CHAPITRE X

reiiconlranl la courbe à rinfini. Une pareille courbe s’appelle hyperbole, el sa forme, ainsi qu’on le montrera plus loin, est celle que reproduit la Jig. 49.

Fin. /,9

lion

Enfin, dans le cas où /i’ — nb = o, les racines de l’équaa -(- 2/1 tangO 4- tang’Û o

sont égales, et les deux directions suivant lesquelles on peut mener des droites rencontrant la courbe à l’infini coïncident. J.a courbe, qui porte alors le nom de pnrnbole, a la forme indiquée par la Jig. 5o. Dans ce cas, les trois premiers termes

Fie- r>o.

de l’équation de la courbe forment un carré parfait, et cette propriété peut servir à définir la parabole.

138. Bien qu’il soit plus commode de n’étudier complètement la forme de la courbe représentée par une équation du second degré qu’après avoir simplifié^iite équation, nous montrerons ce])endanl ici comment, partant du procédé exposé au n”lG, on peut vérifier les indications du numéro précédent.

DES COURBES DU DEUXlfeHB DEGRÉ. I97

En résolvant par rapport à j l’équation générale (76), on a

— (lix -t- f) ±v ( A’ — «A) a( hf — bf')x -+-/* — bc.

D’après la théorie des équations du second degré, une quantité de la forme x’-h px -l- q peut toujours se remplacer par le produit (x — a) (x — îî) de deux facteurs réels ou imaginaires; la quantité située sous le radical pourra donc s’écrire

[h^— ab){x — a) (x — P).

Si A’ — ab est négatif, celte quantité est négative, et par suite y est imaginaire, tant que les facteurs x — a, x — (3 sont à la fois positifs ou à la fois négatifs. On ne peut ainsi trouver des valeurs réelles pour y que lorsque x est compris entre a et (3; la courbe se trouve donc tout entière dans l’espace limité par les droites x = a, x = [3. ( f'oirn” 16, Ex. III.]

Lorsque A’ — ab est positif, c’est l’inverse qui a lieu, ün ne peut trouver des valeurs réelles pour / qu’en prenant pour x des valeurs telles, que les facteurs x — a, x — (3 soient à la fois positifs ou à la fois négatifs. La courbe se compose alors de deux branches s’étendant à l’inPini, l’une dans la région positive, l’autre dans la région négative, et séparées par un intervalle compris entre les droites x = a, x = (3, dans lequel ne se trouve aucun point de la courbe.

Si A’ — ab est nul, la quantité située sous le radical est de l’une des formes x — a ou a — x : dans le premier cas, la valeur de y est réelle quand x est plus grand que a; dans le deuxième, lorsque x est plus petit que a. La courbe se compose donc d’une seule branche s’étendant à l’inflni à droite ou à gauche de la ligne x = a, suivant la forme de la quantité qui se trouve sous le radical.

Lorsque les facteurs a et ^ deviennent imaginaires, la ((uanlilé sous le radical peut se mettre sous la forme

ab ) [{ j; y )> -t- ^>] ;

elle est constamment positive quand A’ — ab est positif, cl toutes les parallèles à l’axe des y rencontrent la courbe.

■ gS CHAPITHR X. ^

Lorsque A’ — <i6 est ncgaiif, la quantité sous le radical est constamment négative, et l'équation ne représente aucune ligne réelle.

EXERCIOÎS.

I. Construire, d’après le n° 11», les courbes suivantes et en déterminer l'es|>èee :

Rétomse. llyi)erbole.

5 jr’ -I- 4 J".*' — 5jt — —19 = 0.

Réponse. Ellipse.

Réponse. Parabole.

II. Le cercle est un cas particulier de l'ellip.se. L’équation générale représente un cercle lorsque « = b, h = iicosi» (81 1 : mais alqrs

donc

- ab = — //’ — ab

III. Quelle est la courbe représentée Péquajion générale lorsque /i = o?

Réponse. Une ellipse lorsque n et é sont de mémo signe, et une hyperbole lorsqu’ils sont de signes contraires.

IV. Quelle est la courbe représentée par l’équation générale si « = o,

ou si é = o? »

Réponse. Une parabole lorsiju'on a en même temps h = o, une hyperbole dans les autres cas. La courbe rencontre à l'infini l'axe des x lorsque o = o, et l’a.xe des lorsque b — o.