CHAPITRE Ylll

lieu des coordonnées du centre du cercle langent 2, celles de son point de contact avec un des cercles donnés. Ce point se trouvant sur un cercle, on a déjà une relation entre ses coordonnées; il suflira donc d’en trouver une autre pour qu’elles soient complètement déterminées (*).

Plaçons, pour simplilier, l’origine des coordonnées au centre du cercle S, dont on veuldélerminer le point de contact avec2, l’équation de ce cercle se réduit à

+jr'—

et relies des autres cercles S et S' sont toujours

Si A et B sont les coordonnées du centre de 1, elles satisferont aux relations

S — S'=2R(r— r'), S - S"= aRfr' - r');

de plus, les coordonnées du point de contact de S avec 2 étant j;' et y, on aura

Pour trouver le résultat de la substitution de mx, mr à X et J dans l’équation d’une droite, on peut multiplier toute l’équation parm eten retrancher {oi — ijfois le terme constant. Ce terme étant égal à

dans S — S' (105), le résultat de la substitution de A et B à X et r dans S — S'=aR(r — r') sera

(*) Cette solution a été donnée par M. Gerfronnc {Annales de Jdathêmatiyuei, t. VII, p. 289).

DBS STSTfcXES DB CERCLE.

iGl

OU

( R + r) (S - S') = R [( r- - a” - On aura de même

En éliminanl R entre ces deux équations, on voit que le point de contact cherché se trouve à l'intersection du cercle S avec la droite

120. Pour compléter la solution géométrique du problème, il reste à montrer comment on peut construire cette droite. Comme elle passe par le centre radical des cercles donnés, il suffit d’en trouver un deuxième point. En remplaçant S — S', S — S" par leurs valeurs développées (105), son équation devient

2a'r -1- a -t- r'* — /•* — x' — a ' Hr - ( /• — r'Y

2 %"x -h 1 r -f- r"’ — r' — a*' — Ji*’

ou en ajoutant l'unité à chacun des termes,

x'x-h^\r+{r'-r)r __ x’ x -h 3" y -h ( r" — r) r a'' -t- ji'’ — (c — r'Y a"’ -H — (r — r'Y ’

ce qui exprime qu'elle passe par l’intersection des droites

La première de ces droites est (113), dans le cercle S, la corde de contact des tangentes communes aux cercles S et S'; autrement dit(lU), c’est la polaire par rapport à S du centre de similitude de S et S' ; de même, la seconde droite est la polaire par rapport à S du centre de similitude de S et S". L’intersec-