CHAPITRE VIII

f’esi-à-dire sur Taxe radical des deux cercles, puisque celle cqiialion peul se niellre sous la forme (100)

Il en esl de même pour les cordes U'S' el pa.

Comme cas pariiculier de ce ihcorème, on voii que les lanpenies en K el p, U' et p' sont parallèles, et que les langenies en R el p', R' el p se coupent sur l’axe radical.

117. Les centres de siwililude de trois cercles S, S' et S", pris deux à deux, sont situés trois par trois sur une même droite.

Soient r, r', r" les i ayons de ces trois cercles; (a, P), {«', P'), (a", P") leurs centres. Les coordonnées de deux des centres de similitude seront (11'»}

/rg'- «>■' rP'-Pr'\ Ira"- gr" rP'- Pr'’’\

et la droite qui les joint aura pour équation (29, Ex. VI }

— [r(«'— g") ■+■ r' («"— g) -h r"(g — a’)]jr -h r( P' g" — p-’g') -t- r'(P"g - Pg") 4- r'(pg' - P'g) = o.

La symétrie de celle équation montre que celte ligne passe aussi par le troisième centre de similitude

(ielle droite s’appelle axe de similitude des trois cercles. Puisque chaque couple de cercles a deux centres de similitude, il y a en tout six centres de similitude S, S', S', . . . pour les trois cercles; ces centres sont distribués sur quatre axes de similitude, ainsi que le représente la Jig.^^.

Les équations des trois autres axes s’obtiendront en changeant successivement les signes de r, r', r" dans l’équation donnée plus haut.

OKS SYSTÈMES DK CERCLES.

Corollaire. — Si un cercle 2 est langent aux deux cercles S et S', la droite qui joint les points de contact passe par un centre de similitude de S et S'. Car lorsque deux cercles se louclienl, un de leurs centres de similitude coïncide avec le point de contact.

Fie- 41.

Quand 2 est tangent intérieurement ou extérieurement aux deux cercles S et S' à la fois, la droite joignant les points de contact passe par le centre de similitude de S et S' qui leur est extérieur; lorsque 2 est tangent intérieurement à l’un des cercles et extérieurement à l’autre, cette droite passe par le centre de similitude intérieur, ou situé entre les deux cercles.

*118. Trouver le lieu du centre du cercle 2 coupant trois cercles donnés S, S', S" sous des angles égaux.

Soit S = O, ou

l'équation d’un cercle, le carré de la distance d'un point(x, y) à son centre a pour valeur

Les coordonnées du centre du cercle 2 de rayon R, coupant S sous un angle a, satisfont à la condition (112, Ex. V)

S = R’— aRreosa;

■ 58 CHAPITRE Mil.

clics salisfonl de même aux relalions

S' = R’ — îRc'cosa, S"—: R' — 2. Rr"cosst,

puisque i coupe S cl S' sous r.nif;le a.

En éliminant R cl cos a cnlrc ces trois équations, on aura l’équaiion du lieu cherche, ün obtient successivement

S — S' — aR ( c' — c) cos a, S — S":= 2 R ( ;•" — ;■) COSa, d’où

Le lieu est donc une droite i|ui passe par le centre radical (108); en remplaçant 8, S' et S" par leurs valeurs développées, on trouve, pour les coeflicienls de x et de r,

En comparant ces expressions avec celles coriespondantes de rcquolion d'un axe de similitude (117), on voit (32) que le lieu est la perpendiculaire abaissée du centre radical sur im des axes de similitude.

Il est indifférent de prendre, pour angle des deux cercles, l’un ou l’autre des deux angles supplémentaires que forment les rayons aboutissant au point d’intersection. Les formules ( 1 12) employées supposent que cet angle est celui sous lequel la distance des centres est vue du point d'intersection ; dans celte hypothèse, le lieu dont on vient de trouver l’équation est une perpendiculaire à l’axe extérieur de similitude. Si l’on n’admet pas cette restriction, on peut prendre

S R’zp2Rccosa,

ce qui revient à changer le signe de l’une ou l’autre des quantités r, r', r“ dans les expressions précédentes. Par suite ( 117), le lieu cherché peut être perpendiculaire à l’un quelconque des axes de similitude (*).

(*) Les cercles coupant sous des angles égaux trois cercles donnés S, S\ S*,

DES SYSTÈMES DE CEBELES. l5<)

Lorsque deux cercles sont tangents intérieurement, l’angle sous lequel ils se coupent est nul, puisque les rayons du point de contact coïncident; mais s’ils se louchent extéricuremenl, cet angle, en vertu des conventions faites précédemment, est égal à i8o degrés, puis(|u’un des rayons est situé dans le prolongement de l’autre. La perpendiculaire abaissée sur l'axe extérieur de similitude contient donc le centre du cercle langent intérieurement ou extérieurement à la fois aux trois cercles donnés. Le centre du cercle langent extérieurement à S et intérieurement à S' et S" {ou vice versà) sera sur la perpendiculaire à un des autres axes de similitude, puisque l’équation du lieu décrit par le centre s’obtiendra en cbangeanl le signe de r dans la précédente. On peut donc en tout mener h trois cercles donnés huit cercles tangents; les centres de res huit cercles se trouvent, deux par deux, sur les perpcuidiculaires abaissées du centre radical sur les quatre axes de similitude.

*119. Décrire un cercle i tangent à trois cercles donnés S, S', S".

Ce qui précède indi(|ue un lieu sur lequel doit se trouver le centre du cercle cherché : on peut en déterminer un autre en éliminant son rayon R entre les deux équations

S=K>-2rR, S'=R’-2r'U;

mais on trouverait ainsi une courbe autre que le cercle.

On obtient une solution plus élémentaire en chercliaut, au

de rayons r, r\ r*, ont pour a\c radical commun un des aaes de similitude. Soient, en effet, trois cercles S, 2', 2*, do rayons R, R\ R*, coupant les cercles donnés n*spectivement sous les angles •/. 1.4>s coordonnées du centre de S

satisfont aux conditions

2 5= r* — arRcos», 2'= r’ — Q rR'cos^S, 2*= r* — arR’cosy,

d'où

(R cos K — R"cos*/)(2 — 2') s= (R cos« — R'cos^)(2 — 2").

Cette équation, analogue à celle d’une droite, est satisfaite par les coordonnées du centre de S, S' et S*, trois points que nous n'avons pas supposés en ligne droite; elle est donc de la forme 2 := A2'h- /2*', et prouve que les trois cercles ont même axe radical.