DES SYSTÈMES DE CEECLE

coupenl sur l'axe radical de C" et C : le point R, centre do similitude des cercles aa'a" , bh' b" est donc en môme temps le centre radical des trois cercles C, C' et C";

4“ Puisque a' b', a" b" passent par le centre de similitude de aa'a", bb'b", les droites a'a", b' b" se rcnconlrent en S sur l'axe radical de ces deux cercles (116). Les points S' et S" se trouvent ainsi sur ce môme »xe radical. Donc, l’axe de similitude SS'S" des cercles C, C', C” est en même temps l’axe radical des cercles aa'a" , bb' b";

5“ Comme a" b" passe par le centre de similitude de aa'a", bb' b", les tangentes menées à ces cercles (116) aux points où a"6" les rencontre se coupent sur l’axe radical SS'S" en un point qui est évidemment le piMe de a'b" par rapport au cercle C"; le pôle de a"b" se trouvant sur SS'S", le pôle de SS'S" par rapport à C" sera (98) sur a"b" . On pourra donc construire a" b" en joignant le centre radical R au pôle P de .S' S" par rapport au cercle C";

6” Le centre de similitude de deux cercles étant sur leur ligne des centres, et l'axe radical perpendiculaire à cette ligne, la droite joignant les centres des cercles aa'a", bb'b" passe par le point R ( 118) perpendiculairement à SS'S".

121 (a). Lorsque quatre cercles sont tangents à un cinquième, les longueurs de leurs tangentes communes satisfont à la relation

dans laquelle (la) représente la longueur de la tangente commune au premier et au deuxième cercle, etc.

Soient R le rayon du cinquième cercle, 0 son centre 'fig. 46); r et r' les rayons des cercles i et a, A et B leurs centres; a et 6 leurs points de contact avec le cinquième. Le triangle aOb, étant isoscèle, donne

aè = 2Rsin-«06.

l(>4 CHAPITRE VIII.

Les côlés du triangle AOB élanl R — r, K — r' et D= AB, on a

sin’- nOb =

d’ailleurs par suite

Fig. /,6.

nb = .^^L^.

Dans le quadrilatère inscrit formé par les quatre points de contact ft, b, c et tl des quatre premiers cercles avec le cinquième, les côtés et les diagonales satisfont à la condition

ab.ctl -4- ad.bc — ac.bd;

remplaçant, dans celte équation, chacune des cordes cift, .. . par sa valeur, trouvée précédemment, en fonction de la longueur(i2),. . . de la tangente commune correspondante, et sup-

ni imanl le facteur cumniun ^ -- ■ ,

on obtient la relation (|u’il fallait démontrer.

l'il {b). On peut déduire de ce théorème une solution du prohlème posé au n° 119. Lorsque le quatrième cercle se réduit à un point, ce point appartient au cercle tangent aux trois

DüS SVSTfelKS DE CERCLE. lG5

premiers; les expressions (4')> (4®) cl (43) représenieni la longueur des tangentes menées par ce pointa ces trois cercles. D'ailleurs, en désignant par S, S' et S" les valeurs particulières que prennent les équations des trois premiers cercles lorsqu’on y remplace les coordonnées courantes par celles de ce point, on aura, d’après le n° 90,

(4.) = vS, (42) (43) =

Les coordonnées d’un point quelconque du cercle cherché satisferont donc à la relation

qui se transforme en une équation du quatrième degré lorsqu’on fait disparaître les radicaux. Dans le cas où (23), (3i) et (12) sont les tangentes communes directes, elle se décompose en deux équations du second degré représentant respectivement les cercles tangents intérieurement et extérieurement {Jig. 45) aux trois cercles donnés.

Cette solution et le théorème d'où on la déduit sont dus à M. Casey.

121 (e). Ce théorème peut aussi se démontrer sans recourir aux propriétés du quadrilatère inscrit. £n prenant, comme au n“ loi (Ex. VI), sur chaque rayon vecteur OP {Jig. 4' ). mené par un point O à une courbe, une longueur ÜQ inversement proportionnelle à OP, on obtient une nouvelle courbe qu’on appelle inverse de la courbe donnée. L’inverse, par rapport à l’origine O du cercle

X* -H 2 gx -I- ifr -(- c = O

a pour équation

c(x’-t- -xgx H- 1 =0.

C’est un cercle, excepté dans le cas où c = o (c’est-à-dire quand le point O est sur le cercle ), cas dans lequel c’est une ligne droite. Réciproquement, l’inverse d’une droite est un cercle passant par le point O.

CIIAPITRF VIII.

A un couple de cercles correspond, par rapport à un point, un couple inverse, qui forme avec le premier un système jouissant de la propriété suivante, indiquée par M. Casey : le rapport du carré de la tangente commune au produit des rayons est le même dans l’un et l'autre couple (*). En effet, le rayon r d'un cercle étant donné par (80)

celui de son inverse s’obtiendra en remplaçant, dans cette

équation, g,f et c par t't sera ainsi égal a -• La quan-

tité 1) — /•’— c”, qui est représentée par c ■+■ d— ag'fi''— 2//' (112, Ex. 1), deviendra, par une substitution analogue, égale

J)> fl ;•'>

à , — -• Le rapport de D’— r’ — c", au produit cr' des

ravons, et, par suite, le rapport de D’— (r± r')' à rr' esldonc le môme pour cbacun des couples.

'Considérons maintenant quatre cercles tangents à une même droite en quatre points. Les distances mutuelles de ces quatre points situés en ligne droite, qui sont alors les langueurs des tangentes communes, sont liées par la relation

comme il est facile de le voir en partant de l’identité

( è — rt) (</ — c) -I- ((/ — o) (c — b) = (c — rt) (</ — h),

dans laquelle a, b, c, d représentent les distances de ces quatre points à un point quelconque de la droite pris pour origine.

L’inverse du syslè.iie, par rapport à un point quelconque, se composera de quatre cercles tangents à un cinquième; et la relation précédente subsistera encore, puisque le rapport de chacun de ses termes à la racine carrée du produit des

( *) Ce qui revient à dire ( î 12» Ex. VIII), que l'angle sou» lequel »e coupent les deux cercle* d'un couple est le même pour les deux couples : proposition facilo il établir géométriquement.

DES SYSTtHES DE CERCLE. 167

rayons des quatre premiers cercles, ne change point quand on passe du premier système à son inverse.

La relation entre les tangentes communes étant ainsi établie directement, on peut en déduire, comme cas particulier, les propriétés relatives aux cotés et aux diagonales du quadrilatère inscrit. Il suffit, pour cela, de supposer que les quatre premiers cercles se réduisent à quatre points.

Cette démonstration fait voir en outre que, dans le cas où deux cercles sont tangents à la fois intérieurement ou extérieurement au cinquième cercle , il faut faire entrer dans la relation donnée ci-dessus leur tangente commune directe, et leur tangente inverse lorsqu’ils sont situés l’un à l’intérieur, l’autre à l’extérieur. Ainsi l'équation des quatre couples de cercles tangents à trois cercles donnés

(t!3)v'Sæ{3i)v'^±{i2)v'^=o

représentera :

I" Les cercles tangents laissant du même côté, intérieur ou extérieur, les trois cercles donnés lorsque (12), (23) et (3i) seront les tangentes communes directes; 2” les cercles touchant intérieurement le premier cercle et extérieurement les deux autres (ou inversement), lorsque (23) sera une tangente directe, (3i) et (12) des tangentes inverses; 3" enfin les deux autres couples de cercles, en considérant successivement l’une des tangentes (3i) et(i2) comme directe, et la troisième tangente comme inverse.

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