i (^y sin A 4- ya sin B 4- aJ3 sin G = o

ils ont pour axe radical la droite

/a 4- rn jj 4- n y — ( /' a 4- ni' [3 4- n' y ) = o,

et /a 4- «1^4- ny représente l’axe radical correspondant au premier de ces cercles et au cercle circonscrit au triangle.

EXERCICES

I. Vi-rifier que — 7’ re[irés(?iiU’ un c(!rcle lorsque A = B ( 123). Celte iViuation peut en ellet so metlre sous la forme

«*sinC fysin .\ -t- -^asinB — 7 ( asin A -t- f sinB -c ysin C ) = o.

II. Ia?s milieux des côl(» d'un triangle cl les pieds des hauteurs sont .silués sur un cercle.

En eflet l'équation

a’sin.A cosA -t- ^’sinB cosB -1- 7’ sinC cosC

— (^7 sin A -+- yxsinB ap sin C) = o

représente une courbe du deuxième degré passant [lar les points en qui\slion ; car en y rai.-.anl 7 =: o, on trouve

«’sinA cos A sin B cos B — a,‘i(sin.A cosB -1- sinB cos A) = o,

expression qui se décompose dans les deux facteurs

«sinA — fisinB et acos.\ — ftcosB.

Cette courbe est un cercle, puisque son équati<,n peut s'écriie

( X cos A -H P cos B -t- 7 cosC) ( a sin A -t- [3 sin B -t- 7 sin C)

— 2 (p-/ sin A -I- ■/! sinB -1- xp sinC) = o.

L'axe radical de ce cercle et du cercle circonscrit a pour équation X cos.t -t- P cos B -f- 7 cosC = o,

(pii est aussi celle do l'axe d’homologie du triangle donné par rapport au triangle formé en joignant les pi(*ds des hauteurs.

DL' CBRCLB. >0TAT10NS ABRÉUÉES.

t2!>. Ironver l'équation du cercle tanj’enl aux trois côtés du triangle a3y.

La courbe (lu second degré langenle aux iiois côtés du triangle a pour équation

n’7’ — tntn^y — •înlyx — xlinx^ ^ «(*):

puisqu’en y faisant y — o pour déterminer les points où celte courbe rencontre le côté y, on obtient le carré parfait

l’x‘ + rti’3' — imlx^ = o.

I.e côté y est donc tangent à la courbe, et il en est de même des autres côtés.

Celte é(|ualion ()eul aussi se mettre sous la forme commode

sjlx -¥■ qinp ■+- \hiy — O,

comme il est facile de s’en assurer en faisant disparaître les radicaux.

Avant de déterminer les valeurs de /, in et n, pour les(|uelles celle é(iualion représente un cercle, nous allons en déduire ([uelques propriétés communes à toutes les courbes du second degré inscrites dans des triangles.

En écrivant la première équation sous la forme

ny(ny — xlx — a/7i,3) + [Ix — /«j3)’ = o,

on voit que la droite (Ix— mJ3) qui passe par le point (a, ^), passe aussi par le point où y rencontre la courbe. Les trois lignes qui joignent les points de contact des côtés aux sont-

(*) .\ la ri^^ucMir, le*i doubles rectangles oty^... pourraient avoir le double signe sans <|ue la demonstrutinn cessât de s'appliquer. Si l'on donne le signe >ià tous ces riK-tungles ou à l*un dVux seulement (les deux autres ayant le signe — ); rei|ualion ne représente plus une courbe «lu deuxiêniu degré» mais bien le carre de Tune ou l’autre des lignes /arb |.a forme adoptée

ici renferme le cas où un seul des rectangles est négatif» pourvu quo l'on suppose que /» m et n emportent leurs signes avec eux.