THÉORÈMES ET PROBLÈMES SUR LE CERCLE

et on o|>éranl romme ci-dcssus, on trouve, pour l'équation polaire du lieu,

' g cos6 -t- /sinû

En revenant aux coordonnées primitives, cette équation devient f;.r -*-fy r = o :

c’est celle que nous avons obtenue précédemment (89) pour la polaire.

IV. Étant donné un point O et une droite PM, on prend sur le rayon vecteur OP de la droite une longueur OQ inverstî de celle du rayon vecteur; trouver le lieu du point Q.

V. Dans un triangle, on donne un sommet, l'angle Cà ce sommet et le rectangle X’ des côtés qui le comprennent ; le deuxieme sommet glisse sur une droite ou un cercle : trouver le lieu du troisième sommet.

Prenons le sommet fixe ivour pôle, et désignons par o, o' les côtés de l’angle donné; |>ar 0 et 6' les angles que ces côtés font avec l’axe fixe : on a

En écrivant l’équation polaire du lieu que décrit le deuxièmes mmiet. on

aura une relation entre o et 6; et en y remplaçant o et 9 par -r et 0' — C,

aura entre o' et 9' une relation qui sera l’équation du lieu décrit par le troisième sommet.

On résoudrait le problème de la même manière, si on donnait le rapport des côtés au lieu de leur rectangle.

VI. Par l’intersection de deux cercles, on mène une droite : trouver !(■ lieu du point milieu du- segment que les cercles d •terminent sur cetto droite.

Les équations des cercles seront de la forme

0 = •x/-cos{9 — a ). P = 2 / 'cos(9 — ï'), et celle du lieu sera alors

P = rcos (9 — a) -+■ r'cos (9 — a') , qui représente aussi un cercle.

VII. Par un point O pris sur un cercle, on mène trois cordçs quelconques; sur chacune d’elles, comme diamètre, on décrit un cercle. Les trois cercles ainsi obtenus (qui passent évidemment en O) se coui>ent en

^f^7. CHAPITRE VII.

trois autres jKiints qui sont en ligne droite ( Cambriilge MathrmnUcnl Journal, vol. I, |>. idg).

Prenons le point fixe pour pôle , et un diamètre pour axe : l’équation du cercle sera, d étant le diamètre,

P ; f/cos9.

1.0 diamètre du cercle construit sur la corde Taisant avec l'axe un angle » sera r/cos», et l’équation du cercle correspondant

p= f/cos*.cos(6 — a).

I.’érpiation du deuxième cercle, dont le diamètre fait un angle p avec l’axe, sera

P = r/ cos cos (9 — P).

Nous trouverons les coordonnées polaires do l’intersection de ces deux cercles, en clierchant quelle est la valeur de 9, qui satisfait à la relation

cos* cos(9 — *) = cos^cos(9 — p),

et qui est évidemment 0 = a -t- p : la valeur correspondante de o sera P = r/ cos*, cos p.

De même, les coordonnées polaires de l’intersection du premier et du troisième cercle dont le diamètre fait un angle y avec l’axe) seront

0 = a -t- y, P = f/.cosa.cosy.

L’équation polaire de la droite joign int ces doux points s'obtiendra en substituant suceessivement ces valeurs de p et do 9 dans 1 équation générale pcos(/ — 9) =/> (41). On trouvera ainsi, pour déterminer /> et 4, les deux équations

/>= f/cos*cospcos[/ -(*-*- p)] = f/ cos * cos y cos [X — (*-»-•/)];

d'où

X = a-t-p-t-y, y» = ^/cos* cospeosy.

I.a symétrie de ces valeurs montre que celte droite passe aussi par le point d intersection du deuxième et du troisième cercle.