

Envisageant maintenant une courbe, nous laisserons de côté le cas où tous les points de la courbe rendraient $ nul ou infini. Il n'y a alors sur la courbe qu'un nombre limité de points, origines de cycles relativement auxquels l'ordre de <l> ne soit pas nul.

25. Théorème. — La somme des ordres dUine même fonction relativement à tous les cycles d'une même courbe est égale à zéro.

Supposons d'abord que <I> contienne seulement a: et ^ sans dérivées, et soit simplement un polynôme entier. Soit F(a:, ^) = o l'équation de la courbe, et envisageons l'équation en x seul, qui résulte de l'élimination à^y entre F = o et ^ = o. Pour simplifier, nous pouvons, sans restreindre cependant la généralité, grâce à la signification

donnée à x eiy, supposer que, dans F, ne manque pas le terme en ^ de degré égal à celui de F. Conséquemment, si Ton prend toutes les racines y de F = o pour une valeur arbitraire de Xy on aura, comme il est connu , pour le premier membre de l'équation résultante,

en mettant, pour j', dans les divers facteurs du produit, toutes les racines répondant à x.

Envisageons un cycle dont Torigine ait la coordonnée finie 070; et représentons-le par un développement de y suivant les puissances croissantes de ^ — Xq. Soit q le plus petit commun dénominateur des exposants. Ce développement est susceptible de q déterminations diverses ; mais, $ ne contenant aucun exposant fractionnaire, chacune de ces déterminations, mise à la place de j^ dans ^(j?,^), fournit un développement dont le premier terme est, pour chacun, d'un même

degré h par rapport k (x — XqY. Si Ton fait x — Xo = ^^, on reconnaît que h est ce que nous venons d'appeler Tordre de ^ relativement au cycle.

Si, dans (i3), nous supposons x voisin de Xof tous les iacteurs du second membre pourront, de la même manière, être développés suivant les puissances croissantes de^x — x^)'^ et le premier terme du développement aura pour exposant la somme des nombres analogues à A, ou somme des ordres de 4» pour tous les cycles dont l'origine a la coordonnée ar«. Or cet exposant marque le degré de multiplicité de la racine x^ dans R(j:). La somme totale de ces degrés est le degré de R(j?). Donc le degré de R(x) est égal à la somme des ordres de ^ pour tous les cycles de la courbe dont les origines ont des coordonnées Xq finies.

D'autre part, nous pouvons évaluer le degré de R(:r) par celui du premier terme de son développement suivant les puissances décroissantes de x. A cet effet, on peut répéter le

même raisonnement pour les divers cycles qui répondenl à X infiniment grand. Un tel cycle est représenté par un dévc loppement de j^ suivant les puissances croissantes de ^, quand on a posé x^^t"^. Il en résulte que le degré du premier terme dans le développement de R(j?) suivant les puissance! décroissantes de x est égal à la somme, changée de signe, de^ ordres de $ pour tous les cycles répondant à x infiniment grand. En égalant ces deux expressions du degré de R(a?), on a la preuve du théorème annoncé, pour le cas supposé où ^(Xj^) est un polynôme entier en a; et ^ seuls.

Pour une fonction rationnelle, Tordre relatif à un cycle est égal à la différence des ordres des polynômes entiers qui servent de numérateur et de dénominateur. Donc la proposition s'étend naturellement à une fonction rationnelle de x^y.

d'y d^ V* Pour une courbe algébrique, les dérivées --j-y -7-^> •••

peuvent s'exprimer rationnellement en x et y. Donc la proposition s'étend aussi au cas où la fonction ^(x, y) contient ces dérivées. La démonstration en est donc complète.

26. Pour les applications du dernier théorème, il y a toujours nécessité de distinguer, parmi les cycles relativement auxquels l'ordre de ^ n'est pas nul, ceux pour qui cette cir* constance est due uniquement au choix des coordonnées. Nous allons faire cette distinction une fois pour toutes- Pour ce but, une courte digression est nécessaire.

11 s'agit d'introduire, d'une manière générale, la projectivité dans les équations différentielles, de manière à pouvoir y faire aisément les changements de coordonnées. A cet effet, nous considérerons des transformations qui serviront surtout au raisonnement, et dont nous nous affranchirons ensuite.

dv d^ y Soit une équation algébrique entre jc,^', --- > ^-^» .... Nous

supposerons un changement de variable indépendante, laissant d'ailleurs la nouvelle variable t indéterminée; et nous S. — Courbes planète ^1

imaginerons les coordonnées rendues homogènes, en prenant pour nouvelles coordonnées u^^ it^, Uz, et posant

L'équation ainsi transformée sera supposée mise sous forme entière; soit alors ft{u) son premier membre. La lettre ii, mise entre parenthèses, rappelle les coordonnées, et rindice/ rappelle la variable indépendante.

La fonction/r ( 14 ) jouit évidemment de deux homogénéités, Tune par rapport aux lettres 1/, abstraction faite des indices de dérivation, Tautre par rapport aux indices de dérivation. Mais elle a des propriétés plus caractéristiques, qui se recoonaissent comme il suit.

Désignant par \ une fonction quelconque de t, et par «'ij ^27 ^3 de nouvelles coordonnées, posons

(l5) //i=rXr,, W, =-X(',, «, rziXi',.

D'après la règle de Leibnitz pour les dérivées d*un produit, on aura

s étant le degré de /par rapport aux lettres u, et cp ne contenant que des dérivées d'ordre inférieur à l'ordre même dey. Mais la comparaison des formules (i4) et ( i5) montre que la nouvelle équation transformée doit différer de la précédente par le changement seul des lettres u en les lettres 9. Donc 9 est identiquement nul, et Ton a

(16) Mu)^}/^Mv).

Par un raisonnement tout semblable, on établit la propriété suivante^ relative au changement de la variable indépendante :

ÉTUDE SUR LES POINTS SINGULIRnS, 679

L^exposant (o est égal au poids de / par rapport aux indices de dérivation.

27. Pour rendre l'équation projective, prenons, comme figure de comparaison, un quadrilatère arbitraire. A cet eflet, ntroduisons les coordonnées de quatre points. Abrégeons /écriture en employant la notation {abc) pour le déterminant formé avec les coordonnées a^y a^y a^'^b^y 63, b^\ C|, c^, c% (lo trois points a, 6, c. Désignant par w les nouvelles coordonnées du point variable, nous poserons

I Ui=z{wbc){acd){abd),

(iS) \ Uj — {ivca)(bad)(bcd),

\ Ui^=^{wab){cbd)(cad),

En substituant, nous avons, au Heu de/t{u)y une fonction des coordonnées (V, a, b, c, dy qui peut, dans certains cas, se décomposer en le produit de deux facteurs dont Tun ne contienne pas les w. Prenant cette hypothèse, la plus générale^ nous aurons ainsi

les lettres entre parenthèses sont destinées à rappeler les coordonnées qui figurent dans les fonctions; la lettre a est mise pour a, 6, c, d.

D'après la forme des équations (18), une même substitution linéaire effectuée à la fois sur les (v, a, b^ c, d n pour effet de multiplier les u par le cube du déterminant û de la substitution. Donc le produit cp(a)Fr(«', a) se reproduit multiplié par A*^, et les deux facteurs se reproduisent chacun multiplié par une puissance de A. Désignant par W, A, . . • les nouvelles coordonnées, nous aurons donc

(19) F,(«sa)=AOF,(W, A).

La fonction F^(«v, a) est un covariant différentiely conte-

58o APPBNDICB.

nant uniquement, ouire les coordonnées du point variable et leurs dérivées, les coordonnées de quatre points a, b^ c, d. Tout autre élément peut y être envisagé comme purement numérique. Si Téquation différentielle, qui a servi de point de départ, exprime une propriété projective, son premier membre se présente naturellement comme une fonction des coordonnées du point et des éléments d*une figure, fonction inaltérable par les substitutions linéaires. Mais toute figure peut être projectivement rapportée à quatce points, et représentée par ces points et des nombres. Donc toute forme projective d^une équation différentielle équivaut à celle que nous venons de considérer.

Le covariant différentiel F^ (w, a) peut ne contenir aucun des points a, 6, c, rf. C'est alors un invariant dijff'érentieL Pour ce cas spécial, dont nous verrons des exemples, on a8 = 3e.

£8. Nous pouvons maintenant revenir, pour le covariant, a la forme simple dans laquelle les coordonnées du point mobile sont réduites à deux, et où Tune d'elles est la variable indépendante. Ce covariant donne lieu à deux identités semblables à (16) et (17). Remettant donc la lettre u^ au lieu de w^ pour les coordonnées courantes, et supprimant l'indication des coordonnées ez, 6, . . nous aurons, en employant les formules (i4)>

Dans Fx(^)les coordonnées sont x^y^ i.

En faisant maintenant un changement de coordonnées quelconques, appliqué non seulement au point mobile, mais encore aux points a, 6, c, d, et réduisant aussi les coordonnées du point mobile à X, Y, i, nous aurons de même

FUU)=Ui(f)>(X).

fiTUDE SUR LES POINTS SINGULIERS. 58l

Enfin, en nous servant de Pégaliié (19), nous conclurons

Écrivons explicitement les formules du changement de coordonnées :

et nous aurons, pour l'égalité définitive que nous voulions obtenir,

Telle est la formule pour le changement de coordonnées dans le premier membre d'une équation différentielle exprimant une propriété projective. *^

29. Les deux exposants 5, co sont importants pour ce qui vj suivre. Il sera utile de savoir les calculer sans exécuter le changement de coordonnées.

Supposons le point mobile aux environs de Torigine du cycle

ar — jTo =/?î(r -70)' -H/?3(7 -Jo)' -H • . • »

les coefficients /^j, 773, . . . élant arbitraires. Au second membre de (20), tous les facteurs ont, pour 7 =70, des va-

leurs finies différentes de zéro, sauf \-f-) dont le développement commence par un terme du degré — o) en 7 — 70-

Par conséquent, le nombre co, changé de signe, est Tordre de Fj:(^) pour le cycle considéré. On pourra aussi calculer cet ordre en renversant Téquation du cycle, et prenant 1 %

Substituant ce dernier développement, à coefficients arhi-

58â APPENDICE.

traires, dans Fx(^), on aura, pour le degré du premier terme en X, le nombre

Exemple : soit Fx(^) = -r^' Le degré du premier terme

est — |. Donc (0 = 3.

Pour calculer S, mettons, dans (20), à la place de dx son expression

(a3X-f-B3Y-hY.U«,c^X-i-Pi<fy)-(g.X + P.Y4-Y.)(a.^X+^r/Y) Supposons maintenant le point mobile sur le cjcie

D'après Texpression de dx, le second membre de la formule (20), développé suivant les puissances décroissantes de X, a son premier terme du degré 8 — 20). Donc, en substituant le développement de y dans Fjc{x)y on aura pour le degré du premier terme 8 — 2(0; ce qui détermine S.

d*Y Dans l'exemple Fx{^) =771' '® premier terme est du

degré — 3. Donc 8 — 20) = — 3, et, par suite, 8=3. Ces résultats se vérifient aisément si Ton observe que, pour cet invariantdifférentiel, la forme Ff(a)estle déterminant {uufnf^^ C'est le nombre 8 — 2<o que le calcul précédent donne di- . rectement,etnon pas 8. C'est aussi 8 — 2(0 qui intervient dans les résultats, et nous poserons

30. Le nombre — w est l'ordre du covariant Fx(^) pour un cycle dont la tangente est a: =Xo. Pour une courbe quelconque, le nombre des pareils cycles est la classe |x de la courbe. Donc la somme des ordres du covariant, relativement à tous ces cycles, est — |jl<o. De même — w' est l'ordre du co-

fiTl'DB SUR LES POINTS SINGULIERS. 583

variant pour un cycle dont l'origine a ses coordonnées x^y^ infinies. Pour une courbe du degré m, la somme totale des ordres du covariant, relativement à tous les cycles analogues, est — m<o'.

Pour appliquer la proposition du n^ S5, nous avons ainsi dans la somme des ordres du covariant, relativement à tous les cycles de la courbe, cet élément — (co(jl H- <o'm), qui*sc rapporte exclusivement aux coordonnées. Au contraire, tout autre élément de la somme est indépendant de ces coordonnées. En effet, voulant calculer Tordre de Yx{^x) relativement à un cycle, nous pourrons, dans la formule (20), supposer Torigine de ce cycle et sa tangente répondant à X = Y = o, et Y = o. Si l'origine de ce cycle ne répond pas aux coordonnées Xy y infinies, et si la tangente n'est pas j? = Xo, alors les facteurs du second membre dans (20), sauf Fx(X), sont d'ordre zéro. Donc Tordre de Yx (j?) est égal à celui de Fx(X). Il est indépendant des coordonnées X, y et peut être calculé en réduisant les coordonnées à la forme la plus simple. En désignant par û la somme des ordres du covariant, ainsi calculés pour chaque cycle, on aura donc

(2i) • Û = cojA -I- (i)'m.

d}Y 31 . Exemple : F = -—j- Soit le cycle

Le degré du premier terme, en x, est «L'ordre de F,

relativement à ce cycle, est donc (v — /i). D'où la formule

(22) ^(y — ri)^Zi^xi. — m\

où la sommation doit s'appliquer à tous les cycles pour lesquels les deux nombres v, n sont différents.

Cette formule (212) donne le nombre des points d'inflexiofi ;

1 1? /^\ ,///',r= I, v = 2)apporlea

en J?, le nombre — ^ '^X'

^^/''^.^'^ ^nd exemple, où nous cnvisa-

Exemple : soi ^y v/>; jiff^^^^liel sous laforme F,(tt).

est — f . Donc ^ "'S^^ti)^^ déterminant formé avec la pre-

Pour calcu' f^^r

expression '^^^T ,//'j> "«"»» «»"i> "i"îî

/ — iiîiL^lt.^' W^''^^ ^®^ lignes suivantes seront les dé-

^s''' seco^^^^y • • • cinquièmes de ceux de la pre-

SuDDO ^^^Ip^ra^^^ invariant; car c'est le premier membre

'^^.yu'^^' r^T^renlielle des coniques. Nous avons îmmé-

/W''^%/ S = 12 : c'est le degré par rapport aux

)i>/'''"^'%^'5 : c'est le poids par rapport aux indices de

uit^^!' k;itis\^ en calculant û comme il a été dit au n' 30,

à^^ ^^a(i)= — 10, et par suite ,

^^^fls les cycles en deux catégories ; la première sera ca-

Juée par Tinéfiralité de la classe et de Tordre ; la seconde

..^^alilé.

' Prenons un cycle de la première catégorie sous la même

/ rai« qu'au d? 31, et réduisons l'invariant à la forme F^(x).

r, première ligne du déterminant se compose des termes

^'^après, convenablement rangés :

Leurs parties principales ont, en a?, les degrés respectifs

tous nombres inégaux. Par conséquent, le déterminant luimême, formé avec les dérivées prises par rapport kx^z pour partie principale le monôme auquel il se réduirait si chacun

, £71:DB sur LF.S POINTS SINGULIERS. 585

.es ci-dessus était réduit à sa partie principale. Le «e ce monôme est égala la somme des degrés des termes,

.muée du poids, c'est-à-dire 8 H 1 5. Donc l'ordre de

i'invariant, relativement au cycle, est 4^ — 'jn. Donc les cycles de la première catégorie apportent à la somme û l'élément

Pour un cycle de la seconde catégorie, d'ordre et de classe n, le calcul précédent ne s'applique pas. Dans la première ligne du déterminant, les termes x^ et y ont leurs parties principales du même degré 2; les parties principales (les autres termes ont les degrés o, i, 3, 4* H faudra donc, pour appliquer la même analyse, remplacer le terme y par une combinaison linéaire C :

C = ax^ -h a' Y H- a'xY -h a'y*^

dont la partie principale soit de degré supérieur à 2 et diflércnt de 3 et 4- Soit formée une telle combinaison; désignons I j degré de sa partie principale par 5 H- /, le nombre / pouvant être négatif et fractionnaire. La partie principale du déterminant est alors du degré /, et son ordre pour le cycle est In. L'interprétation de ce résultat est la suivante : le nombre (4 4- l) marque Tordre le plus élevé du contact qu'on puisse établir entre chaque branche du cycle et une conique. Ce nombre, pour une branche de courbe quelconque, est ordinairement 4> et / est alors nul. Voici donc le résultat : Sur une courbe, de degré m et de classe (jl, si Von envisage toutes les branches ayant avec leurs tangentes des contacts du premier ordre, et avec des coniques des contacts d^ ordre naximum différent de ^, et qu'on désigne par 4 + ' C ordre d'un quelconque de ces contacts, on aura

2/=i5ix— i8m4-2(7/i-4v),

la dernière sommation s^ appliquant à tous les cycles où le contact avec la tangente n^estpas d^ordre égal à Punitê. En vertu de la relation (aa), on peut écrire la même égalité sons diverses formes, parmi lesquelles la suivante:

où la dualité est mise en évidence.

Nous venons d'obtenir ainsi le nombre des points sextacfiques. Un point sextactique est l'origine d'une branche simple ayant avec une conique un contact du cinquième ordre. Pour un pareil point, / est égal à l'unité.