CHAPITRE IX

on fait a = O dans son équation, on trouve y’= o. Le premier membre étant un carré parfait, la droite a rencontre le lieu en deux points qui coïncident; autrement dit (83), elle est tangente au lieu au point ( a, y ). De même, ^ est la tangente au point (j3, y). La droite y est donc la corde de contact des deux tangentes a et 3,.

En remplaçant les abréviations par leurs valeurs développées, comme au numéro précédent, et écrivant que les conditions indiquées au n° 80 sont remplies, on trouve

cos (a -h — h C0S2y, sin (a -4- ^) = ^ sinay,

et, par suite,

Pour qne le lieu soit un cercle il faut donc que le triangle soit isoscèle : résultat qui peut s’énoncer ainsi :

Le produit des distances du point d’un cercle à deux tangentes est égal au carré de la distance de ce point ù leur corde de contact.

EXERCICE

Trouver la condition pour qu’un cercle soit le lieu d'un point tel, que la somme c’ des carrés de scs distances aux trois cétés d’un triangle «f.y soit constante.

L'équation du lieu étant on général a’ -t- y' = c’, représentera un cercle lorsqu’on aura

cosaa -h cosa^ -t- cosay = o, sinaa -h sina^ -h siniy = o;

cos la = — 2cos(^ -t-y)cos(^ — y), sinia = — isin(&-t-y)cos(f — y).

En élevant au carré et ajoutant, il vient

I = 4cos’{^ — y), ji — y = Co”.

On verrait de môme que chacun des autres angles doit être égal à 6o degrés. Il faut donc que le triangle soit équilatéral.

i24. Trouver l'équation du cercle circonscrit au triangle formé par les droites a = o, ^ = o, y = o.