CHAPITRE VIII

Kn oxprimant que le carré de la distance de leurs rentres est égal à la somme des carrés de leurs rayons, on trouve

(rf — r',

ou, en réduisant,

II. Construire le cercle coupant orthogonalement trois cercles donnes.

La condition trouvée dans l'Exercice précédent fournit trois équations du premier degré qui permettent de déterminer les trois inconnues g,/ et c; on achèvera la solution en employant l'équation du n° 9t.

On peut aussi trouver une solution en observant que le centre du cercle cherché est le centre radical des trois cercles, et que son rayon est égal à la tangente menée de ce centre à l'un quelconque. des cercles donnés.

III. Trouver le cercle coupant orthogonalement les trois cercles de l'Ex. II, n“ 108.

Réponse.

IV. Lorsqu'un cercle S coupe orthogonalement les trois cercles S', S’ et S", il rencontre à angle droit le cercle /. S'-e /S'-i- »iS”= o.

En effet, la condition

'^/( 4./"' -+- (r -f- "if" ) '

= (X -(- / -I- /«) c -H 4 r' -t- fc’ me"'

est satisfaite, puisque, d’après l’hypothèse, les coefficients de X, / et /« sont tous séparément nuis.

On verrait de même qu’un cercle coupant orthogonalement S et S" rencontre à angle droit le cercle XS'-+- /S*.

V. Tous les cercles qui coupent orthogonalement deux cercles S’ et S” ont même axe radical.

Ce théorème, déjà indiqué au n° 112, peut encore se démontrer do la manière suivante. Les deux équations du premier degré

agff \ff = c -+- c', igg" -t- ■xff’ = c -I- c'

donnant les valeurs de g et de /, l’équation

igx ■+■ c — O

ne renferme plus que l’indélerrainée c qui est du premier degré, et par suite (105) représente une série de cercles ayant même axe radical.

DES SYSTÈMES DE CERCLES. l49

VI. La polaire de l’extrémilé A du diamètre AB d'un cercle, prise par rapport à un cercle coupant orihogonaleraent le premier, passe par le point B.

VII. Trouver le cercle coupant orthogonalement trois cercles donnés. Cette question peut se résoudre, comme plus haut, par le centre radical, ou bien (Ex. VI) en cherchant le lieu du point dont les polaires, par rap- («rtaux trois cercles, passent par un même point.

VIII. Le carré de la tangente menée d’un point quelconque d'un cercle à un autre, est dans un rapport constant avec la distance de ce point à l'axe radical des deux cercles.

IX. Trouver l’angle * suivant lequel deux cercles se coupemt.

Soient R et /• les rayons des cercles, I) la distance de leurs centres, on aura

D’= R’-i- r’— aRreos*,

puisque l’angle suivant lequel les cercles se coupent est égal à celui des rayons aboutissant au point d'intersection.

X. Si un cercle mobile coupe deux cercles Tixes sous des angles constants, il coupera tous les cercles ayant mémo axe radical sous des angles constants.

Soient S = o. S’ = o les équations des deux cercles fixes, r et r' leurs rayons, a et ^ les angles sous lesquels ils coupent le cercle mobile, R le rayon du cercle mobile; les coordonnées du centre de ce cercle satisleront aux relations

R’ — aRreoSï = S, R’ — aRr'cos6 = S',

puisque le carré de la tangente menée à un cercle fixe Scsi égal à D’ — r’, D étant. la distance des centres des deux cercles (HO).

On en déduit

„ /rcosa -H /r'cosS /S-(-/S'

R’— aR , — , ‘-= ,

ce qui est la condition pour que le cercle mobile coupe le cercle AS -t- /S' sous l’angle constant 7 : 7 étant défini par l'expression

( A -+- /) /•”co87 = Ar cosa -I- /r'cosS, dans laquelle r* est le rayon du cercle A S -t- /S'.

XL Le cercle qui coupe deux cercles fixes sous un angle constant est tangent à deux cercles fixes.

CHAI’ITRIi VIII.

On pout en efîel diHcrminer le rapport ^ de l'Exercke pnktédcnl, de

(elle sorte que 7 = o, autrement dit que coiy = 1; d ailleurs il est farde de Miir (]ue si D est la distanro des centres des cercles S et S', on a

En portant dans l'équation précédente la valeur de c' qu'on en dé-duit,

on trouve, pour déterminer le rapport ^ 1 une équation du deuxième de^ré.