F,(«) = (AB?)^ B, B, B

Sous cette forme, on voit que F = o exprime la relation suivante : la droite A, la polaire du point variable par rapport a la courbe B et la tangente de la courbe C, lieu du point variable, sont concourantes.

Les nombres S = /c 4- i , w = i sont en évidence dans ks

ÊTUDB 8VR LBS POINTS SINGULIERS. 691

deux formes de F. On a ainsi, pour le nombre N des points où la condition F = o est satisfaite,

Tel est le résultat quand, la courbe C étant censée donnée, Y indépendance a lieu, c'est-à-dire que A et B restent indéterminées. L'examen des circonstances qui accompagnent la dépendance doit, avons-nous dit (n'* 34), être réservé pour chaque cas particulier. Faisons ici cet examen, en nous bornant toutefois, pour abréger, à la recherche des éléments répondant à des points de C qui ne varient pas avec la droite A.

En prenant, pour le point M, = a2î=o, Torigine d'un cycle et pour la droite u^^z o\di tangente de ce cycle, pour

variable indépendante X =—> nous avons, à l'origine du

cycle, les valeurs 0,1,0 pour Ç|, Ç^, \^\ par suite, d'après la dernière forme du covariant, Fx(a:) est fini, différent de zéro, si A| Bj — AsBj n'est pas nul. Ce binôme ne peut être nul, quelle que soit la droite A, que si B{ et Bj sont nuls tous deux. Celte circonstance se présente, ou bien si B et C sont tangentes entre elles au point x^ ou si ce point est multiple sur B. Pour examiner un tel cas, revenons à la première forme de F, en y prenant pour t une variable suivant laquelle se développent les coordonnées de x sur le cycle. Soit h l'ordre de B pour ce cycle, c'est-à-dire le degré du premier terme dans le développement de B suivant les puissances croissantes de t. L'ordre de F, pour ce même cycle, est A — /i, si /i marque l'ordre du cycle.

Ëri prenant pour chaque point commun à B et C le nombre analogue à h — n, nous aurons donc

Ni = (A:-.i)m-f.(x-V(/,-,i)

pour le nombre N| des points variables avec la seule droite A. Si toutes les intersections de B et C sont simples, notre

5g2 APPENDICE.

analyse même et notre dernière formule montrent toutes deux que tous les éléments h — n sont nuls. Pour les autres ca.<^ nous pourrons modifier la formule en observant qu'on a

11 vient ainsi

où la somme comprend tous les cycles de C ayant leurs origines sur 6. C^est, en termes plus ordinaires, la somme totale des ordres de multiplicité des points de C, qui sont sur B.

Pour chaque point x de la courbe C, on prend rinlcrsection de la tangente en x et de la polaire de x par rapport à B. Soit Xi cette intersection. Le lieu de x^ est une courbe C| dont le calcul précédent nous donne le degré N|. En supposant pour B deux droites isotropes conjuguées, ayant 0 pour point commun, on retrouve pour C| la tangentielledeC (n** 17), et, par une transformation corrélative, on a ce résultat : La classe de la développée d'une courbe est égale à l'excès de son degré sur sa classe, augmenté de la somme des classes de tous les cycles dont les tangentes sont ou isotropes ou à Vinjini.

38. Au lieu de faire dépendre un covariant diflférentiel d'une figure, on peut aussi le faire dépendre de coefficients se modifiant par un changement de coordonnées, tout comme le premier membre de l'équation d'une courbe. A ce point de vue, la forme projective d'un covariant du premier ordre consiste en un polynôme entier à deuK séries de variables et doublement homogène. Ces variables sont, d'une part, //f, U2J ^3, coordonnées du point x\ et les coordonnées d'une droite Ç|, $2, \z- D'ailleurs le point x est sur cette droite, ce qui est exprimé par

fiTUDB SUR LB8 POINTS SINGULIERS. SgS

et permet de varier la forme extérieure d^un même covariant. Si Ton omet la condition que x soit sur la droite, une équation entre les u et les \ définit ce que Glebsch a appelé un connexe.

Les nombres co et co' qui sont les degrés du polynôme relativement aux lettres Ç et w sont la classe et Vordre du connexe. La proposition du n^ 36 donne donc celle-ci : Sur une courbe, le nombre des points dont chacun, avec la tangente en ce point, appartient à un connexe, est égal au produit des ordres du connexe et de la courbe, augmenté du produit de leurs clauses.

On peut encore envisager le système des courbes qui sont représentées par Tintégrale générale de Téquation obtenue en égalant le covariant différentiel à zéro. Alors eu et eu' sont les deux caractéristiques du système, w le nombre de ces courbes qui passent par un points &>' le nombre de celles qui louchent une droite. La proposition prend alors cette autre forme : Dans un système ayant les caractéristiques o> et w', le nombre des courbes qui touchent une autre courbe donnée de degré m, de classe }x, est (ojjl + co'm ( * ),

U ne faut pas oublier, dans les deux énoncés, l'indépendance qui a été primitivement supposée.