CHAPITRE IX

APPLICATION DE LA MÉTHODE DES NOTATIONS ABRÉGÉES A L'ÉQUATION DU CERCLE.

122. Pour savoir si une cquaiion du deuxième degré, exprimée au moyen de la méthode des notations abrégées exposée au Cliapitre IV, représente un cercle, il suffit de la ramener à une équation en x et r, en y remplaçant chacune des abréviations a par son expression équivalente

X cosa -t- )'sin a — p,

et de voir, dans cette équation transformée, si le terme en xy ilisparalt, et si les coefficients de x^ et de r’ sont égaux. Les exemples suivants serviront d’éclaircissements.

Trouver la çonJition pour qu'un cercle soit le lieu d'un point tel, que le produit de ses distances à deux côtés opposés d’un quadrilatère soit dans un rapport constant k avec le produit de ses distances aux autres côtés.

Soient a, (3, ■/, o les quatre côtés du quadrilatère; l’équation (lu lieu est

xy — h j3ô

et représente une courbe du second degré qui passe par les sommets du quadrilatère, puisque son équation est satisfaite par une quelconque des quatre conditions

Si l’on remplae, dans celte équation, les abréviations a, p, 7, d par leurs expressions équivalentes en x et on obtient l’c-

DU CERCLE. NOTATIOiiiS ABRÉGÉES. l6<)

quaiion iransformée

(x cos« 4-j‘sina — /») (xcosy +.r siny — p")

= h (j; cos(3 +^-sin^ — />')(x cosiî -i-^^ sino — p”).

En écrivant qne les cocflicienls de jt* et de y‘‘ sont égaux, et (|uc celui de a:/' est nul, on trouve, pour exprimer que cette courbe est un cercle, les conditions

cos(a -t- •/)= /r cos( P + ô), sin(2t -f- y) — h sin (P + ô).

Si l’on ajoute ces équations, après les avoir élevées au carié, il vient

l'ette condition étant remplie, on a

a + y = ^ + O, ou a + y = J3 -H o;

d’où

a — [3 = ô — y, ou X — p- i8o"-f-o — y;

et comme l’angle a — (3 est (61) le supplément de l’angle formé par les droites a et p entre lesquelles se trouve l’origine, cette condition est satisfaite lorsque le quadrilatère est inscriptible. Quand l’origine est à l’intérieur du quadrilatère, on doit prendre If — — i : l’angle compris entre a et p est alors supplémentaire de l’angle formé par y et o; on prendra, au contraire, k = i si l’origine est en dehors du quadrilatère, et les angles opposés seront alors égaux.

123. Trouver la condition pour qu’un cercle soit le lieu d’un point tel, que le carré de sa distance à la base d’un triangle soit dans un rapport constant avec te produit de ses distances aux autres côtés.

Soient «, p, y les côtés du triangle, l’équation du lieu sera x?, = ky\

Si, pour déterminer les points où la droite x rencontre le lieu.

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