CHAPITRE X

la courbe est une parabole; s’ils se coupent, leur point d’intersection est le centre de la courbe. Lorsque ce centre est du côté concave de l’arc la courbe est une ellipse;

Fig. 53.

quand il est dans la partie convexe, {fig.53), c’est une hyperbole.

Les exemples étudiés dans la théorie du cercle (Chap. Vi) suffisent pour donner une première idée sur la nature des diamètres dans les courbes du second degré; mais il faut bien observer qu’en général les diamètres ne sont pas perpendiculaires à leurs ordonnées. Ainsi, dans la parabole, la direction du diamètre étant constante, tandis que celle des ordonnées est variable, l’angle compris entre un diamètre et ses ordonnées peut prendre toutes les valeurs possibles.

142. La direction des diamètres d’une parabole est la même que celle de la droite passant par l'origine et rencontrant la courbe à l’injini.

Les droites menées par l'origine et rencontrant à l’infini la courbe du deuxième degré ont pour équation { 136)

ax‘‘ -t- 2 hxy = o,

qui devient, dans le cas de la parabole, en y remplaçant h par sa valeur y^«6,

DES COURBES DU DEUXIÈME DEGRÉ. 2o3

niais les diamètres (l'»l ) sont parallèles à la droite nx h y = O, dont l’équalion se réduit à

lorsque h = y afr. Les diamètres sont donc parallèles à la droite qui coupe la courbe à l’infini, et, par suite, ne peuvent la rencontrer qu’en un seul point situé à une distance finie.

143. Si deux diamètres d'une section conique sont tels, que l'un d'eux divise en deux parties égales les cordes parallèles à l'autre, réciproquement cet autre divisera en deux parties égales les cordes parallèles au premier.

L’équation du diamètre des cordes faisant un angle 0 avec l’axe des x est ( 141 )

(ax + hy + g) + (hx ■+■ hy-hf) tangô = o.

L’angle 0' que ce diamètre fait avec ce même axe est donné par

tang0' = —

a -h h tangO

d’où

h + b tangO’ b tangO tangO' -t- /i (tangO -t- tangO') ■+■ a = o.

La symétrie de cette équation montre que les cordes faisant un angle 0' avec l’axe des x ont pour diamètre une droite faisant un angle 0 avec ce même axe.

Ces diamètres, (|ui sont tels que l’un d’eux divise en deux parties égales les cordes parallèles à l’autre, s’appellent diamètres conjugués { *).

Si dans l’équation générale on a /i = o, les axes sont parallèles a un système de diamètres conjugués; car le diamètre des cordes parallèles à l’axe des x ayant alors pour équation

(*) Il l'ftt qiu>, seules, courbes h centre ont îles diamùti'i^ coiiju>

gués, puisque dans la parabole tous les diumètres ont iiiùmc direction.