Rapporter la conique

3x’ -+- 4xv “ — 5x — 6> — 3 = O à son centre — 4^' Réponse. ii.r’-*- i6xi -i- 4.'>''-t- > = o.

U. Rapporter la courbe

x’ -+- ïxv — .1 8x -t- 4.» — 8 = o à son centre ( — 3, — i).

Réponse. x’ -t- axr — v’ =: aa.

15i. Nous avons vu (136) que, lorsque 0 satisfaisait à la relation

n cos’O -f a // cosO siii 0 + b siu’G = o,

le rayon vecteur correspondant rencontrait la courbe à l’innui, et en un point situé à la distance finie de l’origine

■ ~ ^cosO -t-/sin(;

Lorsque l’origine est le centre de la courbe, g=zo,fz=o, et celte distance devient aussi infinie. 11 est donc possible de mener par le centre deux droites rencontrant la courbe chacune en deux points coïncidents situés à l'infini. Ces droites, qui, par suite, peuvent cire considérées comme des tangentes ayant leurs points de contact à l'inllni, s’a|>pellenl asymptotes de la courbe : elles sont imaginaires dans l’ellipse et réelles

DE l'ellipse et DE l’hYPERBOLE.

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dans l’hjperbole. On verra plus loin que ces asympiotcs se rapprochenl d’autant plus de la courbe, qu’on s’éloigne davantage de l’origine , toutefois elles ne rencontrent la courbe qu’à l’inflni.

Puisque les points de contact des tangentes réelles ou imaginaires menées pjr le centre sont situés à rinPini, la droite qui les joint est aussi tout entière à l'inflni; donc, d’après la définition des pôles et polaires (89), le centre peut être considéré comme le pôle d’une droite située ù l’injini. On arriverait à la même conclusion en remarquant que l’équation de la polaire de l’origine gx + fj- -i- c = o se réduit à c = o lorsque le centre est pris pour origine, et représente alors ( 67 ) une droite située à l’infini.

155. En prenant le centre pour origine, les coefficients g et f de l’équation générale s’évanouissent. Si de plus les axes forment un système de diamètres conjugués, le coefficient h s’annule également (143), et l’équation, se simplifiant encore, devient

nx^+ -(- c = O.

On voit facilement que toute corde parallèle à un axe est divisée en deux parties égales par l’autre; car si l'on donne, par exemple, à x une valeur quelconque, on en déduit immédiatement pour y deux valeurs égales et de signes contraires. L’angle compris entre deux diamètres conjugués n’est pas droit en général, mais il existe toujours un système de diamètres conjugués faisant entre eux un angle droit : ces diamètres sont les axes de la courbe, et les points où ils la rencontrent en sont les sommets.

Pour le démontrer, rappelons-nous ( l'r3) que les angles 0 et 0', que font avec l’axe des x deux diamètres conjugués, sont liés par la relation

tangS tangS' -t- A ( tang^ -i- tangO’) -h n = ^

Si les diamètres forment un angle droit, tang6':

tangO

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par suilc,

CHArlTRE XI.

A laiig’f} -h {a — b) tangO — A = o.

Mulliplianl par p’, remplaranl p cos 9, p sin 9 par x el .)■, il vient hx' — (a — h) xy — h y' = o,

équation de deux droites réelles perpendiculaires l’une sur l’autre (74). I.es courbes à centre ont donc deux diamètres conjugués à angle droit, et n’en ont que deux.

Ces axes, ainsi que le montre (75) leur éipialion, sont les bissectrices intérieure et extérieure de l’angle compris entre les droites réelles ou imaginaires

ax‘‘-¥ ^hxy+ hy'— o.

Les axes sont donc les bissectrices des angles formés par les asymptotes, et ils sont réels (75, note), que les asymptotes soient réelles ou imaginaires, c’est-à-dire que la courbe soit une hyperbole ou une ellipse.

156. Nous aurions pu arriver au même résultat, par une transformation de coordonnées, en montrant qu’il est toujours possible de trouver un système d’axes rectangulaires tel, que l’équation de la courbe par rapport à ce système d’axes n’ait pas de terme en xy. Supposons les axes primitifs rectangulaires, et faisons-les tourner d’un angle 0 autour de l’origine : l’équation transformée s’obtiendra en remplaçant respectivement X et y par cos 9 — y sin 9 et x sin 9 -h y cos 9 dans l’équation primitive, qui devient ainsi

a(x cos 9 — / sin 9)’ -h 2 b(x cos 9 —y sin 9)(x sin 9 -h y cos 9)

-H A(xsin9 -(- J cos9)’-l- c—o,

el en développant, nous aurons, pour les nouveaux coefficients, a', A', A',

a' — a cos’9 -h 2 A cos9 sin 9 -t- b sin’9,

A' = A sin9 cos9 ■+■ A(cos’9 — sin’9) — a sin9 cos9, b' = a sin’9 — 2A cos9 sin9 -1- A cos’9.

DE l’ellipse et de l’iitperbole. 219

En faisant A'= o, pour déterminer l'angleO que les axes de la courbe forment avec les axes de coordonnées, nous retomberons sur l’équation du n“ 155, qui donne

tang2i/ = 7-

157. Le théorème suivant permet de simplifier les calculs à exécuter pour déterminer les nouveaux coefficients relatifs à la transformation d’une équation de la forme

rt j;’ 4- by'‘ 4- c = O.

Si l’on transforme une équation du deuxième degré en passant d’un système d’axes rectangulaires à un autre système rectangulaire, les quantités a -h b et A’ — ab ne changent pas.

En effet, en ajoutant les valeurs de a' et b' calculées plus haut (156), on trouve immédiatement

On a aussi

2rt'=rt-4-A + aAsinaO -1- {a — A) cos 2 0, 2A' = a4-A — aAsinaS — (a — b) cos2Ô;

d’où

4«' A' = (a A)’— [2 A sin2 0 4- (« — A) cos 2 0]’.

ISfais

4 A'’= [2A COS20 — (a — A) sin20]’:

donc

Pour écrire l’équation rapportée aux axes, on a ainsi les relations

h' — O, a' -+- A' = a A, a'b'~ab — A’;

elles donnent la somme et le produit des coefficients inconnus a' et A', qui se trouvent ainsi déterminés.

EXERCICES