CHAPITRE X
quement le poinl B se trouve sur la polaire du point A, ce qu’on peut énoncer autrement :
Lorsqu’un point A glisse le long d’une droite Jlxe {\a polaire du point B), sa polaire pusse par un point y/jre(B);
Ou réciproquement :
Si une droite (la polaire du point A) passe par un point fixe (B), son pôle A décrit une droite fixe (la polaire de B).
On peut encore énoncer ce théorème :
L’intersection de deux droites est le pôle de lu ligne menée par les pôles de ces droites;
El réciproquement :
La ligne joignant deux points est la polaire de l'intersection des polaires de ces points.
Car si l’on prend deux points sur la polaire de A, les polaires de ces points passent par le point A.
On a vu (100) que si, après avoir mené par un point deux droites coupant une conique, on joint deux à deux les points d’intersection, les droites de jonction se coupent sur la polaire du point.
Dans le cas particulier où les deux droites co'incident, ce théorème peut s'énoncer ainsi :
Si l'on mène parle point 0 (fig, 54) une droite rencontrant la courbe aux points R', R", les tangentes en R' et R" se coupent sur la polaire PR du point 0.
Il peut se démontrer en observant que la polaire R' R" du poinl P passant par le poinl O, le poinl P se trouve sur la polaire du poinl 0.
Nous avons vu aussi (103, Ex. III) que si, sur un rayon vecteur OR mené par l’origine, on prenait une moyenne harmonique OR entre OR' et OR", le lieu du point R était la polaire de l’origine : donc, la droite menée par un point est divisée harmoniquement par le point, la courbe et la polaire de ce point. Ce théorème a été aussi démontré au n“ 91.
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DES COURBES DU DEUXifeHE DEGRt. lO')
Si donc on mène par le point O une droite quelconque OR, et si l’on joint le pôle P de cette droite au pointO, les lignes OP,
Fie- 5'|.
OR forment un faisceau harmonique avec les tangentes OT, OT' issues du point O; car, puisque OR est la polaire de P, PTRT' est divisé harmoniquement, et alors OP, OT, OR, OT' forment un faisceau harmonique.
EXERCICES
1. Lorsqu’un quadrilatère ABCD [fig .55) est inscrit dans une conique, un quelconque des points E, F, O est le pôle de la droite joignant les deux autres.
Fîb- 55.
Puisque EC et ED sont deux droites passant par le point E, et que CD et AB joignent les points d’intersection de ces droites avec la conique, CD et AB se coupent en O sur la polaire du point E; il en est do même de AB et CB ; donc la droite OF est la polaire du point E. On démontrerait de même que EO et EF sont res[>eclivcment les polaires des points F et O.
II. Par un point E pris en dehors d’une conique, lui mener une tangente au moyen de la règle seulement.
Mener par le point Edeux droites quelconques EA, EB(yfg. 55), com-
ao8
ClUriTRE X.
pléter le quadrilatère comme sur la figure; la droite OF coupera la conique en deux points, qui seront les points de contact cliercliés.
III. Dans un quadrilatère ABCD (fig. 55) circonscrit à une section conique, une diagonale est la [lolaire de l'intersection des deux autres.
Ce tliéorème ]>eut se démontrer (comme celui de l’Ex. l)au moyen des propriétés harmoniques du quadrilatère. On sait (GO, Ex. I) que les droites EA , EO, EB, EF forment un faisceau harmonique; mais EA, EB étant, par hypothèse, tangentes à la conique, et EF passant par leur |X)int d'intersection, EO (I-IG) passe par le pôle de EF; on verrait de même que FO passe par le pôle de EF : ce pôle est donc le point O.
147. Les tangentes menées à une conique par un poinl(x', r') ont pour équation (92)
(rt.r'’ -1- 2.hx’y'+ by"‘ -t- igx' + a fy' ■+■ c)
X («x’ -t- 2 A .rr -t- by' — igr H- 2 fy + c )
= [ax'x -t- /i[x'y -t- y'x) -1- by'y -*-g{x' -hx)-hf{y' +y) + cY.
On peut, en y faisant a:' = r'= O, en déduire l’équation des tangentes menées par l’origine ; mais on peut aussi, pour trouver cette dernière équation, suivre le procédé indiqué au n"83, Ex. IV. Lorsqu’un rayon vecteur mené par l'origine est tangent à la conique, les deux valeurs de p données par l'équation
(acos’O -I- a/icos5siné -i- Asin’ûjp’
-+- ?.(^''cosO -t- f sinO)p-f- c = o
doivent être égales, ce qui imjilique la condition
(fl cos’ 0 -1-2/1 cosO sinO -1- b siii’(/}c = (geosO -I- /siii Ô )’.
En la multipliant par p’, on en déduit, pour l’équation des tangentes menées par l’origine,
(fie — g‘‘)x- -I- 2,(c/i — gf] xy+ [bc —/’).»■’ = o.
Les tangentes coïncideront lorsque les racines de cette équation seront égales, c’est-à-dire lorsqu’on aura
(cre — — /*)= (c// — frf)\
ou
c{flbc -+- 2 fg/l — fl/’ — c/l’) = O.
DES COUBBES DU DEUXIÈME DEGBÈ.
Celle dernière condilion esl saiisfaile lorsque c — o, c’eslà-dire lorsque l’origine esl un poinl de la courbe : donc, un point de la courbe peut être considéré comme l’intersection de deux tangentes qui coïncident , de même que la langenie peul èlre regardée comme la droile joignant deux poinls qui coïncidenl.
Celle condilion sera aussi saiisfaile si l'on a la rclalion
abc + ifgh — af' — b g' — ch' = o,
qui exprime (76) que l'équalion du second degré représenle deux droiles. Pour expliquer comment il se fait que l’on retombe ici sur celte relation, il suffit de remarquer que, par tangente, on entend en général une droite rencontrant la courbe en deux poinls qui coïncident. Lorsque la courbe se réduit à deux droites, la seule ligne qu’on puisse mener de manière à la rencontrer en deux poinls qui coïncident esl celle qui passe par leur poinl d’intersection, et puisqu’on peul toujours mener deux tangentes à une courbe du deuxième degré, les deux tangentes doivent dans ce cas coïncider avec la droite passant par (x', y') et par ce poinl d’intersection.
lis. Si par un point O on mène deux cordes rencontrant une conique aux points R', R", S', S", le rapport des rectangles O R'. O R” et OS'. OS* sera constant, quelle que soit la position du point O, pourvu que la direction des cordes soit constante. De l’équation donnée pour déterminer les valeurs de p (136), on déduit facilement
a cos’ 6 -I- a A cos0 sin0 -i- 6sin’0’
0 étant l’angle que forme la corde OR' avec l’axe des x; de même, 0' désignant l’angle compris entre la corde OS' et cet axe, on aura
(\cr na" — . ^ .
acos’O' -t- a Acos0' sinO' -I- 6sin’0'’
d’où
O R'. O R* a cos’0' -t- 2 A cosO' sin0' -l- Asln’O'
OS'. OS" acos’0 a Acos0 sinO -4- ùsin’0
CBAPITBE X.
Ce rapport est constant, puisque a, b et h ne cliangenl pas lorsqu’on déplace l’origine (134), et que la direction des cordes, définie par les angles 0 et 6' qu’elles forment avec l’axe des x, est constante.
Si, par deux points fixes 0 et 0', on mène deux cordes parallèles OR, O'p coupant respectivement la conique aux points R', R*, p',p", le rapport des rectangles OR'. OR" et O'p'. O'p" est constant et indépendant de la direction des cordes.
Ces rectangles ont pour expressions:
acos’O -h z/icosÛsinO -+- bsin’û' c'
a cos’O -I- 2 A COS0 sinO ■+- Asin’O’
9 étant l’angle fait par les cordes avec l’axe des x, et c’ la valeur que prend le terme absolu lorsqu’on rapporte la courbe
au point 0' comme origine : le rapport de ces rectangles -j est indépendant de 6.
149. Le théorème du numéro précédent comporte quelques cas particuliers qu’il est utile d’énoncer.
I® Si le point 0' est le centre de la courbe, on a O'p' = O'p", et le rectangle O'p'. O'p" devient le carré du demi-diamètre parallèle à OR'. Donc les rectangles construits sur les segments de deux cordes qui se coupent sont entre eux dans le rapport des carrés des diamètres parallèles à ces cordes.
a® Lorsque OR est tangent à la courbe, on a OR'=OR"; le rectangle OR'. OR' devient le carré de la tangente, et, puisque nous pouvons mener par le point 0 deux tangentes, nous pourrons extraire la racine carrée du rapport trouvé plus haut, et en conclure que les tangentes menées par un point sont dans le rapport des diamètres qui leur sont parallèles.
3® Supposons enfin que la ligne 00' soit un diamètre et que les cordes OR, O'p soient parallèles à ses ordonnées : alors OR'=iOR', 0'p'=0'p"; et, si A et B sont les points où le
