Exemples des formules (aa) et

Exemple 1. — Soit la courbe représentée en coordonnées homogènes par

Ses points singuliers sont, l'un au sommet x = z = o; cycle

(|.)-=(|)V..., «. = 3, v. = ,; le second au sommet x =y=^ o; cycle

Du sommet x = z = o on ne pnut mener aucune tangente hormis celle du cycle qui a celte origine. Donc [x = ni4-V|=5. D'ailleurs m = 5. D'après (aa), 3(}x — w) — (v, — /i,) étant égal à I, il y a £/n point d'inflexion. Cela fait donc un autre cycle «s= I, V3 =2. La formule ( 23) donne, au second membre, — 3. Pour le second cycle l'élément / est — 5. Donc il y a deux points sextactiques.

Exemple 2.

Les nombres/), 9 sont entiers et premiers entre eux. Cette courbe, qu'on peut appeler anharmonique à cause de ses propriétés (* ), se reproduit elle-même par une infinité de substitutions homographiques, conservant le triangle de référence. Il en résulte qu'il ne peut y avoir ni point d'inflexion, ni point sextactique, hormis les sommets de ce triangle. La classe est égale au degré, attendu que la courbe est sa propre corrélative. Les sommets a: = s = o eiy = ^ = o sont les origines de deux cycles corrélatifs dont les ordres sont p et q^ les classes q et p. On a donc bien zéro au second membre de (22). En outre, la somme des nombres n -h v est 2(/> + gr) ou m -h [X, et l'on a zéro au second membre delà formule (a3).

34. Par les deux applications des n"* 31 et 32, on a vu comment la formule (21) est propre à faire connaître le nombre des points où les éléments infinitésimaux d'une courbe satisfont à une relation projective donnée. Dans ces deux applications, la relation était exprimée par l'évanouissement d'un invariant. S'il s'agit d'un co variant, c'est-à-dire si la relation a lieu entre la courbe et une figure donnée, il y a place pour une discussion. On doit examiner : 1® quels sont les éléments du nombre Û qui proviennent de points invariables sur la courbe quand la figure varie; 2^ quels sont les éléments qui , au contraire , proviennent de points variables avec cette figure; 3° comment enfin ces éléments peuvent se confondre pour des situations particulières de la figure et de la courbe. Cette dernière partie de la discussion doit être réservée pour chaque cas particulier. En la laissant de côté, on se trouve en présence d'un problème général bien défini. La figure est représentée par quatre points, comme il a été

(*) FooRBT, Sur quelques propriétés des systèmes de courbes; et /nteg ration géométrique {Comptes rendus, t. LXXVllI, pp. 1693 et 1837).

Klbi!! et Lif, Ueber vertauschbare lineare Transformationen {Math* Ann., t. iV, p. 5o).

(lit au n*^ â8. Ces quatre points, dont un au moins existe dans le covariant, sont laissés indéterminés. En cela consiste Vindépendance entre le covariant et la courbe considérée.

Il y a cependant encore une observation nécessaire au sujet de cette indépendance. Envisageons le covariant comme une fonction des lettres a, . . . coordonnées de la figure; les coefficients sont alors des fonctions du point mobile. Ce covariant, ainsi considéré comme un polynôme des lettres a, est susceptible de formes plus simples moyennant quelques relations entre les coefficients du polynôme. Ces coefficients étant ici des fonctions de j:, ^ —-» . . . , il peut arriver que de

telles relations soient ou incompatibles ou compatibles entre elles. Dans le cas où elles sont compatibles, il existe des courbes sur lesquelles ces relations sont vérifiées en chaque point. Pour une quelconque de ces courbes et le covariant envisagé, le problème, on le volt, est changé; il se rapporte proprement à un autre covariant plus simple.

Nous achèverons de préciser nos hypothèses en admettant que la courbe considérée n^est pas au nombre de celles pour qui le covariant se simplifie.

Un exemple éclaircira ce qui vient d'être dit. Prenons le covariant suivant qui est sous la forme F^ (a, a), les accenU dénotant les dérivées par rapport à i :

(abc){acd){adb){ubc){ucd){udb){uu'u') + k{bcdy(uu'ay.

Si Ton a identiquement (aw'a'^)=o, le covariant se réduit au dernier terme qui est un cube.

Ainsi, pourcecovariantilfaudraitexclure les lignes droites.

35. Commençons la discussion en examinant quels sont les éléments du nombre Û qui répondent à des points de la courbe variables avec les points a, 6, c, d.

Soit X un de ces points. Puisqu'il varie avec a,. . . et que a,.. . restent indéterminés par hypothèse, x est un point

iTDDB SUR LES POINTS SINGULIERS. 589

simple de la courbe G. Donc Télément de Û qui s'y rapporte est entier et positif. Si cet élément n'est pas égal à Tunité, c*est que la dérivée du covariant F, prise par rapport au point x le long de la courbe G^ s'évanouit en même temps que F. Soit F| ce que devient F quand on y substitue, au Heu de r et de ses dérivées, leurs expressions en x relatives à G> en soi'te que F| dépend maintenant de la coordonnée x et des a, b^ ... L'hypothèse entraîne cette conséquence

que -—- s'évanouit avec F4. Il en résulte aussi que les dérivées

partielles de F|, par rapport aux coordonnées de a, by ... s'évanouissent, aussi en même temps. Donc F,, considéré comme fonction de ces dernières quantités, se décompose en facteurs dont un au moins est un carré. G'est un fait qui peut se produire, mais se rapporte précisément au cas que nous venons d'exclure, celui où, pour la courbe envisagée, le covariant se décompose. Ge cas exclu, le point x apporte au nombre Û un élément égal à l'unité. Donc la partie du nombre û, relative aux points de la courbe variables avec les éléments du covariant, est égale au nombre des points simples de la courbe, en chacun desquels ce covariant s*évanouit.

36. Les éléments de Û qui répondent, au contraire, à des points de la courbe invariables, ne sauraient être discutés à la fois pour tous les covariants imaginables. Mais on peut répartir les covariants en vastes groupes, à chacun desquels s'applique une discussion unique. L'ordre le plus élevé des dérivées qui figurent dans le covariant peut servir de base à cette classification.

Dans un covariant du premier ordre, les éléments de la courbe

sont x^ y^ 'Ï-' Pour le calcul du nombre Û, ces trois quantités ont, en chaque point, des valeurs finies. Il est impossible que la substitution de ces valeurs dans le covariant

SgO APPENDICE.

donne un résultat qui ne soit pas fini et différent de zéro, tant que a, by c, d restent indéterminés. Donc, en ce cas, il n'y a aucun élément de Û indépendant de a, 6, c, d. Donc : Sur une courbe de degré m, de classe \k, le nombre des points en chacun desquels s'évanouit un covariant différentiel du premier ordre, indépendant de la courbe est ù> pi H- ^'m^ les nombres ta et o)' ne dépendan t que de ce covariant.

37. Nous avons déjà observé (n** 28) que la forme d'un covariant peut, sans inconvénient, contenir explicitement, au lieu des quatre points a, 6, c, d, toute autre figure. Dans Texemple ci-après, nous prendrons une telle forme.

Soit A le premier membre de Téquation d'une ligne droite, et B le premier membre de l'équation d'une courbe dont nous désignerons le degré par k. Prenons le covariant

qui peut être mis sous forme de déterminant. En désignant par (,, Çj, ^, les coordonnées tangentielles, savoir

et dénotant par des indices les dérivées partielles

on trouve aisément

Al A, Aj