CHAPITRE U

/). m'a nv

wr 77 =

qui est vériliée par les coordonnées tangenlielles des deux droites, est l’équation taiigcntielle de leur point d’intersection.

En égalant respectivement ix', v' à À", /a", v", nous aurons l’équation de l’intersection de deux tangentes consécutives, autrement dit l’équation du point de contact d’une tangente. On trouve ainsi

/À ni a n v

Les coordonnées trilinéaires du point de contact seront alors

l ni n

Si l’on tire de là les valeurs u', v' pour les porter dans la re lation à la(|uelle elles doivent satisfaire par livpotlièse, on obtient pour l’équation de la courbe cherchée

^/x -h \ni P -t- \/nÿ = O.

131. Les conditions pour que la courbe du deuxième degré tangente aux côtés d’un triangle soit un cercle sont (128)

sin’C -t- ;i’ sin’B -t- 2nin sin B sin(]

= /l’sin’A -t- /’ sin’C -t- 7.«/sinAsinC = /’ sin’B + ni’ sin’ A 4- xlni sin A sin B,

ou bien

ni sinC -t- n sin B =. rt (« sin A -(- / sinC)

= ± ( / sin B + ni sin A ).

On peut mener quatre cercles tangents aux trois cotés d’un triangle, puisqu’en changeant les signes, on peut écrire ces

DU CERCLE. NOTATIONS ABRÉGÉES. l8l

équalioiis de quatre manières différentes. En prenant à la fois tous les membres positifs, on aura les équations

/sinC — m sinC -i- /i (sin A — sin B) = o,

/sinB »i (sin A — sinC) — nsinB = o,

d’où l’on lire ( 12'*)

/ = sin A (sin B + sinC — sin A), m = sin B (sinC + sin A — sin B), n = sinC (sin A -4- sin B —sinC).

Mais puisque, dans un triangle, on a

sin B -(- sinC — sin A = 4 cos J A sin ) B sin j-C,

ces valeurs de /, ni et n sont respectivement proportionnelles à cos’ J. A, cos’jB, cos’ JC; l’équation du cercle correspondant, qui est inscrit dans le triangle, est donc

cos j A y a + cos I B y/p 4- COS ( C y/y — o ( *),

ou bien

a’ cos‘ J A -t- Cüs' ; B 4- y ’ cos‘ j C — 2 «3 cos’ ) A cos’i B

— 2 (3y cos’jB cos’ jC — 2 «y cos’jC cos’jA =; o.

Il est facile, du reste, de s’assurer qu’elle représente un cercle en la mettant sous la forme

/ cos'ïA „cos*'B cos';C\, .

I 2 . ■ -4- ? 4- V — -’r 3t SI

\ Sin A sin B sinC /

sin A

4 cos’ ï A cos’ ) B cos’ ; C sin A sin B sinC

sin A -t- sin B 4“ y sinC)

( (5y sin 4- yzsiii B 4- sinC) = o.

(*) l.c Hart dcdiiit cette équation de la manière tiii^ante do celle du cercle circonscrit. Soient a', /3',y'les cMé« du triangle formé enjoignant les points de contact ; A', B', C' les angles de ce triangle. LVquation cherchée est ( 12A } ^'y'sin A'-h y'a'sinR'-»- a'/3'slnC'= o, mais (123., pour chaque point du cercle, on a a'* = ,.3y, ^3'*=y«, y**=«3j d’ailleurs A' = 90^* — • ,\ ; et en substituant ces valeurs dans l’équation precedente, on retombe sur l’équation

cos { A ^ cos J B 4- os J C ^ = o.