POINTS CIRCULAIRES A L'INFINI

14. Étant donné un système déterminé de coordonnées trilinéaires, on peut trouver les coordonnées des points circulaires à l'infini de la manière suivante. Supposons d'abord que les coordonnées x^ y, z représentent les perpendiculaires abaissées d'un point sur les côtés du triangie fondamental. Prenons une origine arbitraire O et un système d'axes rectangulaires OX et OY. Si /?, q, r sont les perpendiculaires abaissées de O sur les côtés du triangle et )^, |jl, v les angles qu'elles font avec Taxe des X, les relations qui lient les deux systèmes de coordonnées (:r, y^ z) et X, Y

sont

xzzzH cosX 4- YsinX — p,

^ =: X cos {X -h Y sin ji — q,

5 = X cosv -h Y sinv — r.

Pour abréger, posons

cosX -H i sin X ( ou e*^ ) r= L , C0SJJL4- isin|jL(ou e'>)=M, cosv 4- i sin v ( ou e** ) =r N ,

faisons X et Y infini3 et X ifc e'Y = o. Nous obtenons pour

GOORDONNÉBS. II

les deux poîiils circulaires les relations

xlYlz^ L : M : N,

Soient A, By C les angles du triangle fondamental; nous avons entre Â, B, C et ^^ |jiy v un système de relations telles que

A= 7C-h |JL — V ,

B = — 7C 4-v — X, c =: Il -h X — jJi.

Posons

il vient alors

cosA-h «sinA(oue»^)n;a, cosB -h tsinB(oue'*)=p, cosC -h i sin G ( ou e»^' ) ~ 7 ;

« = -l^> P=-r ^=~M' «Py=:-I,

et les coordonnées des points circulaires à l'infini deviennent ainsi

x:y:z — -^i: ^ : P, et œ:y:z = -^i : ^ : g> __ . , I I , .

— Y. — lI-> =— I — lia,

Il est évident que les expressions de chaque système de coordonnées sont identiques en vertu de la relation a^y = — i • Les mêmes formules s^appliquent évidemment au cas où les coordonnées j:, ^, z, au lieu d'être égales aux perpendiculaires abaissées sur les côtés du triangle, leur sont seulement proportionnelles; ce sont donc les formules qui se rapportent au système de coordonnées dans lequel l'équation

fd CHAPITRE I.

de la droite à TinGni est

xsinA -h^'sinB -h^sînC = o.

15. On peut ajouter que le système primitif de relations entre x^ y^ ^ et X, Y donne

(/4-y)(5 4-r)sîn A-h(5 -l-r)(a;-H/>)sînB

4- {x -\-p) (/ 4- çr ) sinC := sin A sin B sînC (X* 4- Y* ) ;

ou, ce qui revient au même, on a

j'xsinA -\- zxsiïï^ -+-a:/sînC

= sin A sin B sin C ( X*+ Y') -4- (une fonction linéaire de X, Y, i);

c'est-à-dire que Féquation

yz sin A 4- zx sin B 4- xy sinC = o

est Téquation d'un cercle qui évidemment est circonscrit au triangle fondamental. La formule subsistant dans le cas où Xf y^ z sont proportionnels aux distances perpendiculaires d'un point aux côtés du triangle de référence, les points circulaires à l'infini sont alors les intersections du cercle

yzs\xïK'\- zx sin B -h xy sinC = o

avec la droite à l'infini

X sinA 4-/sinB 4- z sinC = 0

(comparez Sections coniques, n® 359). Il est facile de vérifier que les coordonnées des points circulaires à l'infini, données plus haut, satisfont eflectivement à ces deux équations. Remarquons aussi que l'équation générale d'un cercle est

{yz sin A 4- «a: sin B 4- xy sin C )