CHAPITRE VIII
Dp même
(a — x)(x ~ a)-h — iX — r(r-h r') = o
rpprêsenie la corde de coiU.ici BB' des langenles communes intérieures.
Si le centre du cercle S est pris pour origine, on a x = o^ ^—o, et ré(|uatioii de la corde de contact devient
a'x-h^'X=f(rqzr‘).
EXERCICE
Trou\er les tangentes communes aux cercles
Ia?s cordes de contact des tangentes communes par rapport au premier cercle sont
’ IX -+- >•=: G, IX-t- V=r3.
La première rencontre le cercle aux points (a, a), gentes menées par ces points ont pour équation r= 2, 4 -c — 3.T = lo.
seconde rencontre le cercle aux points (i, i), Çj', les langenles correspondantes sont données par
114. I .es points O et O', oii se rencontrent respectivement les tangentes communes extérieures et intérieures, sont les centres de similitude des deux cercles. On verra plus loin la raison de cette dénomination.
Leurs coordonnées se trouvent racilemenl; car O est, par rapport au cercle S', le pôle de la corde de contact AA', dont l’équation est
DES SVSTftHES DE CERCLES. l53
En comparant celle équation avec celle de la polaire du point
on trouve, pour les coordonnées x',y' du point O,
ou bien
On trouverait de même, pour les coordonnées de ()',
a'/' -t- xr'
jSV + pr'
Ces valeurs montrent (n” 7) que les centres de similitude sont les points où la droite joignant les centres des cercles est divisée, extérieurement ou intérieurement, dans le rapport des rayons.
EXERCICE
Trouver les tangentes communes aux cercles
L'équation des tangentes menées au cercle
(.c — »)’-e (r — e’ par le point (x',t') est (9i)
Les coordonnées du centre extérieur de similitude étant — a, — i, les tangentes passant par ce centre auront pour équation
a5 (x’ -s — 6x — 8> ) = ( 5x -t- 5y — lo)’,
c’est-à-dire
x>- -I- X -(- !>■ -H 1 = O, ou (x -+- a) (y -t- I ) = O.
l54 CHAFITBE VIII.
Ia‘s cerrles donnés se coupant en dos points réels, li'S tani’ontes inléricnres sont imaginaires; leur équation
SC* trouve do la mémo manière en observant que le centœ intérieur de
simililude a pour coordonnées — et — •
ll.ï. Les (Iroiles menées par l'intersection des tan fientes communes it deux cercles sont coupées en parties proportionnelles par ces cercles.
Si l’on prend sur le ravon vceiciir OP, issu du point O et aboutissant au point P, un point 0> lél <ptG OP = m.OQ, les coordonnées du point P s'obtiendront en multipliant par m celles du point Q; si P décrit une courbe, Q en décrira une autre dont l'équation se trouvera, en remplaçant x el >' par mx et my dans l’équation de la courbe décrite par P.
Prenons pour axes les tangentes communes, et représentons {/ig. 4^) P^'' P®'" équations des deux
cercles seront (8V, K\. II)
x-i -yyi -h Axj cosw — ücrx — xar -+- — o,
x'i H- V' — 2.rr cosc.» — ^.a’x — tui'y-y a’’= o.
La seconde se déduit de la première en y remplaçant x et.r
par —y elle représente donc le lieu obtenu en prolon- ‘ a a'
géant chaque rayon vecteur dans le rapport de a îi a'.
Corollaire. — Puisque le rectangle Op.Op'(/îg'. 43) est constant, OK étant avec Op dans un rapport constant, le rectangle OK.Op'= ÜR'.Op est aussi constant, quelle que soit la droite menée par le point O.
11(>. Si, par un centre de similitude 0, on mène deux droites coupant le premier cercle {Jig-^^) aux points R, R , S, S', et le second aux points p, p', 1, o' , les cordes RS et p», R'S' et p'ff' sont parallèles, et les cordes RS et p'»', R S et pir se coupent sur l'axe radical PQ f/cs deux cercles.
