DL' CERCLE. NOTATIONS ABRÉGÉES. 1 I
Une équation de la forme
-f- mya -h n = o
représente une courbe du second degré circonscrite à ce triangle, puisqu'elle est satisfaite par chacune des suppositions
En suivant la marche indiquée au n° 1-22, on trouve, pour exprimer que cette courbe devient un cercle, les conditions
/cos((3 -4- y)-t- /w cos (y -h x)-h n cos (a -t- p) = o,
/sin ((3 -t- y) -t- ni sin(y + x)-h n sin(a -+- (3) = o.
Mais lorsqu’on a les deux équations
/a'-H mj3'-t- ny'= o,
/a"-)- m j3"-t- My"= o,
les quantités /, m et n sont proportionnelles à P' y" — (3"y', y'a."— y*a', a' (3"— a"^' (G.'i); dans le cas actuel, l, ni et n seront donc proportionnels à sin ((3 — y), sin (y — a), sin (a — (3) ou à sin A, sin B, sinC, A, B et C désignant les angles du triangle forme par les droites a, p, y, comme au n° Gl. L’équation du cercle circonscrit sera donc
Py sin A -I- ya sin B -t- ap sin C = o.
125. L’interprétation géométrique de cette équation n’est pas sans importance. Les perpendiculaires OQ, OP [Jig. 47)abaissées
Fig.
d'un point 0 sur les deux côtés a et p du triangle ABC ont précisément pour longueur a et p (51 J; d’ailleurs l’angle QOP
CBiPITRB IX.
qu’elles comprennetu est le supplément de l'angle C du triangle : le produit a^sinC mesure donc le double de l'aire du triangle OPQ. De même yasiiiB, ,3ysinA représentent respectivement le double de l’aire des triangles OPR. OQR, OH étant perpendiculaire à y. La quantité
j3y sinA H- ya sinB -I- sinC
est donc le double de l’aire du triangle PQH, et l’équation du numéro précédent exprime que, si le point O appartient au cercle circonscrit au triangle, l’aire PQH est nulle, c’està-dire (36, Corollaire 11) que les trois points P, Q, R sont en ligne droite.
Le lieu d’un point O tel, que la surface du triangle PQR formé par scs projections sur les trois côtés du triangle ABC soit constante, a pour équation
Pv sin A H- yâ sin B sinC = const.
(^ette équation, ne différant que par une constante de celle du cercle circonscrit, représente (81 ) un cercle concentrique à ce dernier.
126. Reprenons l’équation /py wya -t- «ap = o, nous pouvons la mettre sous la forme
y(/p -I- ma) -4- nap=; o;
la droite y rencontre la courbe sur les droites a et p(124), puisque, si nous faisons y = o dans l’équation ci-dessus, elle se réduit à aP = o. Pour la même raison, la droite /p-i-ma rencontre la courbe en deux points situés sur les droites a et p; mais ces deux points coïncident, puisque /p -1- ma passe par l’intersection de a et p : la droite /a 4- mp rencontre donc la courbe en deux points qui coïncident, c’est-à-dire lui est tangente (83) au point (a, p).
Cette conséquence de l'équation /py 4- mya -4- /lap = o, ainsi que quelques autres dont l’exposé va suivre, ne supposent point aux coefficients /, m, n les valeurs particulières sin A, sin B, sinC ; elles s’appliquent donc non-seulement à
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un cercle, mais à une courbe quelconque du second degré circonscrite à un triangle.
Dans le cas du cercle, la tangente a pour équation
a sin B -f- P sin A = o,
et, comme a sin A -+- (3 sinB = o représente une parallèle au côté y menée par le sommet (a, ,3) (GV), la tangenie fait avec un des côtés a. du triangle le même angle que le côté opposé y fait avec le troisième (3(55).
Les équations des tangentes menées à la couibe du second degré par les trois sommets du triangle peuvent s’écrire
par suite, les trois points où ces tangentes coupent respectivement les côtés opposés du triangle sont situés sur la droite
En retranchant l'une de l’autre les équations des tangentes, on trouve, pour les droites qui joignent les sommets du triangle formé par les tangentes aux sommets correspondants du triangle primitif,
m n 'ni ' l iii Ces droites se coupent en un même point (40) (').
127. Si a', 3', y'; a", (3", y' sont les coordonnées de deux points de la courbe, la droite qui les joint a pour équation
ny
en effet, elle est satisfaite lors(|u’on y remplace les coordonnées courantes a, [3, y par a', (3', y', puisque a", (3", y* vérifient
(*) Les théorèmes de ce numéro sont dus à M. Robiliicr {^Ânna'es de Mathé~ matiquest l-XVIII, p.320.). Jji premièr<^ cqiialioii du n° !‘27 est de M. Hermès.
