CHAPITRE XI

quaiUilé aa:’ + a/iar^" -4- deviendra a'X’4- 2/1'XY -+- 6' Y’ (x et J étant les anciennes coordonnées, X et Y les nouvelles). De même x’-t- ax/cosu + deviendra X’-i- aXY cosü -t- Y’, puisque l'une et l'autre de ces deux dernières expressions représentent le carré de la distance d'un même point à l'origine. Nous aurons donc, ^ étant une indéterminée,

ax’ -h ihxy -f- by'-^- 2x rcosw -4-^^)

= «'X'-4- 2/1'XY -4- è'Y'-4- ?.{X’-4- 2XY cosw-h Y’},

et si nous déterminons X par la condition que le premier membre de cette équation soit un carré parfait, le second membre devra être aussi un carré parfait. Celte condition peut s'écrire

(rt -4- ).) ( 6 -4- ).)=: (/< -4- ). cosu)%

Cl 1 sera une des racines de l'équation du second degré sin'to -(- (a -4- fc — 2/1 cosw)). + ab — /i’=i o.

Nous trouverons une équation de même forme pour déterminer la valeur de X rendant le second membre un carré parfait, et, puisque les deux membres deviennent des carrés parfaits pour la même valeur de X, les deux équations du second degré devront être identiques. Égalant donc les coefficients des termes correspondants, nous trouverons, comme plus haut, '

a + b — lit C0S6> fl' 4- 6' — 2/1' cosil ab — A’ a' b' — A'’

sin=w sin’ü ’ sin’fcj sin’Si

EXERaCES.

I. La somme des carrés des réciproques des demi-diamètres qui se coupent à angle droit est constante.

Soient a et p leurs longueurs : en faisant alternativement jt = o,/ = o dans l'équation de la courbe, on aura «*’ = c, bp’ = c; on voit ainsi que le théorème qui vient d’étre énoncé n'est que l'interprétation géométrique de la constance de la somme a b.

DE l’ellipse et de l'hTPERBOLE. 2-23

II. L’aire du triangle formé en joignant les extrémités do deux demidiamètres conjugués est constante.

L’é(]uation de la courbe rapportée à deux diamètres conjugués est

a' et P' étant les longueurs de ces demi-diamètres, et puistpie est constant, a'p'sinw est constant.

III. La somme des carrés de deux demi-diamètres est constante.

. n -k- b — îA cosw Puisque .-y

SID'w

est constant, il en est do même de

siit^ (f' p) ’

d'ailleurs, sinw est constant : donc a"-*- [i'’ est constant.

160. Nous avons vu que l’équation d’une conique rapportée à ses axes était de la forme

Kx' -t- Bj’= C,

B étant positif dans 1e cas de l’ellipse et négatif dans le cas de l’hyperbole (138, Ex. 111). (Nous avons repris ici les lettres majuscules, parce que nous allons avoir à employer les lettres a et 6 avec une signification nouvelle.)

L’équation de l’ellipse peut encore s’écrire sous une forme plus commode. Supposons que les segments déterminés par l’ellipse sur ses axes soient x = a, y=b; en faisant ^=o

dans l’équation de l’ellipse, il vient Aa’ = C, d’où A = — ;

nous trouverions de même, en y faisant y = O, 8 = ^^- L’équation de l’ellipse peut donc s’écrire ainsi

Puisque nous pouvons prendre un quelconque des axes de la courbe pour axe des x, nous supposerons que nous avons choisi cet axe de telle façon que a soit plus grand que b. L’équation de l’hyperbole, qui, ainsi que nous le savons.