II. Trouver le centre radical do

*109. Les systèmes formés par des cercles ayant un axe ra- Klical commun, c’est-à-dire passant par deux points fixes, jouissent de plusieurs propriétés remarquables qu’il est facile de trouver en choisissant convenablement les axes coordonnés. En prenant pour axe des y l’axe radical commun et pour axe des X la ligne des Centres, l’équation de l’un quelconque des cercles du système pourra s’écrire

-+- y » — 2 hx ± d’ = O,

■O’ étant constant pour tous les cercles du système, k variant nvec chacun d’eux et servant à le définir. En effet, le cercle représenté par cette équation a son centre sur l’axe des x, à une distance variable k de l’origine, et coupe l’axe des y en deux points fixes donnés par la relation y’± d* = o, qui est

CIIAPITHE VIII.

l/jfi

in(I«*|)en(liuitc lie h. Ces points seront réels lors<|uc ô’ aura l«‘ signe —, et imaginaires dans le cas contraire.

*110. I.fs polaires d’un point donné prises par

rapport à un système de cercles ayant un axe radical commun, passent par un point Jixe.

I.’équation de la jiolaire de [x', y') par rapport an cercle x’ -I- >•’ — 7J1X 5’= O

est (S!>)

xx' 4- — /i' { JC + x' ) H- 0’ = O ;

elle renferme rindéterminée h' au premiei degré : la polaire passe donc toujours par un point li\e que détermine l’intersection des droites xx' -1- o’= o et x -4- x' = o.

*111. On peut toujours trouver deux points tels, que leurs polaires, par rapport à un système de cercles ayant un axe radical commun, soient Jixes.

La polaire du point {x', r') sera fixe, c'est-à-dire indépendante de h , si les équations xx' -1- -(- 0' = o et x -i- x'z= o,

représentent la même droite, et, par suite, la polaire. Mais alors les coordonnées x' et >•' de ce point satisfont aux relations

y~o, x'’ = û' ou x'=±à.

Les deux points cherchés se trouvent donc sur l’axe des x, à droite et à gauche, et à une même distance de l’origine; ils sont réels lorsipic les deux points communs à tous les cercles sont imaginaires, et imaginaires dans le cas contraire.

Ces points jouissent de plusieurs propriétés importantes dans la théorie de ces systèmes de cercles; ainsi la polaire de l’un d’eux, prise par rapport à un quelconque de ces cercles, passe par l’autre point et se trouve perpendiculaire à la ligne des centres.

L’équation générale des cercles étant de la forme y -h [x — /r)’ — Id — 5’

ne peut représenter un cercle réel que dans le cas 0(1 Id est

DES SYSTfeHES DE CERCLES.

plus p(!lil que o'; lorsque h' devient égal à ô% le rayon du cerrie est infiniment petit (HO), et son rentre a pour coordonnées — O, X = ± 5.

I.es points que nous venons de trouver peuvent donc être eux-inènies considérés comme des cercles faisant partie du système; pour cette raison, M. Poncelet (*) leur a donné le nom de points limites du système de cercles.

* 1 12. Les tangentes, menées à tous ces cercles par un point de l’axe radical commun, étant égales (107), le lieu de leurs points de contact est un cercle; et ce cercle coupe orthogonalement tous ceux du système, puisque scs rayons leur sont tangents. Son équation peut se trouver de la manière suivante :

Le carré de la tangente menée par un point (x = o, y= /i) au cercle x’ -t-j’ — a/ix -t- â* — o, s’obtenant (90) par la substitution des coordonnées du point aux coordonnées courantes du cercle, sera /P ■+- é'. Le cercle eberebé ayant pour centre (x = O, y = /< ) cl pour carré du rayon h- -f- ô', aura pour équation

X» + (y —/<)’ = /P â', ou

x’ y ’ — a liy — ô’.

Quelle que soit, sur l’axe radical, la position du centre, autrement dit quelle que soit la valeur de A, ce cercle coupe toujours la ligne des centres aux points fixesy = o, x = ± â que nous avons trouvés précédemment. Donc, tous les cercles coupant orthogonnlement les cercles d'un système à axe radical commun passent par les points limites du système.

EXERCICES