DES COURBES DU DEUXIËME DEGRÉ. I

regarder celle équalion comme le cas limiie

o.a:’-t- aBj: -h C = o,

auquel correspond une racine infinie, el dire qu’un des poinls d’inierseclion de la courbe avec la drmic esl siiué à l'infini.

Ainsi, l’êqualion cilée plus liaiil pour exemple, pouvanl s’écrire

représente deux droites; l’une coupe l’axe des x à une distance finie de l’origine; l'autre rencontre cet axe à l’infini, puisqu’elle lui esl parallèle.

Si, dans l’équation A aBx + C = o, B el C s’évanouissent à la fois, les deux racines sont égales à o; si B et A s’évanouissent, les deux racines deviennent infinies.

On voit donc qu’en tenant compte des poinls situés à l’infini, ainsi que des poinls imaginaires, on peut dire qu’une droite rencontre toujours en deux points une courbe du second degré.

136. L'équation générale du deuxième degré, transformée en coordonnées polaires, devient (*)

(ncos’O -I- 2/1 cosOsin 5 -t- isin’O )p’

-f- 2(g'cos0 -(-/sin 0 )p -H c = o ;

ses racines expriment les longueurs des rajons vecteurs correspondant à une valeur déterminée de l’angle 0. La condition pour qu’un de ces rayons vecteurs soit infini, c’est-à-dire qu’il rencontre la eourbe à l’infini, s’obtiendra en écrivant que le coefficient de p’ devient nul. On aura ainsi l’équation du deuxième degré

a -+- 2/1 langO -I- 0 lang’0 = o

(•) Non» Riipposon» l'êquntion rapportée ii des coordouiicea rectaii^’ulaires;

mais ce que nous olluns dire s'appliquerait encore si les coordonnées étaitml

. , , - siiiO sin(M

obliques. Il suflirait alors de remplacer x et r par — iç, — — : 1

^ I . I *111 tins* ^

le raisonncinent resterait le même.

IC)4 CBAPITRE X.

pour déterminer les valeurs de 0, auxquelles correspondeiii ces rayons vecteurs; donc

On peut toujours mener par l’origine deux droites réelles, coïncidentes ou imaginqires, qui rencontrent lu courbe à l' infini.

Si, après avoir multiplié par p’ l'équation

fl cos’ ô -t- 7. /isin OcosO -+- ôsin’O = o,

nous y remplaçons ocosG, psinO par leurs valeurs x et r, nous aurons, pour l'équaiion de ces deux droites,

fl -H 2 lixp ■+■ bp' = O.

Le deuxième point de rencontre de chacune d’elles avec la courbe se déduira sans peine de l’équation

7 {geosO -t- /sinO)p + c = O.

Comme l’origine est arbitraire, il s’ensuit que, par un point quelconque, on peut toujours mener deux droites rencontrant la courbe à l’infini. Dans les équations qu’on obtient en prenant successivement les différents points pour origine, les constantes a, b, h ne changent pas ( 13!t) : les directions des droites rencontrant la courbe à l’infini sont donc toujours données par la même équation

rtCOs’O -t- 7/1 sin OcosO èsin’0 =0.

Donc, si par un point on peut mener deux droites réelles rencontrant la courbe à l'infini, les parallèles menées à ces droites par un autre point quelconque rencontreront aussi la courbe à l'infini (*).

137. Une des questions les plus importantes qu’on puisse se poser relativement à la forme d’une courbe représentée par une équation est celle de savoir si cette courbe est limité#

(*)Cc tliôoKtmo oftt ctiilonl (]|('‘omôlnqu(Muciit, puisque deux parallèles peuvent être coiisidèrées comme passant par le même point situe à rinfini.

DES COURBES DU DEUXlfenE DEGHfi. 195

dans tous les sens, ou si elle s’étend à rindni dans une certaine direction. Nous avons déjà vu qu’une équation du second degré peut représenter une courbe limitée en tous sens, qui est le cercle, ou bien un lieu s’étendant à rinfini, comme dans le cas où elle représente deux droites. Il est donc nécessaire de trouver un critérium qui permette de distinguer facilement à laquelle de ces classes appartient le lieu représenté par une équation donnée du second degré.

Ce critérium peut se déduire facilement de ce que nous avons dit au numéro précédent; car si la courbe est limitée dans tous les sens, on ne peut mener par l’origine aucun rayon vecteur réel ayant une valeur infinie; autrement dit, on ne peut satisfaire à l’équation

a-\- ih tangô -i- b tang'6 = o par aucune valeur réelle de 0.

i“ Si l’on suppose /i’ — ab<^o, les racines de cette équation sont imaginaires, et il n’existe aucune droite réelle rencontrant la courbe à l'infini ; la courbe est alors limitée dans tous les sens et a reçu le nom iVellipse. On verra, dans le Chapitre suivant, que sa forme est celle indiquée par la Jig. 48.

Fie- 48.

2" Lorsque /C— a6>o, les racines de l'équation a -t- 2A tangO -t- tang’9 = o

sont réelles; par conséquent, il y a deux valeurs de 9 pour lesquelles le rayon vecteur mené par l'origine à la courbe devient infini. On m donc, dans ce cas, mener par l'origine les deux droites réelles

ax’-\- ih xy -t- by^=o,