OS

Si l’on déplace les axes parallèlement à eux-mêmes { 134), b ne change pas et g prend la valeur hy' + g {y' étant l’abscisse de la nouvelle origine): le rapport précédent devient alors

Mày'+g)'

Lorsque la courbe est une parabole on a A = o, et ce rapport est constant; donc, si, dans une parabole, une droite de direc-

2IÏ

CnAPITRB X.

tion donnée rencontre un diamètre, le rectangle de ses segments est dans un rapport constant avec le segment qu’elle détermine sur le diamètre.

Lorsque la courbe esl une hyperbole, le rapport ne peut être constant que lorsque y' est constant : donc, dans une hyperbole, les segments déterminés par deux cordes parallèles sur une droite rencontrant la courbe à l' infini sont proportionnels aux rectangles construits sur les segments des cordes.

* 151. Trouver la condition pour que ladroitelx -\-py->rv = o soit tangente à la cqnique représentée par l'équation générale.

En substituant, dans l’équation générale, la valeur de y tirée de l.x ■+- py -t- v = o, pour déterminer les abscisses des points d’intersection de la droite avec la courbe, on a

(n u’ — a h l.p -t- ft À’ ) x’ -1- 2 ( gp' — A pv — faX -i- b1.v]x

+ ( cp’ — 2 fpy + A>') = O,

et la droite sera tangente lorsque les racines de cette équation seront égales, c’est-à-dire lorsqu’on aura

(a u’ — 2 A).a — bX’)(cp' — 2 fpy-hbv’) = (gp’ — hpv — fp^--h b).i)’.

Développant et divisant par /a', celte condition devient

(bc — y*’) + ( t"» — g’’ ) (uA — A’) v’-f 2(gh — af) pv

+ 2 { /{/■— bg) -t- 2 {fg —ch)'kp = o.

On trouvera plus loin une autre méthode pour obtenir celte relation, qu’on peut appeler V équation tangentielle de la courbe, et qu’on écrit souvent de la manière suivante :

A À’ -+- Bfi’ -+- Cv’ -I- 2 F fjiv -I- 2 G vX H- 2 fl }.p = O,

en posant K = bc —f, B = ta — g>,. . . . Les coefficients A, B, G, 2 F, 2 G, 2 H ne sont autre chose que les dérivées de la fonction

abc -I- ‘ifgh — af — bg^ — ch' prises en y considérant successivement a, b, c,f, g, A comme

DES COURBES DU DEUXlikRE DEGRÉ. 31 3

variables. Celle fonciion, qui devienl nulle lorsque la conique se iransforme en deux droiles, s’appelle le discriminant de l'équalion générale du deuxième degré, el sc désigne ordinairemenl par la caraclérislique A.

EXERCICES

I. Former l’équation de la conique qui détermine des segments V, V, fl, fl' sur les axes.

Si l’on fait successivement ^- = o, x = o dans celle équation, elle devra se réduire à

x’— {i H- >.')x + = O, .v’— (fl -t- fl') T-f- fifi'= o;

elle sera donc

fifi'x’-(- aZ/xv XV » ’ — fl fl' (X -(-■/') J- — XX'(fi -(- fi')>- XX'fifi'= o.

Le coeffîcient /i reste indéterminé si l'on ne se donne une nouvelle condition. On peut mener deux paraboles par les quatre points donnés puisqu’alors

h = ± ^XX'fifi'.

II. l.a polaire d’un point fixe prise par rapport aux coniques passant par quatre points donnés passe par un point fixe.

Si l’on prend pour axes deux côtés opposés du quadrilatère formé par les quatre points, l’équation des coniques sera celle de l'Exercice I, et l’équation de la polaire du point (x', r') renfermera l’indéterminée h au premier degré ( I iS) : donc la polaire passe par un point fixe.

III. Trouver le lieu des centres de; coniques pajsanl par quatre points fixes.

Le centre do la conique de l’Exercice I est donné par les équations

afifi'j- a/ir — f*fi'(X -i- X') = o, aXX'f -+- i/ix — X'i'(fi u'j = o,

et en éliminant //, on trouve, pour l’équation du lieu,

a fl fl' x* — a XX'»-’ — U fl' ( X -i- X') x -t- XX' (u -h fi').v = o.

C'est une conique sur laquelle se trouvent les intersections des trois couples de droites passant par les quatre points donnés et les milieux de ces droites.

Le lieu est une hyperbole lorsque X, X', ainsi que fi el fi', sont à la fois de mémo signe, ou à la fois de signes contraires; dans le c.-is contraire, c’est une ellipse. Ainsi le lieu est une ellipse lorsque les deux points situés sur un axe se trouvant du même côté du l’origine, les deux autres points