CHAPITRE X

io4

flj: g- = O est parallèle à l’axe (les^-. De môme, le diamètre

des cordes parallèles aux r, ajani pour cquaiion by +f =0, est parallèle à l’axe des x.

144. Lorsque dans l’équation générale c = o, l’origine est un point de la courbe ( 81 ) ; et réi|uation du second degré

(ft cos’ 9 2/1 si n GcosO H- b sin' 9 2{ g- cos9 +/sin 9) p = o

a constamment une de ses racines nulle. F.,a deuxième racine devient nulle aussi, autrement dit le rayon vecteur rencontre la courbe en deux points, qui coïncident lorsiiu’on a en même temps

g cos 9 -f- / sin 9 ~ o.

La tangente à l’origine a donc pour équation gx-h/r = o {•).

L’équation de la tangente en un autre point de la courbe peut se déduire de celle de la tangente à l’origine par une transformation de coordonnées, en rapportant la couibc à ce point pris pour origine, écrivant l’équation de la tangente comme il vient d’être dit, et la rapportant ensuite aux anciens axes.

En appli(|uanl celte méthode à l’équation générale , on obtient, pour la tangente au point (x',)'-'), l’équation

ax’x ■+■ h{x'y -t-.r'x) + b y' y -I- g(x 4- .r') + /( j-t-/') 4-c = o,

(|tic nous avons déjà trouvée par une autre méthode (8f>).

liXHUCICE.

Le point (1,1) étant sur la courbe

trouver, par une liansfortnatien de coordonnées, la tangente en ce point.

On |irouvrrail itn la mi'mc inanièn; que, dans une emirlw do do[;rê qnelcunqiie, lorsqïie le terme ronstanl est nul, l'orirtino **sl sur la c<iurbe, et que termes du premier degré n'présentenl la tangente à l'origine.

DES COL'RBES DU DEUXIÈME DEGHÈ. 2o5

L’équation de cette tangente, par rapport aux nouveaux axe», est 9 J- — 5 y = O,

et par rapport aux axes primitifs,

lis. Lorsque, par un point (x', r') non situé sur la courbe, on mène des tangentes à une courbe du deuxième degré, les points de contact sont les intersections de la courbe avec une droite, ayant une équation de forme identique à celle de la tangehte et portant le nom de polaire du point (x',y') (89). Et comme une droite rencontre toujours une conique en deux points, on petit tonjonrs mener par itn point {x', y') deux tangentes réelles, co'tncidentes ou imaginaires à une courbe du deuxième degré { ‘ ).

La polaire de l’origine, ainsi qu’on l’a vu au n" 89, ayant pour équation

est parallèle à la corde 9"* divisée (139) par

l’origine en deux parties égales, et qui est l’ordonnée du diamètre passant par l’origine. Donc : la polaire d’un point est parallèle aux ordonnées du diamètre passant par ce point. Ce théorème renferme, comme cas particulier, le suivant : la tangente à l'extrémité d’un diamètre est parallèle aux ordonnées de ce diamètre, théorème qui, dans le cas des courbes à centre, où les ordonnées d’un diamètre sont parallèles au diamètre conjugué, devient : la polaire d’un point pris sur un diamètre d’une courbe à centre est parallèle au diamètre conjugué.

liO. Les principales propriétés des pôles des polaires ont déjà été démontrées dans les Chapitres précédents. Ainsi (98) lorsqu’un point A se trouve sur la polaire du point B, récipro-

(•) Une cotirl>c est dite de la classe lorsqu’on peut lui mener par un point n tan(rentes. Une section conique est donc a la fois du deuxième dejyré et de la deuxième classe; mais, en général, dans les courbes de dejrc plus élevé, les indices du degré et de la classe ne sont pas les mômes.